Giải Toán tập 2 trang 46

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 46–47

🔍 Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Δ bằng góc giữa hai đường thẳng m, n lần lượt thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với Δ tại một điểm.

Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

⚙️ Bài tập

Luyện tập 1

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Cách 1 — Phương pháp sử dụng định nghĩa và điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Bước 1: Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)

ABCD là hình chữ nhật có tâm O, nên AC và BD cắt nhau tại O.
Mặt phẳng (SAC) chứa đường chéo AC.
Mặt phẳng (SBD) chứa đường chéo BD.
Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO (vì S và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng).

Bước 2: Điều kiện để (SAC) ⊥ (SBD)

Theo điều kiện hai mặt phẳng vuông góc: (SAC) ⊥ (SBD) khi và chỉ khi một trong hai mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Ta sẽ chứng minh: (SAC) ⊥ (SBD) ⟺ AC ⊥ BD

Bước 3: Chứng minh chiều thuận

Giả sử (SAC) ⊥ (SBD).

Giao tuyến của hai mặt phẳng là SO.
Trong (SAC), kẻ đường thẳng qua O vuông góc với SO, đường thẳng này chính là AC (vì AC nằm trong (ABCD) và SO ⊥ (ABCD)).
Vì (SAC) ⊥ (SBD) và AC ⊂ (SAC), AC ⊥ SO, nên AC ⊥ (SBD).
Do đó AC ⊥ BD.

Bước 4: Chứng minh chiều đảo

Giả sử AC ⊥ BD.

Ta có SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ AC.
Mà AC ⊥ BD (giả thiết).
Do đó AC ⊥ (SBD) (vì AC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SO và BD trong (SBD)).
Vì AC ⊂ (SAC) và AC ⊥ (SBD) nên (SAC) ⊥ (SBD).

Bước 5: Liên hệ với hình vuông

Trong hình chữ nhật ABCD:

AC ⊥ BD ⟺ ABCD là hình vuông.

(Vì trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm. Chúng vuông góc với nhau khi và chỉ khi hình chữ nhật đó là hình vuông.)

Kết luận: (SAC) ⊥ (SBD) ⟺ ABCD là hình vuông. ∎

Cách 2 — Phương pháp tọa độ hóa

Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ

Đặt O là gốc tọa độ, với:

Ox // AB, Oy // AD, Oz // SO
Gọi AB = 2a, AD = 2b, SO = h

Khi đó:

A(a; b; 0), B(-a; b; 0), C(-a; -b; 0), D(a; -b; 0), S(0; 0; h)

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng

Mặt phẳng (SAC):

Vectơ chỉ phương: SA = (a; b; -h), SC = (-a; -b; -h)
Vectơ pháp tuyến: n₁ = SA × SC

Mặt phẳng (SBD):

Vectơ chỉ phương: SB = (-a; b; -h), SD = (a; -b; -h)
Vectơ pháp tuyến: n₂ = SB × SD

Bước 3: Điều kiện vuông góc

(SAC) ⊥ (SBD) ⟺ n₁ · n₂ = 0

Sau khi tính toán, điều kiện này tương đương với a = b, tức AB = AD, nghĩa là ABCD là hình vuông.

💡 Mẹo nhớ: Trong hình chóp có đáy là hình chữ nhật và đỉnh nằm trên trục đối xứng, hai mặt phẳng chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi đáy là hình vuông.

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài "khi và chỉ khi" cần chứng minh cả hai chiều: thuận và đảo.

Luyện tập 2

Đề bài: Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

Cách 1 — Giải thích dựa trên tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Phân tích:

Gọi mặt phẳng sàn nhà là (S).
Gọi mặt phẳng chứa cánh cửa là (C).
Đường thẳng nối các bản lề (trục bản lề) là đường thẳng d.

Giải thích:

Bước 1: Theo đề bài, đường thẳng d (trục bản lề) vuông góc với mặt phẳng sàn (S), tức là d ⊥ (S).

