Giải Toán tập 2 trang 66
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 66–67
Nội dung các trang
Trang 65: Chứa phần B – TỰ LUẬN với các bài tập 7.38 đến 7.45 về hình học không gian.
Trang 66: Giới thiệu CHƯƠNG VIII: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT và bắt đầu Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập. Trang này chủ yếu là phần mở đầu lý thuyết, giới thiệu các thuật ngữ và nêu vấn đề dẫn dắt, không có bài tập cần giải.
🔍 Kiến thức cần nhớ
Hình học không gian (cho các bài 7.38 – 7.45)
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng
- Thể tích khối chóp: V = (1/3) × S_đáy × h
- Thể tích khối hộp: V = S_đáy × h
- Thể tích khối lăng trụ: V = S_đáy × h
- Định lý ba đường vuông góc
⚙️ Bài tập
Bài 7.38
Đề bài: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = a√2 và OC = 2a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC).
Cách 1 — Phương pháp thể tích
Bước 1: Tính thể tích tứ diện OABC
Do OA, OB, OC đôi một vuông góc nên tứ diện OABC là tứ diện vuông tại O.
V_OABC = (1/6) × OA × OB × OC = (1/6) × a × a√2 × 2a = (a³√2)/3
Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC
- OA ⊥ OB nên AB² = OA² + OB² = a² + 2a² = 3a² → AB = a√3
- OB ⊥ OC nên BC² = OB² + OC² = 2a² + 4a² = 6a² → BC = a√6
- OA ⊥ OC nên AC² = OA² + OC² = a² + 4a² = 5a² → AC = a√5
Nửa chu vi: p = (a√3 + a√6 + a√5)/2
Dùng công thức Heron hoặc công thức khác:
S_ABC = (1/2)√(AB² × AC² + AB² × BC² + AC² × BC² - AB⁴ - AC⁴ - BC⁴)/2
Tính: AB² = 3a², AC² = 5a², BC² = 6a²
S_ABC² = (1/4)[3a² × 5a² + 3a² × 6a² + 5a² × 6a² - (3a²)²/2 - (5a²)²/2 - (6a²)²/2]
Cách tính nhanh hơn: S_ABC = (1/2)√(OA² × OB² + OB² × OC² + OC² × OA²)
S_ABC = (1/2)√(a² × 2a² + 2a² × 4a² + 4a² × a²)
S_ABC = (1/2)√(2a⁴ + 8a⁴ + 4a⁴) = (1/2)√(14a⁴) = (a²√14)/2
Bước 3: Tính khoảng cách từ O đến (ABC)
Gọi h là khoảng cách từ O đến (ABC):
V_OABC = (1/3) × S_ABC × h
(a³√2)/3 = (1/3) × (a²√14)/2 × h
h = (2a³√2/3) × (2/(a²√14)) = (2a√2)/√14 = (2a√2 × √14)/14 = (2a√28)/14 = (4a√7)/14 = (2a√7)/7
Cách 2 — Công thức trực tiếp cho tứ diện vuông
Với tứ diện vuông tại O, khoảng cách từ O đến mặt phẳng đối diện:
1/h² = 1/OA² + 1/OB² + 1/OC²
1/h² = 1/a² + 1/(2a²) + 1/(4a²) = (4 + 2 + 1)/(4a²) = 7/(4a²)
h² = 4a²/7
h = (2a√7)/7
💡 Mẹo nhớ: Công thức 1/h² = 1/OA² + 1/OB² + 1/OC² áp dụng cho tứ diện vuông rất nhanh!
💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, bấm: √(1/(1/a² + 1/(a√2)² + 1/(2a)²)) để kiểm tra nhanh.
Bài 7.39
Đề bài: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A, tam giác BCD cân tại D. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng BC ⊥ (AID).
b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).
c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.
Câu a) Chứng minh BC ⊥ (AID)
Bước 1: Vì tam giác ABC cân tại A và I là trung điểm BC nên AI ⊥ BC (tính chất tam giác cân)
Bước 2: Vì tam giác BCD cân tại D và I là trung điểm BC nên DI ⊥ BC (tính chất tam giác cân)
Bước 3: Ta có:
- BC ⊥ AI
- BC ⊥ DI
- AI và DI cắt nhau tại I và cùng thuộc mặt phẳng (AID)
Kết luận: BC ⊥ (AID) (theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)
Câu b) Chứng minh AH ⊥ (BCD)
Bước 1: Từ câu a), BC ⊥ (AID) nên BC ⊥ AH (vì AH ⊂ (AID))
Bước 2: AH là đường cao của tam giác AID nên AH ⊥ ID
Bước 3: Ta có:
- AH ⊥ BC
- AH ⊥ ID
- BC và ID cắt nhau tại I
Mà BC, ID ⊂ (BCD)
Kết luận: AH ⊥ (BCD)
Câu c) Chứng minh IJ là đường vuông góc chung của AD và BC
Bước 1: Từ câu a), BC ⊥ (AID) nên BC ⊥ IJ (vì IJ ⊂ (AID))
Bước 2: IJ là đường cao của tam giác AID kẻ từ I nên IJ ⊥ AD
Bước 3: Ta có:
- IJ ⊥ BC
- IJ ⊥ AD
- J ∈ AD và I ∈ BC
Kết luận: IJ là đường vuông góc chung của AD và BC
💡 Mẹo nhớ: Trong tứ diện có hai cạnh đối vuông góc, đường vuông góc chung thường nằm trong mặt phẳng trung trực.
