Giải Toán tập 2 trang 48

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 48–49

🔍 Kiến thức cần nhớ

Góc nhị diện

Định nghĩa: Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P, a, Q]. Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

Góc phẳng của góc nhị diện: Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Số đo của góc nhị diện: Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P, a, Q].

Chú ý quan trọng

Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°
Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90°
Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

⚙️ Bài tập

Luyện tập 3

Đề bài: Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:
a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

Cách 1 — Phương pháp sử dụng định nghĩa mặt phẳng vuông góc

Câu a) Chứng minh (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC)

Phân tích: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần chỉ ra một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải:

Từ Ví dụ 3, ta có hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD).

Bước 1: Xét mặt phẳng (ABCD)

Trong hình vuông ABCD, ta có BD ⊥ AC
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD
Do đó BD ⊥ SA và BD ⊥ AC mà SA ∩ AC = A
Suy ra BD ⊥ (SAC)
Vì BD ⊂ (ABCD) nên (ABCD) ⊥ (SAC) ✓

Bước 2: Xét mặt phẳng (AB'C'D')

Trong mặt phẳng (AB'C'D'), đường thẳng B'D' song song với BD (vì B'D' là ảnh của BD qua phép vị tự)
Vì BD ⊥ (SAC) và B'D' // BD
Suy ra B'D' ⊥ (SAC)
Vì B'D' ⊂ (AB'C'D') nên (AB'C'D') ⊥ (SAC) ✓

Câu b) Chứng minh giao tuyến của (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong (ABCD) và vuông góc với AC

Lời giải:

Bước 1: Xác định giao tuyến

Điểm A thuộc cả hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD)
Giao tuyến d của hai mặt phẳng này đi qua A

Bước 2: Chứng minh d ⊥ AC

Từ câu a), ta có (ABCD) ⊥ (SAC) và (AB'C'D') ⊥ (SAC)
Giao tuyến d của (ABCD) và (AB'C'D') phải vuông góc với (SAC)
Do đó d ⊥ AC (vì AC ⊂ (SAC))

Bước 3: Kết luận

Giao tuyến d nằm trong (ABCD), đi qua A và vuông góc với AC
Trong mặt phẳng (ABCD), đường thẳng qua A vuông góc với AC chính là đường thẳng BD
Vậy giao tuyến của (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, vuông góc với AC ✓

Cách 2 — Phương pháp sử dụng vector

Câu a)

Đặt hệ trục tọa độ với gốc A, các trục theo AB, AD, AS.

Vector pháp tuyến của (SAC) là n₁ = BD (vì BD ⊥ SA và BD ⊥ AC)
BD nằm trong (ABCD) nên (ABCD) ⊥ (SAC)
B'D' // BD và B'D' nằm trong (AB'C'D') nên (AB'C'D') ⊥ (SAC)

Câu b)

Giao tuyến d của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (SAC) phải vuông góc với mọi đường thẳng trong (SAC), đặc biệt vuông góc với AC.

💡 Mẹo nhớ: Khi hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba, giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

HĐ5 (Hoạt động 5)

Đề bài: Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Lời giải

Câu a)

Phân tích đề bài:

Mặt ghế và lưng ghế là hai nửa mặt phẳng có chung bờ là giao tuyến a
Tia Ox nằm trên mặt ghế, vuông góc với a
Tia Oy nằm trên lưng ghế, vuông góc với a
Góc xOy chính là góc phẳng của góc nhị diện tạo bởi mặt ghế và lưng ghế

Đáp án:

Theo tài liệu, góc xOy (góc phẳng của góc nhị diện giữa mặt ghế và lưng ghế) nên có số đo từ 100° đến 105°.

Câu b)

Lời giải:

Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế chính là số đo của góc nhị diện được xác định bởi góc phẳng xOy.

Theo hướng dẫn thiết kế:

Góc xOy có số đo từ 100° đến 105°

Đáp án:
Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ 100° đến 105°.

💡 Ghi nhớ: Góc nhị diện trong thực tế thường được đo thông qua góc phẳng của nó. Góc phẳng này được tạo bởi hai tia cùng xuất phát từ một điểm trên cạnh, mỗi tia nằm trên một mặt và vuông góc với cạnh của góc nhị diện.

Luyện tập 4

Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, góc BAC = 120°, SA = a/(2√3). Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng góc SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Câu a) Chứng minh góc SMA là góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh AM ⊥ BC

Tam giác ABC có AB = AC = a (tam giác cân tại A)
M là trung điểm của BC
Trong tam giác cân, đường trung tuyến từ đỉnh cũng là đường cao
Suy ra AM ⊥ BC ✓

Bước 2: Chứng minh SM ⊥ BC

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC
Từ bước 1: AM ⊥ BC
Vì SA ∩ AM = A và SA, AM cùng thuộc mặt phẳng (SAM)
Suy ra BC ⊥ (SAM)
Do đó SM ⊥ BC ✓

Bước 3: Kết luận

MA ⊥ BC và MA ⊂ mặt phẳng chứa A (mặt phẳng (ABC))
MS ⊥ BC và MS ⊂ mặt phẳng chứa S (mặt phẳng (SBC))
Điểm M nằm trên cạnh BC của góc nhị diện [S, BC, A]

Vậy góc SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A] ✓

Câu b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A]

Lời giải:

Bước 1: Tính AM

Trong tam giác ABC: AB = AC = a, góc BAC = 120°
Áp dụng định lý cosin:

BC² = AB² + AC² - 2×AB×AC×cos(BAC)

