Giải Toán tập 2 trang 10

Hai trang này gồm phần BÀI TẬP của bài về lũy thừa và mở đầu Bài 19: Lôgarit. Mình sẽ giải hết bài tập rồi tóm tắt phần lý thuyết mới nhé.

Bài 6.1: Tính

a) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$

b) $4^{\frac{3}{2}} = \left(2^2\right)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$

c) $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

d) $\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0,75} = 16^{\frac{3}{4}} = \left(2^4\right)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$

Bài 6.2: Thực hiện phép tính

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} - 25^{0,5}$

$$= 9 + 3^{-3} - 5 = 9 + \dfrac{1}{27} - 5 = 4 + \dfrac{1}{27} = \dfrac{109}{27}$$

b) $4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}} = 2^{2(2-3\sqrt{7})} \cdot 2^{3\cdot 2\sqrt{7}} = 2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}} = 2^4 = 16$

Bài 6.3: Rút gọn biểu thức

a) $A = \dfrac{x^5 y^{-2}}{x^3 y} = x^{5-3}\,y^{-2-1} = x^2 y^{-3} = \dfrac{x^2}{y^3}$

b) $B = \dfrac{x^2 y^{-3}}{\left(x^{-1}y^4\right)^{-3}} = \dfrac{x^2 y^{-3}}{x^3 y^{-12}} = x^{-1}y^{9} = \dfrac{y^9}{x}$

Bài 6.4: Rút gọn (x, y dương)

a) Viết các căn về dạng lũy thừa: $\sqrt{y}=y^{\frac12},\ \sqrt{x}=x^{\frac12},\ \sqrt[6]{x}=x^{\frac16},\ \sqrt[6]{y}=y^{\frac16}$.

Tử số:

$$x^{\frac13}y^{\frac12} + y^{\frac13}x^{\frac12} = (xy)^{\frac13}\left(y^{\frac16} + x^{\frac16}\right)$$

Vậy:
$$A = \dfrac{(xy)^{\frac13}\left(x^{\frac16}+y^{\frac16}\right)}{x^{\frac16}+y^{\frac16}} = (xy)^{\frac13} = \sqrt[3]{xy}$$

b) $B = \left(\dfrac{x^{\sqrt3}}{y^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}\cdot \dfrac{x^{-\sqrt3-1}}{y^{-2}}$

Số mũ của $x$ ở ngoặc: $\sqrt3(\sqrt3+1) = 3+\sqrt3$
Số mũ của $y$ ở mẫu: $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1) = 3-1 = 2$

$$B = \dfrac{x^{3+\sqrt3}}{y^{2}}\cdot x^{-\sqrt3-1}\cdot y^{2} = x^{(3+\sqrt3)+(-\sqrt3-1)}\cdot y^{-2+2} = x^2$$

Bài 6.5: Chứng minh $\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3} = 2$

Đưa biểu thức dưới căn về hằng đẳng thức:

$$4 + 2\sqrt3 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = (\sqrt3+1)^2$$

$$4 - 2\sqrt3 = 3 - 2\sqrt3 + 1 = (\sqrt3-1)^2$$

Vì $\sqrt3 > 1$ nên:
$$\sqrt{4+2\sqrt3} = \sqrt3+1,\qquad \sqrt{4-2\sqrt3} = \sqrt3-1$$

$$\Rightarrow (\sqrt3+1) - (\sqrt3-1) = 2 \quad\text{(đpcm)}$$

Bài 6.6: So sánh (không dùng máy tính)

a) So sánh $5^{6\sqrt3}$ và $5^{3\sqrt6}$.

So sánh hai số mũ: $6\sqrt3 = \sqrt{108}$, $3\sqrt6 = \sqrt{54}$. Vì $108 > 54$ nên $6\sqrt3 > 3\sqrt6$.
Cơ số $5 > 1$ nên:
$$5^{6\sqrt3} > 5^{3\sqrt6}$$

b) So sánh $\left(\dfrac12\right)^{-\frac43}$ và $\sqrt2\cdot 2^{\frac23}$.

$$\left(\dfrac12\right)^{-\frac43} = 2^{\frac43} = 2^{\frac86}$$
$$\sqrt2\cdot 2^{\frac23} = 2^{\frac12}\cdot 2^{\frac23} = 2^{\frac76}$$

Vì $\frac86 > \frac76$ và cơ số $2 > 1$ nên:
$$\left(\dfrac12\right)^{-\frac43} > \sqrt2\cdot 2^{\frac23}$$

Bài 6.7: Bài toán lãi suất ngân hàng

Đề: $A = P\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^N$. Bác An gửi $P = 120$ triệu, lãi suất $r = 5\% = 0,05$/năm, kì hạn 6 tháng nên một năm tính lãi $n = 2$ lần. Sau 2 năm có $N = 2\times 2 = 4$ kì.

$$A = 120\left(1+\dfrac{0,05}{2}\right)^4 = 120\cdot(1,025)^4 \approx 120 \cdot 1,103813 \approx 132,46 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy sau 2 năm bác An thu được khoảng 132,46 triệu đồng.

Bài 6.8: Bài toán dân số

Đề: $A = 19\cdot 2^{\frac{t}{30}}$. Với $t = 20$:
$$A = 19\cdot 2^{\frac{20}{30}} = 19\cdot 2^{\frac23} \approx 19 \cdot 1,5874 \approx 30,16$$

Làm tròn đến hàng triệu: dân số khoảng 30 triệu người.

---

Bài 19: Lôgarit (mở đầu)

Tóm tắt lý thuyết phần đầu (trang 10):

Định nghĩa: Cho $a$ là số thực dương khác 1 và $M$ là số thực dương. Số thực $\alpha$ thỏa $a^\alpha = M$ gọi là lôgarit cơ số $a$ của $M$, kí hiệu $\log_a M$.
$$\alpha = \log_a M \iff a^\alpha = M$$

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0; cơ số phải dương và khác 1.

Tính chất cơ bản (với $0 < a \neq 1$, $M > 0$, $\alpha$ tùy ý):
$$\log_a 1 = 0;\quad \log_a a = 1;\quad a^{\log_a M} = M;\quad \log_a a^\alpha = \alpha$$

Bài toán mở đầu

$A = 100(1+0,06)^n \ge 150 \Rightarrow 1,06^n \ge 1,5 \Rightarrow n \ge \log_{1,06}1,5 \approx 6,96$.

Vậy sau ít nhất 7 năm, tổng số tiền không dưới 150 triệu đồng.

HĐ1: Tìm x

a) $2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3$

b) $2^x = \dfrac14 = 2^{-2} \Rightarrow x = -2$

c) $2^x = \sqrt2 = 2^{\frac12} \Rightarrow x = \dfrac12$

Ví dụ 1 (sách đã giải)

a) $\log_2 \dfrac18 = \log_2 2^{-3} = -3$

b) $\log_{\sqrt3} 9 = \log_{\sqrt3}\left(\sqrt3\right)^4 = 4$

Hai ví dụ này áp dụng trực tiếp tính chất $\log_a a^\alpha = \alpha$, em chỉ cần đưa số bên trong về lũy thừa của cơ số là ra ngay đáp án.