Bài 7.40
Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và góc CAB = 30°. Biết SA ⊥ (ABC) và SA = a√2.
a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAB).
b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Câu a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB)
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Giao tuyến của (SBC) và (SAB) là đường thẳng SB
Bước 2: Trong mặt phẳng (ABC):
- Tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC
Bước 3: Ta có:
- AB ⊥ BC (trong (ABC))
- AB ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC))
- SA và BC cắt nhau? Không, nhưng SA ∩ BC = Ø
Cách chứng minh đúng:
- BC ⊥ AB (tam giác ABC vuông tại B)
- BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC)
- Suy ra BC ⊥ (SAB)
Bước 4: Vì BC ⊥ (SAB) và BC ⊂ (SBC)
Kết luận: (SBC) ⊥ (SAB)
Câu b) Tính khoảng cách
Tính các cạnh:
- Trong tam giác ABC vuông tại B với góc CAB = 30°:
- BC = a
- tan(30°) = BC/AB → AB = BC/tan(30°) = a/(1/√3) = a√3
Tính khoảng cách từ A đến SC:
Cách 1: Dùng thể tích
Trong mặt phẳng (SAC):
- SA = a√2, AC = BC/sin(30°) = a/(1/2) = 2a
- SA ⊥ AC (vì SA ⊥ (ABC))
Tam giác SAC vuông tại A:
- SC² = SA² + AC² = 2a² + 4a² = 6a² → SC = a√6
Diện tích tam giác SAC = (1/2) × SA × AC = (1/2) × a√2 × 2a = a²√2
Gọi d là khoảng cách từ A đến SC:
S_SAC = (1/2) × SC × d
a²√2 = (1/2) × a√6 × d
d = (2a²√2)/(a√6) = (2a√2)/√6 = (2a√2 × √6)/6 = (2a√12)/6 = (4a√3)/6 = (2a√3)/3
Tính khoảng cách từ A đến (SBC):
Cách 1: Từ câu a), BC ⊥ (SAB), nên trong (SAB), kẻ AH ⊥ SB thì AH ⊥ (SBC)
Trong tam giác SAB vuông tại A:
- SA = a√2, AB = a√3
- SB² = SA² + AB² = 2a² + 3a² = 5a² → SB = a√5
Khoảng cách từ A đến SB trong tam giác SAB:
d(A, (SBC)) = (SA × AB)/SB = (a√2 × a√3)/(a√5) = (a√6)/√5 = (a√30)/5
⚠️ Lưu ý thi: Bài này hay ra thi, nhớ xác định đúng giao tuyến và đường vuông góc!
Bài 7.41
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD) ⊥ (ABCD).
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Câu a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bước 1: Xác định hình chiếu của S lên (ABCD)
Gọi M là trung điểm AD. Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên SM ⊥ AD.
Vì (SAD) ⊥ (ABCD) và giao tuyến là AD, SM ⊥ AD (SM ⊂ (SAD)) nên SM ⊥ (ABCD)
Vậy S chiếu xuống (ABCD) là điểm M.
Bước 2: Tính chiều cao SM
Tam giác SAD vuông cân tại S với AD = a:
- SA = SD = AD/√2 = a/√2 = (a√2)/2
- SM = SA = (a√2)/2 (vì tam giác vuông cân)
Hoặc: SM² + (AD/2)² = SA² → SM² = SA² - (a/2)² = a²/2 - a²/4 = a²/4 → SM = a/2
Kiểm tra lại: Tam giác SAD vuông cân tại S nghĩa là SA = SD và góc ASD = 90°.
- SA = SD, góc ASD = 90°
- AD² = SA² + SD² = 2SA² → SA = AD/√2 = a/√2
- M là trung điểm AD, SM là đường cao và trung tuyến
- SM² = SA² - AM² = a²/2 - a²/4 = a²/4 → SM = a/2
Bước 3: Tính thể tích
V = (1/3) × S_ABCD × SM = (1/3) × a² × (a/2) = a³/6
Câu b) Tính khoảng cách giữa AD và SC
Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa SC và song song AD
Qua C kẻ đường thẳng song song AD, cắt đường thẳng chứa AB tại E.
