Giải Toán tập 2 trang 64
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 64–65
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Thể tích khối chóp
- Công thức: V = (1/3) × S × h
- S: diện tích đáy
- h: chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy)
2. Thể tích khối lăng trụ
- Công thức: V = S × h
- S: diện tích đáy
- h: chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy)
3. Thể tích khối chóp cụt
- Công thức: V = (1/3) × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
- S₁, S₂: diện tích hai đáy
- h: chiều cao
4. Hai mặt phẳng vuông góc
- (P) ⊥ (Q) ⟺ (P) chứa đường thẳng vuông góc với (Q)
⚙️ Bài tập
Bài 7.28
Đề bài: Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Tính diện tích đáy
Đáy ABC là tam giác đều cạnh a, nên:
- S_ABC = (a² × √3)/4
Bước 2: Tìm chiều cao khối chóp
Gọi H là tâm tam giác đều ABC (cũng là hình chiếu của S lên đáy vì chóp đều).
Trong tam giác đều ABC:
- AH = (2/3) × (a√3/2) = a√3/3
Trong tam giác vuông SAH:
- SH² = SA² - AH² = b² - a²/3 = (3b² - a²)/3
- SH = √((3b² - a²)/3) = √(3b² - a²)/√3
Bước 3: Tính thể tích
V = (1/3) × S_ABC × SH = (1/3) × (a²√3/4) × √(3b² - a²)/√3
V = (a²/12) × √(3b² - a²)
Bước 4: Suy ra thể tích khối tứ diện đều cạnh a
Với khối tứ diện đều cạnh a, ta có b = a. Thay vào:
- V = (a²/12) × √(3a² - a²) = (a²/12) × √(2a²) = (a²/12) × a√2
V_tứ diện đều = (a³√2)/12
Cách 2 — Công thức trực tiếp cho tứ diện đều
Với tứ diện đều cạnh a:
- Chiều cao h = a√(2/3) = a√6/3
- Diện tích đáy S = a²√3/4
V = (1/3) × (a²√3/4) × (a√6/3) = (a³√18)/36 = (a³ × 3√2)/36 = a³√2/12
💡 Mẹo nhớ: Thể tích tứ diện đều cạnh a: V = a³√2/12
Bài 7.29
Đề bài: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, góc ABC = 150°. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Cách 1 — Tính diện tích đáy bằng công thức
Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC
Áp dụng công thức: S = (1/2) × AB × BC × sin(ABC)
- S_ABC = (1/2) × 6 × 2 × sin150°
- S_ABC = (1/2) × 6 × 2 × (1/2) = 3 (cm²)
Bước 2: Tính thể tích
Lăng trụ đứng nên chiều cao h = AA' = 5 cm
V = S_ABC × AA' = 3 × 5 = 15 (cm³)
Cách 2 — Kiểm tra bằng máy tính
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm: (1/2) × 6 × 2 × sin(150) = 3 - Sau đó: 3 × 5 = 15
⚠️ Lưu ý thi: Nhớ sin150° = sin30° = 1/2
Bài 7.30
Đề bài: Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:
Câu a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng 60°
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định các yếu tố
Gọi O là tâm hình vuông ABCD (giao điểm hai đường chéo).
- Chóp đều nên SO ⊥ (ABCD)
- Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc SAO = 60°
Bước 2: Tính OA
Đường chéo hình vuông cạnh 6: AC = 6√2
- OA = AC/2 = 3√2 (cm)
Bước 3: Tính chiều cao SO
Trong tam giác vuông SOA:
- tan60° = SO/OA
- SO = OA × tan60° = 3√2 × √3 = 3√6 (cm)
Bước 4: Tính thể tích
- S_ABCD = 6² = 36 (cm²)
- V = (1/3) × 36 × 3√6 = 36√6 (cm³)
Cách 2 — Công thức nhanh
V = (1/3) × a² × (a√2/2) × tanα = (1/3) × 36 × 3√2 × √3 = 36√6 (cm³)
Câu b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng 45°
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định góc giữa mặt bên và đáy
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó:
- SM ⊥ BC (vì tam giác SBC cân tại S)
- OM ⊥ BC (vì O là tâm hình vuông)
- Góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABCD) là góc SMO = 45°
Bước 2: Tính OM
OM = AB/2 = 6/2 = 3 (cm)
Bước 3: Tính SO
Trong tam giác vuông SOM:
- tan45° = SO/OM
- SO = OM × tan45° = 3 × 1 = 3 (cm)
Bước 4: Tính thể tích
V = (1/3) × 36 × 3 = 36 (cm³)
💡 Mẹo nhớ: Với chóp tứ giác đều, góc giữa mặt bên và đáy được xác định qua trung điểm cạnh đáy.
