Giải Toán tập 2 trang 60
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 60–61
Nhận xét: Trang 60 chủ yếu là phần đọc thêm "Em có biết?" giải thích về hiện tượng đứng bóng thực sự. Trang 59 (trong hình) chứa các bài tập 7.22 đến 7.27. Tôi sẽ giải đầy đủ các bài tập này.
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn MH, với H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
- d(d, (P)) = d(M, (P)) với M là điểm bất kỳ thuộc d.
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
- d((P), (Q)) = d(M, (Q)) với M là điểm bất kỳ thuộc (P).
4. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
- Là đường thẳng cắt cả hai đường và vuông góc với cả hai.
- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung.
5. Tứ diện đều:
- Có 4 mặt là tam giác đều bằng nhau.
- Các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
⚙️ Bài tập
Bài 7.22
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD) ⊥ (ABCD).
- a) Tính chiều cao của hình chóp.
- b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD).
- c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.
Câu a) Tính chiều cao của hình chóp
Cách 1 — Phương pháp hình chiếu vuông góc
Phân tích:
- ABCD là hình vuông cạnh a
- Tam giác SAD đều có cạnh AD = a
- (SAD) ⊥ (ABCD)
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AD.
Vì tam giác SAD đều nên SI ⊥ AD và SI = (a√3)/2.
Vì (SAD) ⊥ (ABCD) và (SAD) ∩ (ABCD) = AD, mà SI ⊥ AD nên SI ⊥ (ABCD).
Do đó I là hình chiếu của S lên (ABCD), và chiều cao của hình chóp là:
h = SI = (a√3)/2
Cách 2 — Sử dụng tính chất tam giác đều
Trong tam giác đều SAD cạnh a:
- Đường cao từ S xuống AD có độ dài = (a√3)/2
Vì (SAD) ⊥ (ABCD), đường cao này chính là chiều cao hình chóp.
Đáp số: h = (a√3)/2
Câu b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD)
Cách 1 — Chứng minh BC // (SAD)
Lời giải:
BC // AD (vì ABCD là hình vuông)
AD ⊂ (SAD)
BC ⊄ (SAD)
⟹ BC // (SAD)
Do đó: d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = d(C, (SAD))
Vì BC // AD nên khoảng cách từ B (hoặc C) đến (SAD) bằng khoảng cách từ B đến AD trong mặt phẳng (ABCD).
Trong hình vuông ABCD, khoảng cách từ B đến AD bằng AB = a.
d(BC, (SAD)) = a
Cách 2 — Tính trực tiếp
Kẻ BH ⊥ AD tại H. Vì (SAD) ⊥ (ABCD) với giao tuyến AD, và BH ⊥ AD, BH ⊂ (ABCD), nên BH ⊥ (SAD).
BH = AB = a (vì ABCD là hình vuông)
Đáp số: d(BC, (SAD)) = a
Câu c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD
Cách 1 — Phương pháp mặt phẳng trung gian
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của SD.
Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa AB và song song với SD.
Qua A kẻ đường thẳng song song với SD, đường này cắt...
Ta có: I là trung điểm AD. Trong tam giác SAD, gọi N là trung điểm SD.
Khi đó IN // SA và IN = SA/2 = a/2.
Bước 2: Tìm đường vuông góc chung.
Gọi E là trung điểm AB. Xét mặt phẳng (Q) qua E vuông góc với AB.
Trong mặt phẳng (SAD), kẻ đường thẳng qua I vuông góc với SD, cắt SD tại K.
Vì ABCD là hình vuông và I là trung điểm AD, gọi E là trung điểm AB.
Đoạn IE nằm trong mặt phẳng (ABCD), IE ⊥ AB (vì IE là đường trung bình của hình thang ABDI... cần xét lại).
Phương pháp khác - Sử dụng công thức:
Dựng hệ tọa độ với I là gốc:
- I là trung điểm AD
- Trục Ix theo chiều IA
- Trục Iy theo chiều IB
- Trục Iz theo chiều IS
Tọa độ các điểm:
- I = (0, 0, 0)
- A = (a/2, 0, 0)
- D = (-a/2, 0, 0)
- B = (a/2, a, 0)
- S = (0, 0, (a√3)/2)
Vectơ chỉ phương:
- AB = (0, a, 0), chỉ phương u₁ = (0, 1, 0)
- SD = (-a/2, 0, -(a√3)/2), chỉ phương u₂ = (1, 0, √3)
Vectơ AD = (-a, 0, 0), chỉ phương (1, 0, 0)
Tính khoảng cách:
n = u₁ × u₂ = (0, 1, 0) × (1, 0, √3) = (√3, 0, -1)
Vectơ AS = S - A = (-a/2, 0, (a√3)/2)
d(AB, SD) = |AS · n| / |n|
AS · n = (-a/2)(√3) + 0 + ((a√3)/2)(-1) = -(a√3)/2 - (a√3)/2 = -a√3
|n| = √(3 + 0 + 1) = 2
d(AB, SD) = a√3/2
Đáp số: d(AB, SD) = (a√3)/2
💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng VECTOR trên Casio fx-580VN X để tính tích có hướng u₁ × u₂ và tích vô hướng.