Vì ABCD là hình vuông nên CE // AD và CE = AD = a.
Điểm E nằm trên tia đối của tia AB, với BE = a.
Mặt phẳng (SCE) chứa SC và song song AD.
Bước 2: Khoảng cách từ AD đến (SCE) bằng khoảng cách từ A (hoặc D) đến (SCE)
Vì AD // (SCE) nên d(AD, SC) = d(A, (SCE)) = d(D, (SCE))
Ta tính d(A, (SCE)).
Nhận xét: M là trung điểm AD, SM ⊥ (ABCD).
- A, B, C, E cùng thuộc (ABCD)
- Trong (ABCD): AE = AB + BE = a + a = 2a (E nằm ngoài đoạn AB)
Thực ra E trùng B' sao cho ABCE là hình bình hành? Không đúng vì ABCD là hình vuông.
Cách khác: CE // AD, qua A kẻ đường song song SC.
Cách 2: Dùng công thức thể tích
Thể tích tứ diện SADC = (1/2) × V_S.ABCD = a³/12
Gọi d là khoảng cách từ AD đến SC.
Trong tứ diện SADC, AD và SC là hai cạnh đối.
d(AD, SC) = (6 × V_SADC)/(AD × SC × sin θ)
Với θ là góc giữa AD và SC (khi θ = 90° thì công thức đơn giản hơn).
Tính SC:
- S có tọa độ: đặt hệ trục với M là gốc, Mx // BC, My // AD, Mz ⊥ (ABCD)
- M(0, 0, 0), A(0, -a/2, 0), D(0, a/2, 0), B(a, -a/2, 0), C(a, a/2, 0), S(0, 0, a/2)
SC = √[(a-0)² + (a/2-0)² + (0-a/2)²] = √[a² + a²/4 + a²/4] = √(3a²/2) = (a√6)/2
Vectơ AD = (0, a, 0), vectơ SC = (a, a/2, -a/2)
cos θ = |AD · SC|/(|AD| × |SC|) = |0 + a²/2 + 0|/(a × (a√6)/2) = (a²/2)/((a²√6)/2) = 1/√6
sin θ = √(1 - 1/6) = √(5/6)
d = (6 × a³/12)/(a × (a√6)/2 × √(5/6)) = (a³/2)/((a²√6)/2 × √(5/6))
d = (a³/2)/((a²√6 × √5)/(2√6)) = (a³/2)/((a²√5)/2) = a³/(a²√5) = a/√5 = (a√5)/5
💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng VECTOR để tính tích có hướng và kiểm tra kết quả.
Bài 7.42
Đề bài: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA' ⊥ (ABCD) và góc BAD = 60°.
a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD).
Câu a) Tính thể tích khối hộp
Bước 1: Tính diện tích đáy ABCD
ABCD là hình bình hành với AB = AD = a và góc BAD = 60°
S_ABCD = AB × AD × sin(60°) = a × a × (√3/2) = (a²√3)/2
Bước 2: Tính chiều cao
Vì AA' ⊥ (ABCD) nên chiều cao h = AA' = a
Bước 3: Tính thể tích
V = S_ABCD × h = (a²√3)/2 × a = (a³√3)/2
Câu b) Tính khoảng cách từ A đến (A'BD)
Bước 1: Nhận xét
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AC // A'C' và A'C' ⊂ (A'BD) (vì A', B, D, C' đồng phẳng trong hình hộp).
Thực ra cần kiểm tra: B, D, A', C' có đồng phẳng không?
Trong hình hộp: A'C' // AC và BD cắt AC tại O (tâm hình bình hành ABCD).
Gọi O' là tâm hình bình hành A'B'C'D', thì O' là trung điểm A'C'.
A'O' = O'C', BO = OD.
Mặt phẳng (A'BD) chứa A', B, D.
Bước 2: Dựng hệ tọa độ
Đặt A là gốc tọa độ:
- AB theo trục x: B(a, 0, 0)
- Góc BAD = 60° nên D(a×cos60°, a×sin60°, 0) = (a/2, (a√3)/2, 0)
- A'(0, 0, a)
Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng (A'BD)
Vectơ A'B = (a, 0, -a), vectơ A'D = (a/2, (a√3)/2, -a)
Vectơ pháp tuyến n = A'B × A'D:
n = |i j k |
|a 0 -a|
|a/2 (a√3)/2 -a|
n_x = 0×(-a) - (-a)×(a√3)/2 = (a²√3)/2
n_y = (-a)×(a/2) - a×(-a) = -a²/2 + a² = a²/2
n_z = a×(a√3)/2 - 0×(a/2) = (a²√3)/2
n = ((a²√3)/2, a²/2, (a²√3)/2)
Rút gọn: n = (√3, 1, √3)
Phương trình (A'BD): √3(x - 0) + 1(y - 0) + √3(z - a) = 0
√3x + y + √3z - a√3 = 0
Bước 4: Tính khoảng cách từ A(0, 0, 0)
d = |√3×0 + 1×0 + √3×0 - a√3|/√(3 + 1 + 3) = |−a√3|/√7 = (a√3)/√7 = (a√21)/7
Bài 7.43
Đề bài: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Biết A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C.