BC² = a² + a² - 2×a×a×cos(120°)

BC² = 2a² - 2a²×(-1/2)

BC² = 2a² + a² = 3a²
BC = a√3

M là trung điểm của BC nên BM = a√3/2

Trong tam giác ABM vuông tại M:

AM² = AB² - BM²

AM² = a² - (a√3/2)²

AM² = a² - 3a²/4 = a²/4
AM = a/2

Bước 2: Tính góc SMA

SA = a/(2√3) (theo đề bài)
AM = a/2

Trong tam giác SAM vuông tại A (vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AM):

tan(SMA) = SA/AM = [a/(2√3)] / (a/2)
tan(SMA) = [a/(2√3)] × (2/a)
tan(SMA) = 1/√3 = √3/3

Suy ra góc SMA = 30°

Đáp án: Số đo của góc nhị diện [S, BC, A] là 30°

Cách 2 — Phương pháp tọa độ hóa

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz với:

Gốc O tại A
Trục Oz theo SA (hướng lên)
Trục Ox, Oy trong mặt phẳng (ABC)

Với AM là đường cao của tam giác cân ABC, đặt trục Ox theo hướng AM.

Tọa độ các điểm:

A = (0, 0, 0)
S = (0, 0, a/(2√3))
M = (a/2, 0, 0)

Vector:

MA = A - M = (-a/2, 0, 0)
MS = S - M = (-a/2, 0, a/(2√3))

Tính góc SMA:
cos(SMA) = (MA · MS) / (|MA| × |MS|)

MA · MS = (-a/2)×(-a/2) + 0 + 0 = a²/4

|MA| = a/2

|MS| = √[(a/2)² + (a/(2√3))²] = √[a²/4 + a²/12] = √[4a²/12] = a√3/3

cos(SMA) = (a²/4) / [(a/2) × (a√3/3)] = (a²/4) / (a²√3/6) = (6)/(4√3) = 3/(2√3) = √3/2

Góc SMA = 30°

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính tan⁻¹(1/√3): Bấm SHIFT → tan → 1 → ÷ → √ → 3 → = - Kết quả: 30°

⚠️ Lưu ý thi: Khi tính góc nhị diện, luôn cần: 1. Chứng minh hai tia tạo góc phẳng đều vuông góc với cạnh 2. Xác định đúng góc cần tính (góc SMA chứ không phải góc MSA)

Vận dụng 1

Đề bài: Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Cách 1 — Phương pháp hình học

Phân tích bài toán:

Đường kính = 80 cm, nên bán kính R = 40 cm
Bản lề đặt tại điểm O (chính giữa cung tròn)
Khoảng cách từ O đến đường kính = R = 40 cm
Khi cửa mở, hai đường kính song song và cách nhau d = 40 cm

Lời giải:

Bước 1: Thiết lập mô hình

Gọi A là một đầu của đường kính trên khung cửa
Gọi M là điểm tương ứng trên cánh cửa khi mở
O là bản lề (tâm của cung tròn)
OA ⊥ đường kính khung (vì O là điểm chính giữa cung)
OM ⊥ đường kính cánh

Bước 2: Xác định góc nhị diện

Cạnh của góc nhị diện là đường thẳng qua O vuông góc với cả hai mặt phẳng
Góc phẳng của góc nhị diện là góc AOM

Bước 3: Tính góc AOM

Khi cửa đóng: A và M trùng nhau
Khi cửa mở với d = 40 cm: khoảng cách giữa hai đường kính là 40 cm

Xét trong mặt phẳng chứa O và vuông góc với hai đường kính:

OA = R = 40 cm (khoảng cách từ O đến đường kính khung)
OM = R = 40 cm (khoảng cách từ O đến đường kính cánh)
Khoảng cách AM = d = 40 cm (khoảng cách giữa hai đường kính)

Tam giác OAM có:

OA = OM = AM = 40 cm
Đây là tam giác đều!

Góc AOM = 60°

Đáp án: Số đo của góc nhị diện là 60°

Cách 2 — Phương pháp lượng giác

Lời giải:

Trong tam giác OAM:

OA = OM = 40 cm
AM = d = 40 cm

Áp dụng định lý cosin:

AM² = OA² + OM² - 2×OA×OM×cos(AOM)

40² = 40² + 40² - 2×40×40×cos(AOM)

1600 = 1600 + 1600 - 3200×cos(AOM)

1600 = 3200 - 3200×cos(AOM)

3200×cos(AOM) = 1600

cos(AOM) = 1600/3200 = 1/2

Góc AOM = 60°

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính cos⁻¹(1/2): Bấm SHIFT → cos → 1 → ÷ → 2 → = - Kết quả: 60°

🎯 Ghi nhớ: - Góc nhị diện trong bài toán thực tế thường được xác định thông qua góc phẳng tại điểm bản lề hoặc điểm xoay - Khi ba cạnh của tam giác bằng nhau, đó là tam giác đều với các góc đều bằng 60° - cos(60°) = 1/2 là giá trị đặc biệt cần nhớ

🎯 Tổng kết kiến thức: 1. Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ 2. Góc phẳng của góc nhị diện tạo bởi hai tia cùng vuông góc với cạnh, mỗi tia nằm trên một mặt 3. Để tính góc nhị diện, cần xác định đúng góc phẳng rồi áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác 4. Chú ý: Hai tia tạo góc phẳng phải vuông góc với cạnh của góc nhị diện

Chế độ đọc sách →