Bài 7.23
Đề bài: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, BC = c.
- a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).
- b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.
Câu a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D)
Cách 1 — Phương pháp đường thẳng song song mặt phẳng
Lời giải:
CC' // BB' (các cạnh bên của hình hộp)
BB' ⊂ (BB'D'D)
CC' ⊄ (BB'D'D)
⟹ CC' // (BB'D'D)
Do đó: d(CC', (BB'D'D)) = d(C, (BB'D'D))
Gọi O là tâm hình vuông ABCD (giao điểm AC và BD).
Vì AC ⊥ BD (đường chéo hình chữ nhật... sai, ABCD là hình chữ nhật không phải hình vuông).
Kẻ CH ⊥ BD tại H.
Vì (BB'D'D) ⊥ (ABCD) với giao tuyến BD, và CH ⊥ BD, CH ⊂ (ABCD), nên CH ⊥ (BB'D'D).
Vậy d(C, (BB'D'D)) = CH.
Tính CH trong tam giác BCD:
- BC = c, CD = b
- BD = √(b² + c²)
- Diện tích BCD = (1/2) × BC × CD = bc/2
- Cũng có: S(BCD) = (1/2) × BD × CH
⟹ CH = bc/BD = bc/√(b² + c²)
d(CC', (BB'D'D)) = bc/√(b² + c²)
Cách 2 — Công thức khoảng cách điểm đến mặt phẳng
Tương tự cách 1, sử dụng công thức diện tích để tính đường cao.
Đáp số: d(CC', (BB'D'D)) = bc/√(b² + c²)
Câu b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'
Cách 1 — Phương pháp tọa độ
Lời giải:
Đặt hệ tọa độ Oxyz với A là gốc:
- A = (0, 0, 0)
- B = (b, 0, 0)
- C = (b, c, 0)
- D = (0, c, 0)
- A' = (0, 0, a)
- B' = (b, 0, a)
- C' = (b, c, a)
- D' = (0, c, a)
Vectơ chỉ phương:
- AC: u₁ = (b, c, 0)
- B'D': u₂ = D' - B' = (-b, c, 0)
Vectơ AB' = (b, 0, a)
n = u₁ × u₂ = (b, c, 0) × (-b, c, 0) = (0, 0, bc + bc) = (0, 0, 2bc)
|n| = 2bc
AB' · n = b × 0 + 0 × 0 + a × 2bc = 2abc
d(AC, B'D') = |AB' · n| / |n| = 2abc / 2bc = a
Đường vuông góc chung:
Vì n = (0, 0, 2bc), đường vuông góc chung có phương (0, 0, 1), tức là song song với AA'.
Gọi O là tâm ABCD, O' là tâm A'B'C'D'.
O = ((b/2), (c/2), 0), O' = ((b/2), (c/2), a)
AC và B'D' đều đi qua trục OO'.
Đường vuông góc chung là đoạn OO'.
Đáp số: - Đường vuông góc chung là OO' (O, O' là tâm hai đáy) - d(AC, B'D') = a = AA'
💡 Mẹo nhớ: Khoảng cách giữa hai đường chéo của hai đáy đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng chiều cao hình hộp.
Bài 7.24
Đề bài: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
- a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
- b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.
Câu a) Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AB và CD
Cách 1 — Phương pháp tổng hợp
Lời giải:
Bước 1: Chứng minh MN ⊥ AB
Xét tam giác ABN:
- AN và BN là các đường trung tuyến từ A và B đến CD trong các tam giác ACD và BCD.
Trong tam giác ACD đều (vì AC = AD = CD = a), ta có:
AN = (a√3)/2
Tương tự trong tam giác BCD đều:
BN = (a√3)/2
Vậy AN = BN.
Tam giác ABN cân tại N, mà M là trung điểm AB.
⟹ NM ⊥ AB
Bước 2: Chứng minh MN ⊥ CD
Xét tam giác CDM:
- CM là trung tuyến từ C đến AB trong tam giác ABC đều ⟹ CM = (a√3)/2
- DM là trung tuyến từ D đến AB trong tam giác ABD đều ⟹ DM = (a√3)/2
Tam giác CDM cân tại M, mà N là trung điểm CD.
⟹ MN ⊥ CD
Kết luận: MN cắt cả AB và CD, đồng thời MN ⊥ AB và MN ⊥ CD.
