Giải Toán tập 2 trang 62

Hai trang này mở đầu Bài 27 – Thể tích (sách Toán tập 2, bộ Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải toàn bộ hoạt động, ví dụ và luyện tập có trên trang.

Tóm tắt lý thuyết

Các công thức thể tích cần nhớ:

Nhận xét:

• Thể tích khối tứ diện = một phần ba tích của chiều cao từ một đỉnh và diện tích mặt đối diện với đỉnh đó.
• Thể tích khối hộp = tích của diện tích một mặt và chiều cao ứng với mặt đó.

HĐ1: Công suất điều hoà

Đề: Mỗi mét khối phòng cần khoảng 200 BTU. Phòng hình hộp chữ nhật rộng 4 m, dài 5 m, cao 3 m. Hỏi cần mua điều hoà công suất bao nhiêu BTU?

Lời giải:

Thể tích căn phòng:
$$V = 4 \times 5 \times 3 = 60 \ (\text{m}^3).$$

Công suất điều hoà cần thiết:
$$60 \times 200 = 12\,000 \ (\text{BTU}).$$

Vậy bác An cần mua loại điều hoà công suất khoảng 12 000 BTU.

Ví dụ 1: Tứ diện vuông OABC

Đề: Khối tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và $OA = a$, $OB = b$, $OC = c$. Tính thể tích.

Lời giải:

Tam giác vuông $OBC$ có diện tích $S_{OBC} = \dfrac{1}{2}bc$.

Vì $OA \perp (OBC)$ nên $OA$ chính là chiều cao của tứ diện ứng với đỉnh $A$.

$$V_{OABC} = \frac{1}{3}\,OA\cdot S_{OBC} = \frac{1}{3}\cdot a\cdot \frac{1}{2}bc = \frac{1}{6}abc.$$

Luyện tập 1: Khối chóp đều S.ABCD

Đề: Khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, gọi $O$ là tâm. Khi đó $SO$ là đường cao của chóp.

Đường chéo hình vuông: $AC = a\sqrt{2}$, nên
$$OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Trong tam giác vuông $SOA$ ($SA = b$ là cạnh bên):

$$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}.$$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$. Vậy:

$$V = \frac{1}{3}\cdot a^2 \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}} = \frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2 - 2a^2}.$$

Điều kiện để khối chóp tồn tại là $b^2 > \dfrac{a^2}{2}$, tức cạnh bên đủ dài để dựng được chóp.

Ví dụ 2: Khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Đề: Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, mặt $(ACC'A')$ vuông góc với hai đáy, tam giác $A'AC$ cân tại $A'$ và $AA' = b$ ($a < 2b$). Tính thể tích.

Lời giải:

Gọi $A'H$ là đường cao tam giác cân $A'AC$ thì $H$ là trung điểm $AC$.

Do $(ACC'A') \perp (ABC)$ và $A'H \perp AC$ nên $A'H \perp (ABC)$, tức $A'H$ là chiều cao lăng trụ.

$$A'H = \sqrt{AA'^2 - AH^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}.$$

Diện tích đáy tam giác đều: $S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$. Vậy:

$$V = A'H\cdot S_{ABC} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4} = \frac{a^2\sqrt{3(4b^2 - a^2)}}{8}.$$

Luyện tập 2: Khối chóp cụt đều ABC.A'B'C'

Đề: Khối chóp cụt đều $ABC.A'B'C'$ có đường cao $HH' = h$, hai mặt đáy $ABC$, $A'B'C'$ có cạnh tương ứng bằng $2a$ và $a$.

a) Tính thể tích khối chóp cụt.

b) Gọi $B_1, C_1$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Chứng minh $AB_1C_1.A'B'C'$ là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ này.

Lời giải:

a) Diện tích hai đáy (tam giác đều):
$$S = \frac{(2a)^2\sqrt3}{4} = a^2\sqrt3, \qquad S' = \frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

$$\sqrt{S\cdot S'} = \sqrt{a^2\sqrt3 \cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}} = \sqrt{\frac{3a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt3}{2}.$$

Áp dụng công thức chóp cụt:

$$V = \frac{1}{3}h\big(S + S' + \sqrt{S\cdot S'}\big) = \frac{1}{3}h\left(a^2\sqrt3 + \frac{a^2\sqrt3}{4} + \frac{a^2\sqrt3}{2}\right).$$

Gộp ngoặc: $a^2\sqrt3\left(1 + \dfrac14 + \dfrac12\right) = a^2\sqrt3\cdot \dfrac{7}{4}$. Do đó:
$$\boxed{V = \frac{7a^2\sqrt3\,h}{12}.}$$

b) Vì $B_1, C_1$ là trung điểm của $AB, AC$ nên:

• $AB_1 = AC_1 = \dfrac{2a}{2} = a$;
• $B_1C_1$ là đường trung bình tam giác $ABC$ nên $B_1C_1 = \dfrac{BC}{2} = a$.

Suy ra tam giác $AB_1C_1$ là tam giác đều cạnh $a$, bằng tam giác $A'B'C'$.

Hai mặt đáy của chóp cụt nằm trên hai mặt phẳng song song, cách nhau $h$. Tam giác $AB_1C_1$ nằm trong $(ABC)$ và tam giác $A'B'C'$ nằm trong $(A'B'C')$, hai tam giác này bằng nhau và tương ứng song song (do tính đối xứng đều của chóp cụt, các cạnh $AA'$, $B_1B'$, $C_1C'$ song song và bằng nhau). Vậy $AB_1C_1.A'B'C'$ là một hình lăng trụ với chiều cao bằng $HH' = h$.

Diện tích đáy lăng trụ:
$$S_{AB_1C_1} = \frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Thể tích khối lăng trụ:
$$V_{\text{lăng trụ}} = S_{AB_1C_1}\cdot h = \frac{a^2\sqrt3}{4}\,h.$$

Một lưu ý nhỏ thú vị: thể tích phần còn lại của chóp cụt (sau khi bỏ lăng trụ) là $\dfrac{7a^2\sqrt3 h}{12} - \dfrac{a^2\sqrt3 h}{4} = \dfrac{a^2\sqrt3 h}{3}$, đúng bằng tổng thể tích các phần chóp hai bên.