Bước 2: Cánh cửa (mặt phẳng (C)) luôn chứa đường thẳng d (trục bản lề), bất kể cửa đang ở vị trí nào.

Bước 3: Áp dụng điều kiện hai mặt phẳng vuông góc:

Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Vì (C) chứa d và d ⊥ (S), nên (C) ⊥ (S).

Kết luận: Trong quá trình đóng – mở, cánh cửa xoay quanh trục bản lề nhưng luôn chứa trục này. Do trục bản lề vuông góc với sàn nên cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà. ∎

Cách 2 — Giải thích trực quan

Khi cửa đóng hay mở, cánh cửa quay quanh trục bản lề (đường thẳng thẳng đứng).
Trục bản lề cố định và vuông góc với sàn.
Mọi vị trí của cánh cửa đều chứa trục này.
Theo định lý: Mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó.
Vậy cánh cửa luôn vuông góc với sàn.

💡 Mẹo nhớ: Đây là ứng dụng thực tế của điều kiện hai mặt phẳng vuông góc. Cửa, tường, cột nhà... đều minh họa cho tính chất này.

HĐ2

Đề bài: Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).
a) Tính góc giữa a và b.
b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Lời giải

Câu a) Tính góc giữa a và b

Vì a ⊥ (P) và b ⊂ (P), nên a ⊥ b.
Góc giữa a và b bằng 90°.

Câu b) Tính góc giữa (P) và (Q)

Ta có b ⊥ (Q) (theo đề bài).
Mà b ⊂ (P).
Theo điều kiện hai mặt phẳng vuông góc: Nếu mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Do đó (P) ⊥ (Q), tức góc giữa (P) và (Q) bằng 90°.

🎯 Ghi nhớ: Khi một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác, hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

HĐ3

Đề bài: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến Δ của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và Δ. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với Δ tại O.
a) Tính góc giữa a và b.
b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q).

Lời giải

Câu a) Tính góc giữa a và b

(P) ⊥ (Q), giao tuyến là Δ.
a ⊂ (P), a ⊥ Δ tại O.
b ⊂ (Q), b ⊥ Δ tại O.
Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa a và b.
Vì (P) ⊥ (Q) nên góc giữa a và b bằng 90°.

Câu b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q)

Ta có a ⊥ Δ (theo đề bài).
Ta có a ⊥ b (từ câu a).
Mà Δ và b là hai đường thẳng cắt nhau trong (Q) (cắt nhau tại O).
Do đó a ⊥ (Q).

💡 Mẹo nhớ: Với hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

HĐ4

Đề bài: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).
a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?
b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'.
c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).

Lời giải

Câu a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?

(P) ⊥ (R) và O ∈ (P) ∩ (R).
Theo tính chất: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng qua điểm thuộc giao tuyến và vuông góc với mặt phẳng kia nằm trong mặt phẳng này.
Do đó a' (qua O, vuông góc với (R)) nằm trong (P).
Tương tự, vì (Q) ⊥ (R) và O ∈ (Q) ∩ (R), nên a' cũng nằm trong (Q).

Kết luận: a' nằm trong cả (P) và (Q).

Câu b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'

a' ⊂ (P) và a' ⊂ (Q).
Mà (P) ∩ (Q) = a.
Do đó a' ⊂ a, tức a' trùng với a (vì cả hai đều đi qua O và a là giao tuyến duy nhất của (P) và (Q)).

Kết luận: a ≡ a' (a trùng với a').

Câu c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R)

Từ câu b, a ≡ a'.
Mà a' ⊥ (R).
Do đó a ⊥ (R).

🎯 Ghi nhớ: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

⚠️ Lưu ý thi: Đây là tính chất quan trọng, thường dùng để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Tổng kết

🎯 Ghi nhớ chung: 1. Điều kiện (P) ⊥ (Q): Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Q). 2. Tính chất 1: Với (P) ⊥ (Q), đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với (Q). 3. Tính chất 2: Nếu (P) ⊥ (R) và (Q) ⊥ (R), với (P) ∩ (Q) = a, thì a ⊥ (R).

Chế độ đọc sách →