Bài 7.31
Đề bài: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định hình chiếu của A' lên đáy
Vì A'A = A'B = A'C nên A' cách đều 3 đỉnh A, B, C.
→ Hình chiếu H của A' lên mặt phẳng (ABC) là tâm tam giác đều ABC.
Bước 2: Tính AH
AH = (2/3) × (a√3/2) = a√3/3
Bước 3: Tính chiều cao A'H
Trong tam giác vuông A'HA:
- A'H² = A'A² - AH² = b² - a²/3 = (3b² - a²)/3
- A'H = √(3b² - a²)/√3
Bước 4: Tính thể tích
Diện tích đáy: S = a²√3/4
V = S × A'H = (a²√3/4) × √(3b² - a²)/√3
V = (a²/4) × √(3b² - a²)
Cách 2 — Rút gọn công thức
V = (a²√(3b² - a²))/4
⚠️ Lưu ý: Điều kiện để tồn tại: 3b² - a² > 0, tức b > a/√3
Bài 7.32
Đề bài: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.
Câu a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt
Giải:
Quan sát hình 7.99:
- Đáy lớn A'B'C'D' là hình vuông cạnh 8 dm (kích thước tấm tôn ban đầu)
- Đáy nhỏ ABCD là hình vuông cạnh nhỏ hơn (sau khi cắt góc và gấp)
- Các mặt bên là hình thang cân
Khi gấp các phần còn lại lên, ta được một hình có:
- Hai đáy là hình vuông song song với nhau
- Các cạnh bên nếu kéo dài sẽ đồng quy tại một điểm
→ Đây chính là đặc điểm của hình chóp cụt tứ giác đều.
Câu b) Tính cạnh bên của thùng
Giải:
Từ hình vẽ:
- Tấm tôn cạnh 8 dm
- Phần cắt ở mỗi góc: hình tam giác với cạnh góc vuông 1 dm
- Chiều cao thùng (sau khi gấp): h = 3 dm (từ hình vẽ)
Cạnh đáy lớn: 8 dm
Cạnh đáy nhỏ: 8 - 2×1 = 6 dm?
Từ hình vẽ chi tiết, ta thấy:
- Phần gấp lên có chiều cao 3 dm
- Cạnh vát 1 dm mỗi bên
Cạnh bên của thùng (cạnh nghiêng):
- Theo định lý Pythagore: l² = 3² + 1² = 10
- l = √10 (dm)
Câu c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?
Giải:
Bước 1: Xác định kích thước
Từ hình vẽ:
- Đáy lớn (miệng): cạnh 8 dm
- Đáy nhỏ: cạnh = 8 - 2×1 = 6 dm (dựa vào phần cắt góc 1 dm)
- Chiều cao: h = 3 dm
Bước 2: Áp dụng công thức thể tích hình chóp cụt
V = (1/3) × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
Với:
- S₁ = 8² = 64 (dm²)
- S₂ = 6² = 36 (dm²)
- √(S₁ × S₂) = √(64 × 36) = √2304 = 48 (dm²)
V = (1/3) × 3 × (64 + 36 + 48) = 1 × 148 = 148 (dm³)
Bước 3: Đổi đơn vị
1 dm³ = 1 lít
→ Thùng chứa được tối đa 148 lít nước.