Phần 1: Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'
Bước 1: Phân tích hình chóp đều A'.ABCD
Hình chóp đều A'.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và các cạnh bên A'A = A'B = A'C = A'D = a.
Bước 2: Tính chiều cao hình chóp A'.ABCD
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, A'O ⊥ (ABCD).
- OA = (1/2)AC = (1/2)×a√2 = (a√2)/2
- A'O² = A'A² - OA² = a² - a²/2 = a²/2
- A'O = (a√2)/2
Bước 3: Tính thể tích khối lăng trụ
V_lăng trụ = S_ABCD × h
Với h là chiều cao lăng trụ. Vì đây là lăng trụ và A' là đỉnh chóp chiếu xuống O, chiều cao lăng trụ chính là AA' (theo phương của cạnh bên lăng trụ).
Trong lăng trụ ABCD.A'B'C'D', các cạnh bên AA', BB', CC', DD' song song và bằng nhau.
Nhưng đề cho A'.ABCD là chóp đều, nghĩa là A' nằm trên trục của hình vuông ABCD.
Chiều cao lăng trụ = A'O = (a√2)/2
V_lăng trụ = a² × (a√2)/2 = (a³√2)/2
Phần 2: Tính thể tích khối chóp A'.BB'C'C
Bước 1: BB'C'C là hình bình hành (mặt bên của lăng trụ)
Vì ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ, BB' // CC' và BB' = CC'.
Bước 2: Tính diện tích BB'C'C
- BC = a (cạnh đáy)
- BB' = AA' = ?
Cần xác định AA': Vì A'.ABCD là chóp đều với A' chiếu xuống O (tâm ABCD), còn trong lăng trụ A' dịch chuyển từ A theo phương cạnh bên.
Đọc lại đề: "A'.ABCD là hình chóp đều" - tức là khi xét riêng A' với đáy ABCD thì tạo thành chóp đều.
Chiều cao chóp h = A'O = (a√2)/2
Khoảng cách từ A' đến (BB'C'C): Đây là khoảng cách từ A' đến mặt phẳng chứa BB'C'C.
Mặt phẳng (BB'C'C) song song với mặt phẳng (AA'D'D) vì BC // AD.
Khoảng cách từ A' đến (BCC'B') bằng khoảng cách từ A đến BC = a (vì ABCD là hình vuông).
V_A'.BB'C'C = (1/3) × S_BB'C'C × d(A', (BB'C'C))
S_BB'C'C = BC × BB' × sin(góc giữa BC và BB')
Cần tính BB' và góc.
Cách khác: Dùng tỉ lệ thể tích
V_A'.BB'C'C = V_lăng trụ - V_A'.ABCD - V_A'.A'B'C'D' - ... (phức tạp)
Cách đơn giản:
V_A'.BB'C'C = (1/3) × S_BB'C'C × h'
Với h' là khoảng cách từ A' đến mặt phẳng (BB'C'C).
Trong hình vuông ABCD, khoảng cách từ A đến BC là AB = a.
Khoảng cách từ A' đến (BB'C'C) = khoảng cách từ A đến (BB'C'C) = a (vì A'A song song với mặt (BB'C'C)? Không đúng.)
Xét lại: A' ở vị trí nào? A' chiếu xuống O (tâm hình vuông), không phải chiếu xuống A.
Khoảng cách từ A' đến mặt (BCC'B'):
- (BCC'B') đi qua BC và song song AA'.
- Khoảng cách = khoảng cách từ O đến BC = a/2 (vì O là tâm hình vuông cạnh a)
S_BCC'B' = BC × BB' = a × a = a² (nếu BB' = a, cần kiểm tra)
BB' = A'A = ? Trong lăng trụ đứng, AA' ⊥ (ABCD) và AA' = chiều cao = (a√2)/2.
Nhưng đề không nói lăng trụ đứng. Xem lại: lăng trụ ABCD.A'B'C'D' với A'.ABCD là chóp đều cạnh a.
Giả sử lăng trụ đứng: AA' = (a√2)/2
S_BCC'B' = BC × BB' = a × (a√2)/2 = (a²√2)/2
V_A'.BB'C'C = (1/3) × (a²√2)/2 × (a/2) = (a³√2)/12 = (a³√2)/12
Bài 7.44
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)