⟹ MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Cách 2 — Phương pháp tọa độ
Đặt hệ tọa độ với M là gốc, AB nằm trên trục Ox.
- M = (0, 0, 0)
- A = (-a/2, 0, 0), B = (a/2, 0, 0)
Do tính đối xứng của tứ diện đều, C và D đối xứng qua mặt phẳng trung trực của AB.
- C = (0, y₀, z₀), D = (0, -y₀, z₀)
Từ AC = a: (a/2)² + y₀² + z₀² = a² ⟹ y₀² + z₀² = 3a²/4
Từ CD = a: (2y₀)² = a² ⟹ y₀ = a/2
⟹ z₀ = (a√2)/2
Vậy: C = (0, a/2, (a√2)/2), D = (0, -a/2, (a√2)/2)
N = trung điểm CD = (0, 0, (a√2)/2)
MN = (0, 0, (a√2)/2)
- MN · AB = (0, 0, (a√2)/2) · (a, 0, 0) = 0 ✓
- MN · CD = (0, 0, (a√2)/2) · (0, -a, 0) = 0 ✓
⟹ MN ⊥ AB và MN ⊥ CD. (đpcm)
Câu b) Chứng minh các cặp cạnh đối diện đều vuông góc với nhau
Cách 1 — Phương pháp vectơ
Lời giải:
Tứ diện đều ABCD có 3 cặp cạnh đối diện:
- AB và CD
- AC và BD
- AD và BC
Chứng minh AB ⊥ CD:
AB · CD = AB · (AD - AC) = AB · AD - AB · AC
Trong tam giác ABD đều: AB · AD = |AB| × |AD| × cos60° = a² × (1/2) = a²/2
Trong tam giác ABC đều: AB · AC = a²/2
⟹ AB · CD = a²/2 - a²/2 = 0
⟹ AB ⊥ CD
Chứng minh AC ⊥ BD:
AC · BD = AC · (AD - AB) = AC · AD - AC · AB = a²/2 - a²/2 = 0
⟹ AC ⊥ BD
Chứng minh AD ⊥ BC:
AD · BC = AD · (AC - AB) = AD · AC - AD · AB = a²/2 - a²/2 = 0
⟹ AD ⊥ BC
Kết luận: Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều đều vuông góc với nhau. (đpcm)
⚠️ Lưu ý thi: Tính chất "các cặp cạnh đối diện của tứ diện đều vuông góc với nhau" thường được sử dụng mà không cần chứng minh lại trong các bài tập.
Bài 7.25
Đề bài: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
- a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.
- b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).
Câu a) Chứng minh (D'AC) // (BC'A') và DB' ⊥ cả hai mặt phẳng
Cách 1 — Phương pháp tổng hợp
Lời giải:
Bước 1: Chứng minh (D'AC) // (BC'A')
Trong mặt phẳng (D'AC):
- D'A // C'B (vì D'A'BC' là hình bình hành - mặt bên hình lập phương)
- D'C // A'B (vì D'DCC' và AA'B'B là các mặt của hình lập phương, suy ra D'C // A'B qua tính chất hình lập phương)
Thật ra, ta chứng minh như sau:
Gọi O là tâm hình lập phương (giao điểm của các đường chéo không gian).
Xét tam giác D'AC và BC'A':
- Trung điểm của D'B là O (vì D'B là đường chéo chính)
- Trung điểm của AC' là O
- Trung điểm của CA' là O (kiểm tra: C + A' = (a,a,0) + (0,0,a) = (a,a,a); O = (a/2, a/2, a/2)... cần tọa độ)
Dùng phương pháp tọa độ:
Đặt A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a,a,0), D = (0,a,0)
A' = (0,0,a), B' = (a,0,a), C' = (a,a,a), D' = (0,a,a)
Mặt phẳng (D'AC):
- AD' = (0, a, a)
- AC = (a, a, 0)
- n₁ = AD' × AC = (a×0 - a×1, a×a - 0×0, 0×a - a×a) = (-a, a², -a²)
- Rút gọn: n₁ = (-1, a, -a) ... tính lại
n₁ = AD' × AC = |i j k |
|0 a a |
|a a 0 |
= i(a×0 - a×a) - j(0×0 - a×a) + k(0×a - a×a)
= i(-a²) - j(-a²) + k(-a²)
= (-a², a², -a²)
= a²(-1, 1, -1)
Vectơ pháp tuyến (D'AC): n₁ = (-1, 1, -1)
Mặt phẳng (BC'A'):
- A'B = (a, 0, -a)
- A'C' = (a, a, 0)
n₂ = A'B × A'C' = |i j k |
|a 0 -a|
|a a 0 |
= i(0×0 - (-a)×a) - j(a×0 - (-a)×a) + k(a×a - 0×a)
= i(a²) - j(a²) + k(a²)
= (a², -a², a²)
= a²(1, -1, 1)
Vectơ pháp tuyến (BC'A'): n₂ = (1, -1, 1) = -n₁
⟹ (D'AC) // (BC'A') ✓
Bước 2: Chứng minh DB' ⊥ (D'AC) và DB' ⊥ (BC'A')
DB' = B' - D = (a, 0, a) - (0, a, 0) = (a, -a, a)
DB' · n₁ = (a, -a, a) · (-1, 1, -1) = -a - a - a = -3a ≠ 0
Hmm, tính lại...