💡 Mẹo bấm máy: Bấm trực tiếp: (1÷3) × 3 × (64 + 36 + √(64×36)) = 148
Bài Vận dụng (trang 63)
Đề bài: Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều (H.7.98). Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng 60 cm, 30 cm, cạnh bên của sọt dài 50 cm. Tính thể tích của sọt.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định các yếu tố
- Cạnh đáy lớn (miệng): a = 60 cm
- Cạnh đáy nhỏ: b = 30 cm
- Cạnh bên: l = 50 cm
Bước 2: Tính chiều cao h
Gọi O và O' lần lượt là tâm của đáy nhỏ và đáy lớn.
Khoảng cách từ tâm đến cạnh:
- Đáy lớn: d₁ = 60/2 = 30 cm
- Đáy nhỏ: d₂ = 30/2 = 15 cm
Khoảng cách ngang giữa hai cạnh tương ứng: d = 30 - 15 = 15 cm
Cạnh bên (apothem của mặt bên) tạo với đáy một tam giác vuông:
- l² = h² + d²
- 50² = h² + 15²
- 2500 = h² + 225
- h² = 2275
- h = √2275 = √(25 × 91) = 5√91 cm
Bước 3: Tính thể tích
- S₁ = 60² = 3600 cm²
- S₂ = 30² = 900 cm²
- √(S₁ × S₂) = √(3600 × 900) = √3240000 = 1800 cm²
V = (1/3) × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
V = (1/3) × 5√91 × (3600 + 900 + 1800)
V = (1/3) × 5√91 × 6300
V = 5 × 2100 × √91
V = 10500√91 (cm³)
V ≈ 100197 cm³ ≈ 100,2 dm³ ≈ 100,2 lít
Cách 2 — Tính nhanh với máy tính
💡 Mẹo bấm máy: - Tính h: √(50² - 15²) = √2275 ≈ 47.7 - Tính V: (1/3) × 47.7 × (3600 + 900 + 1800) ≈ 100170 cm³
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII
A – TRẮC NGHIỆM
Câu 7.33
Đề bài: Cho các phát biểu sau:
- Hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì a ⊥ (R).
- Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng a thì b ⊥ (Q).
- Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và a vuông góc với (Q) thì (P) ⊥ (Q).
- Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì a ⊥ (Q).
Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Giải:
Xét từng phát biểu:
(1) ĐÚNG ✓
- (P) ⊥ (R) và (Q) ⊥ (R)
- a = (P) ∩ (Q)
- Theo tính chất: giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với mặt phẳng đó.
→ a ⊥ (R)
(2) ĐÚNG ✓
- (P) ⊥ (Q), giao tuyến là a
- b ⊂ (P), b ⊥ a
- Theo định lý: Nếu (P) ⊥ (Q) có giao tuyến a, đường thẳng b nằm trong (P) và vuông góc với a thì b ⊥ (Q).
→ b ⊥ (Q)
(3) ĐÚNG ✓
- a ⊥ (Q) và a ⊂ (P)
- Theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc: Nếu mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc.
→ (P) ⊥ (Q)
(4) SAI ✗
- a ⊂ (P) và (P) ⊥ (Q) không đủ để kết luận a ⊥ (Q)
- Phản ví dụ: a có thể song song hoặc nằm trên giao tuyến của (P) và (Q)
Đáp án: C. 3
⚠️ Lưu ý thi: Phát biểu (4) là bẫy thường gặp. Chỉ khi a ⊥ giao tuyến thì mới có a ⊥ (Q).
Câu 7.34
Đề bài: Cho mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và a là giao tuyến của (P) và (Q). Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?
