Giải Toán tập 2 trang 44
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 44–45
🔍 Kiến thức cần nhớ
Đường xiên và hình chiếu của đường xiên
- Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), H là hình chiếu của S trên (P)
- Với mọi điểm M ∈ (P), M ≠ H: đoạn SM gọi là đường xiên, đoạn HM là hình chiếu của đường xiên trên (P)
- Định lý: SM > SH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)
- Quan hệ: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn
Góc giữa hai mặt phẳng
- Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), lấy đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q)
- Góc giữa a và b không phụ thuộc vị trí → được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng 90°
- Chú ý: Nếu φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì 0 ≤ φ ≤ 90°
⚙️ Bài tập
Câu 7.13
Đề bài: Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), có hình chiếu H trên (P). Với mỗi điểm M bất kì (không trùng H) trên mặt phẳng (P), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu trên (P) của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM, HM' tương ứng của chúng bằng nhau;
b) Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiếu HM lớn hơn hình chiếu HM'.
Cách 1 — Phương pháp sử dụng định lý Pythagore
Phân tích:
- SH ⊥ (P) tại H, nên SH ⊥ HM và SH ⊥ HM'
- Tam giác SHM và SHM' là các tam giác vuông tại H
Lời giải:
Vì S nằm ngoài (P) và H là hình chiếu của S trên (P), ta có SH ⊥ (P).
Do đó: SH ⊥ HM và SH ⊥ HM' (với mọi M, M' ∈ (P))
a) Chứng minh: SM = SM' ⟺ HM = HM'
Trong tam giác vuông SHM tại H, áp dụng định lý Pythagore:
- SM² = SH² + HM²
Trong tam giác vuông SHM' tại H:
- SM'² = SH² + HM'²
Chiều thuận: Giả sử SM = SM'
- SM² = SM'²
- SH² + HM² = SH² + HM'²
- HM² = HM'²
- HM = HM' (vì HM, HM' > 0)
Chiều đảo: Giả sử HM = HM'
- HM² = HM'²
- SH² + HM² = SH² + HM'²
- SM² = SM'²
- SM = SM' (vì SM, SM' > 0)
Kết luận: SM = SM' ⟺ HM = HM' ✓
b) Chứng minh: HM > HM' ⟹ SM > SM'
Giả sử HM > HM'
- HM² > HM'² (vì HM, HM' > 0)
- SH² + HM² > SH² + HM'²
- SM² > SM'²
- SM > SM' (vì SM, SM' > 0)
Kết luận: Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiếu HM lớn hơn hình chiếu HM'. ✓
Cách 2 — Phương pháp sử dụng tính chất đường tròn
Lời giải:
Vì SH ⊥ (P), trong mặt phẳng (P):
- Tập hợp các điểm M sao cho SM = k (hằng số) là đường tròn tâm H, bán kính r = √(k² - SH²)
a) SM = SM' ⟺ M và M' cùng nằm trên đường tròn tâm H bán kính r
⟺ HM = HM' = r ✓
b) Nếu HM > HM':
- Điểm M nằm trên đường tròn tâm H bán kính lớn hơn
- Đường xiên SM tương ứng sẽ lớn hơn SM' ✓
🎯 Ghi nhớ: Với cùng một chân đường vuông góc H, đường xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn, và ngược lại.
Câu 7.14
Đề bài: Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là 10°, 15°. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?
Cách 1 — Phương pháp lượng giác cơ bản
Phân tích:
- Gọi vận tốc của mỗi máy bay là v (km/phút)
- Sau 1 phút, quãng đường bay được là: s = v × 1 = v (km)
- Độ cao = hình chiếu của quãng đường lên phương thẳng đứng
Lời giải:
Gọi:
- Máy bay 1 có góc cất cánh α₁ = 10°
- Máy bay 2 có góc cất cánh α₂ = 15°
- Vận tốc chung là v (đơn vị độ dài/phút)
Sau 1 phút, cả hai máy bay đều bay được quãng đường s = v.
Độ cao của máy bay 1:
h₁ = s × sin(10°) = v × sin(10°)
Độ cao của máy bay 2:
h₂ = s × sin(15°) = v × sin(15°)
So sánh:
Vì 0° < 10° < 15° < 90°, và hàm sin đồng biến trên (0°; 90°):
- sin(10°) < sin(15°)
- v × sin(10°) < v × sin(15°)
- h₁ < h₂
Kết luận: Sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay có góc cất cánh 15° ở độ cao lớn hơn so với mặt đất.
Cách 2 — Phương pháp tính số cụ thể
Lời giải:
Giả sử vận tốc v = 1 (đơn vị), sau 1 phút bay được s = 1.
- h₁ = sin(10°) ≈ 0,1736
- h₂ = sin(15°) ≈ 0,2588
Ta có: h₂/h₁ = sin(15°)/sin(10°) ≈ 0,2588/0,1736 ≈ 1,49
Kết luận: Máy bay có góc cất cánh 15° bay cao hơn khoảng 1,49 lần so với máy bay có góc cất cánh 10°.
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Đảm bảo máy ở chế độ Degree (nhấn SHIFT → MODE → 3) - Nhập: sin(15) ÷ sin(10) = → Kết quả ≈ 1,49
⚠️ Lưu ý thi: Khi so sánh độ cao, chỉ cần so sánh sin của các góc (vì quãng đường như nhau). Góc cất cánh lớn hơn → độ cao lớn hơn (với góc nhọn).
Câu 7.15
Đề bài: Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.