DB' = (a, -a, a), n₁ = (-1, 1, -1)
DB' // n₁ nếu DB' = k × n₁
(a, -a, a) = k(-1, 1, -1) ⟹ k = -a
Kiểm tra: -a × (-1, 1, -1) = (a, -a, a) ✓
⟹ DB' // n₁, tức là DB' ⊥ (D'AC) ✓
Tương tự, DB' // n₂ (vì n₂ = -n₁), nên DB' ⊥ (BC'A') ✓
Câu b) Xác định E, F và tính d((D'AC), (BC'A'))
Cách 1 — Phương pháp tọa độ
Lời giải:
Tìm E = DB' ∩ (D'AC):
Phương trình đường thẳng DB':
- Điểm D = (0, a, 0)
- Vectơ chỉ phương: (a, -a, a) hay (1, -1, 1)
- Tham số: (x, y, z) = (0, a, 0) + t(1, -1, 1) = (t, a-t, t)
Phương trình mặt phẳng (D'AC):
- Qua A(0,0,0) với pháp tuyến n₁ = (-1, 1, -1)
- Phương trình: -x + y - z = 0, hay x - y + z = 0
Thay điểm trên DB' vào:
t - (a-t) + t = 0
t - a + t + t = 0
3t = a
t = a/3
⟹ E = (a/3, 2a/3, a/3)
Tìm F = DB' ∩ (BC'A'):
Phương trình mặt phẳng (BC'A'):
- Qua B(a, 0, 0) với pháp tuyến n₂ = (1, -1, 1)
- Phương trình: 1(x-a) - 1(y-0) + 1(z-0) = 0
- x - y + z = a
Thay điểm trên DB' vào:
t - (a-t) + t = a
3t - a = a
3t = 2a
t = 2a/3
⟹ F = (2a/3, a/3, 2a/3)
Tính khoảng cách d((D'AC), (BC'A')):
d = EF = √[(2a/3 - a/3)² + (a/3 - 2a/3)² + (2a/3 - a/3)²]
= √[(a/3)² + (-a/3)² + (a/3)²]
= √[3 × (a/3)²]
= (a/3)√3
= a√3/3
Đáp số: - E = (a/3, 2a/3, a/3) - là điểm chia DB' theo tỉ lệ 1:2 kể từ D - F = (2a/3, a/3, 2a/3) - là điểm chia DB' theo tỉ lệ 2:1 kể từ D - d((D'AC), (BC'A')) = (a√3)/3
💡 Mẹo nhớ: Trong hình lập phương, hai mặt phẳng qua đường chéo của hai mặt đối diện và song song với đường chéo chính thì song song với nhau.
Bài 7.26
Đề bài: Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.
Cách 1 — Phương pháp hình học không gian
Lời giải:
Gọi S là đỉnh giá đỡ (điểm giao của 3 chân), A, B, C là 3 gốc chân trên mặt đất.
Dữ kiện:
- SA = SB = SC = 129 cm (chiều dài mỗi chân)
- AB = BC = CA = 110 cm (khoảng cách giữa các gốc chân)
- Tam giác ABC đều cạnh 110 cm
Tìm chiều cao:
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).
Vì SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Với tam giác đều cạnh a = 110 cm, bán kính đường tròn ngoại tiếp:
R = a/√3 = 110/√3 = (110√3)/3 cm
Hay: R = a/(2sin60°) = 110/(2 × (√3/2)) = 110/√3
Trong tam giác vuông SHA:
- SA = 129 cm
- HA = R = 110/√3 cm
SH² = SA² - HA²
SH² = 129² - (110/√3)²
SH² = 16641 - 12100/3
SH² = 16641 - 4033,33...
SH² = 49923/3 - 12100/3 = (49923 - 12100)/3
Tính lại:
- SA² = 129² = 16641
- HA² = (110)²/3 = 12100/3
SH² = 16641 - 12100/3 = (49923 - 12100)/3 = 37823/3
SH = √(37823/3) = √37823/√3 ≈ 194,48/1,732 ≈ 112,3 cm
Tính chính xác:
SH² = 16641 - 12100/3 = (16641 × 3