A. Đường thẳng d nằm trên (Q) thì d vuông góc với (P).
B. Đường thẳng d nằm trên (Q) và d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).
C. Đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).
D. Đường thẳng d vuông góc với (Q) thì d vuông góc với (P).
Giải:
Xét từng phương án:
A. SAI - Không phải mọi đường thẳng trong (Q) đều vuông góc với (P). Ví dụ: giao tuyến a nằm trong cả (P) và (Q).
B. ĐÚNG ✓ - Theo định lý: Nếu (P) ⊥ (Q), giao tuyến là a, đường thẳng d nằm trong (Q) và d ⊥ a thì d ⊥ (P).
C. SAI - d chỉ vuông góc với a thì không đủ. d cần nằm trong một trong hai mặt phẳng.
D. SAI - d ⊥ (Q) không suy ra d ⊥ (P). Thực tế d có thể song song hoặc nằm trong (P).
Đáp án: B
Câu 7.35
Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Số đo của góc nhị diện [S, AB, C] bằng góc SBC.
B. Số đo của góc nhị diện [D, SA, B] bằng 90°.
C. Số đo của góc nhị diện [S, AC, B] bằng 90°.
D. Số đo của góc nhị diện [D, SA, B] bằng góc BSD.
Giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
A. SAI - Góc nhị diện [S, AB, C] được đo qua các đường vuông góc với AB từ S và C. Không phải góc SBC.
B. SAI - Góc nhị diện [D, SA, B] không nhất thiết bằng 90°.
C. ĐÚNG ✓
- Xét góc nhị diện [S, AC, B]
- Mặt phẳng (SAC) chứa SO (vì O nằm trên AC)
- SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BD
- AC ⊥ BD (tính chất đường chéo hình vuông)
- Vậy BD ⊥ (SAC)
- Do đó góc nhị diện [S, AC, B] = 90°
D. SAI - Cần kiểm tra cụ thể, không đúng tổng quát.
Đáp án: C
Câu 7.36
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
B. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).
D. Đường thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Giải:
Kiểm tra từng phát biểu:
A. ĐÚNG ✓
- BC ⊥ AB (cạnh hình vuông)
- BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD) và BC ⊂ (ABCD))
- Vậy BC ⊥ (SAB)
B. ĐÚNG ✓
- BD ⊥ AC (đường chéo hình vuông)
- SA ⊥ BD (vì SA ⊥ (ABCD))
- Vậy BD ⊥ (SAC)
C. SAI ✗
- Để AC ⊥ (SBD), cần AC ⊥ BD và AC ⊥ SB (hoặc SD)
- AC ⊥ BD (đúng, đường chéo hình vuông)
- Nhưng AC không vuông góc với SB
- Vậy AC không vuông góc với (SBD)
D. ĐÚNG ✓
- AD ⊥ AB (cạnh hình vuông)
- AD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))
- Vậy AD ⊥ (SAB)
Đáp án: C
💡 Mẹo nhớ: Với chóp có SA ⊥ đáy, BD ⊥ (SAC) nhưng AC không vuông góc với (SBD) vì A không phải tâm hình vuông.
Câu 7.37
Đề bài: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S, chiều cao bằng h là:
A. V = S × h B. V = (1/2) × S × h C. V = (1/3) × S × h D. V = (2/3) × S × h
Giải:
Công thức thể tích khối chóp: V = (1/3) × S × h
Trong đó:
- S: diện tích đáy
- h: chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy)
Đáp án: C
💡 Mẹo nhớ: - Khối chóp: V = (1/3) × S × h - Khối lăng trụ: V = S × h - Khối chóp = (1/3) Khối lăng trụ cùng đáy và chiều cao
🎯 Ghi nhớ: 1. Thể tích khối chóp: V = (1/3) × S × h 2. Thể tích khối lăng trụ: V = S × h 3. Thể tích khối chóp cụt: V = (1/3) × h × (S₁ + S₂ + √(S₁S₂)) 4. Thể tích tứ diện đều cạnh a: V = a³√2/12 5. Hai mặt phẳng vuông góc: (P) ⊥ (Q) khi (P) chứa đường thẳng vuông góc với (Q) 6. Khi (P) ⊥ (Q) có giao tuyến a, đường thẳng d ⊂ (Q) và d ⊥ a thì d ⊥ (P)