Cách 1 — Phương pháp dùng cọc thẳng đứng và bóng
Lời giải:
Dụng cụ cần thiết:
- Một cọc thẳng đứng (hoặc que thẳng) có chiều cao h đã biết
- Thước đo chiều dài
- Mặt đất phẳng, nằm ngang
Các bước thực hiện:
Bước 1: Đặt cọc thẳng đứng vuông góc với mặt đất phẳng nằm ngang tại vị trí cần đo.
Bước 2: Đo chiều cao của cọc: h
Bước 3: Tại thời điểm cần đo, đo chiều dài bóng của cọc trên mặt đất: d
Bước 4: Tính góc α giữa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang:
tan(α) = h/d
⟹ α = arctan(h/d)
Giải thích:
- Tia sáng mặt trời đi từ đỉnh cọc đến đầu mút bóng tạo với mặt đất góc α
- Tam giác vuông được tạo bởi: cọc (cạnh đối), bóng (cạnh kề), tia sáng (cạnh huyền)
Cách 2 — Phương pháp dùng thước đo góc (góc kế)
Lời giải:
Dụng cụ: Thước đo góc có dây dọi hoặc góc kế đơn giản
Các bước thực hiện:
Bước 1: Đặt một tấm ván phẳng nằm ngang (kiểm tra bằng thước thủy).
Bước 2: Dựng một que thẳng vuông góc với tấm ván.
Bước 3: Xoay tấm ván sao cho bóng của que nằm trên tấm ván (tức là bóng nằm trong mặt phẳng chứa que và phương tia sáng).
Bước 4: Dùng thước đo góc đo trực tiếp góc giữa tia sáng (đường nối đỉnh que với đầu bóng) và mặt phẳng ngang.
💡 Mẹo nhớ: Góc Mặt Trời (góc giữa tia sáng và mặt phẳng ngang) = arctan(chiều cao cọc / chiều dài bóng)
🎯 Ghi nhớ: Góc này còn gọi là góc cao của Mặt Trời hay góc ngẩng, là khái niệm quan trọng trong thiên văn học và địa lý. Góc này thay đổi theo vĩ độ, thời gian trong ngày và mùa trong năm.
Câu HĐ1 (Hoạt động 1 - Trang 44)
Đề bài: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').
Cách 1 — Phương pháp sử dụng tính chất đường thẳng song song
Phân tích:
- Các đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
- Góc giữa hai đường thẳng không đổi khi tịnh tiến
Lời giải:
Bước 1: Xét các đường thẳng vuông góc với (P)
Vì a ⊥ (P) và a' ⊥ (P)
⟹ a // a' (hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song)
Bước 2: Xét các đường thẳng vuông góc với (Q)
Vì b ⊥ (Q) và b' ⊥ (Q)
⟹ b // b' (hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song)
Bước 3: So sánh các góc
Vì a // a' nên góc giữa a với bất kỳ đường thẳng nào bằng góc giữa a' với đường thẳng đó.
Vì b // b' nên:
- Góc (a, b) = Góc (a, b')
- Góc (a', b) = Góc (a', b')
Kết hợp lại:
(a, b) = (a, b') = (a', b) = (a', b')
Kết luận: Góc giữa các cặp đường thẳng (a, b) và (a', b') bằng nhau.
Cách 2 — Phương pháp véc-tơ chỉ phương
Lời giải:
Gọi n₁ là véc-tơ pháp tuyến của (P), n₂ là véc-tơ pháp tuyến của (Q).
- a ⊥ (P) ⟹ véc-tơ chỉ phương của a song song với n₁
- a' ⊥ (P) ⟹ véc-tơ chỉ phương của a' song song với n₁
- b ⊥ (Q) ⟹ véc-tơ chỉ phương của b song song với n₂
- b' ⊥ (Q) ⟹ véc-tơ chỉ phương của b' song song với n₂
Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi góc giữa các véc-tơ chỉ phương:
cos(a, b) = |n₁ · n₂| / (|n₁| × |n₂|)
Công thức này không phụ thuộc vào việc chọn a hay a', b hay b'.
Kết luận: (a, b) = (a', b')
🎯 Ghi nhớ: Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Góc này không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của các đường thẳng được chọn.
Câu hỏi phụ (cuối trang 44)
Đề bài: Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?
Lời giải:
Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi và chỉ khi:
- Hai mặt phẳng song song với nhau, hoặc
- Hai mặt phẳng trùng nhau
Giải thích: Khi (P) // (Q) hoặc (P) ≡ (Q), các đường thẳng vuông góc với (P) cũng vuông góc với (Q), tức là chúng song song với nhau. Do đó góc giữa chúng bằng 0°.
Góc giữa hai mặt phẳng khác 0° khi:
- Hai mặt phẳng cắt nhau (có một đường thẳng chung)
Giải thích: Khi (P) cắt (Q), các đường thẳng vuông góc với (P) và (Q) không song song, nên góc giữa chúng khác 0°.
💡 Mẹo nhớ: - Góc = 0° ⟺ Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau - 0° < Góc < 90° ⟺ Hai mặt phẳng cắt nhau (không vuông góc) - Góc = 90° ⟺ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau
⚠️ Lưu ý thi: Góc giữa hai mặt phẳng luôn nằm trong khoảng [0°; 90°], khác với góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
📝 Tóm tắt nội dung lý thuyết (Bài 25 - Trang 44)
Bài 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Thuật ngữ:
- Góc giữa hai mặt phẳng
- Hai mặt phẳng vuông góc
- Góc nhị diện
- Góc phẳng của góc nhị diện
- Hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều
- Hình hộp đứng
- Hình chóp đều, hình chóp cụt đều
Kiến thức, kĩ năng cần đạt:
- Nhận biết góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
- Xác định điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
- Giải thích tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc
- Nhận biết và tính góc phẳng của góc nhị diện
- Vận dụng kiến thức vào thực tế