Giải Toán tập 2 trang 68

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Biến cố hợp

• Cho A và B là hai biến cố. Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B, ký hiệu là A ∪ B.
• Biến cố hợp A ∪ B là tập con A ∪ B của không gian mẫu Ω.

2. Biến cố giao

• Cho A và B là hai biến cố. Biến cố "Cả A và B đều xảy ra" được gọi là biến cố giao của A và B, ký hiệu là A ∩ B (hoặc AB).
• Biến cố giao A ∩ B là tập con A ∩ B của không gian mẫu Ω.

3. Điểm giỏi

• Điểm từ 8 trở lên được coi là điểm giỏi.

---

⚙️ Bài tập

---

HĐ1 (Hoạt động 1)

Đề bài: Một tổ trong lớp 11A có 10 học sinh. Điểm kiểm tra học kì I của 10 bạn này ở hai môn Toán và Ngữ văn được cho như sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

• A: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn"
• B: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán"
• C: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc điểm giỏi môn Toán"

a) Mô tả không gian mẫu và các tập con A, B, C của không gian mẫu.

b) Tìm A ∪ B.

---

Cách 1 — Phương pháp liệt kê trực tiếp

a) Mô tả không gian mẫu và các tập con A, B, C:

Bước 1: Xác định không gian mẫu Ω

Không gian mẫu gồm tất cả các học sinh trong tổ:

Ω = {Bảo, Dung, Định, Lan, Long, Hương, Phúc, Cường, Tuấn, Trang}

Bước 2: Xác định tập A (điểm giỏi môn Ngữ văn, tức điểm ≥ 8)

Xét điểm Ngữ văn của từng học sinh:

• Bảo: 6 (không giỏi)
• Dung: 9 ≥ 8 ✓
• Định: 6 (không giỏi)
• Lan: 7 (không giỏi)
• Long: 8 ≥ 8 ✓
• Hương: 7 (không giỏi)
• Phúc: 6 (không giỏi)
• Cường: 9 ≥ 8 ✓
• Tuấn: 5 (không giỏi)
• Trang: 8 ≥ 8 ✓

A = {Dung, Long, Cường, Trang}

Bước 3: Xác định tập B (điểm giỏi môn Toán, tức điểm ≥ 8)

Xét điểm Toán của từng học sinh:

• Bảo: 7 (không giỏi)
• Dung: 5 (không giỏi)
• Định: 5 (không giỏi)
• Lan: 8 ≥ 8 ✓
• Long: 6 (không giỏi)
• Hương: 9 ≥ 8 ✓
• Phúc: 8 ≥ 8 ✓
• Cường: 8 ≥ 8 ✓
• Tuấn: 4 (không giỏi)
• Trang: 10 ≥ 8 ✓

B = {Lan, Hương, Phúc, Cường, Trang}

Bước 4: Xác định tập C

C là biến cố "được điểm giỏi Ngữ văn hoặc điểm giỏi Toán", tức là C = A ∪ B.

C = A ∪ B = {Dung, Long, Cường, Trang} ∪ {Lan, Hương, Phúc, Cường, Trang}

C = {Dung, Lan, Long, Hương, Phúc, Cường, Trang}

---

b) Tìm A ∪ B:

Từ kết quả trên:

A ∪ B = {Dung, Lan, Long, Hương, Phúc, Cường, Trang}

---

Cách 2 — Phương pháp lập bảng đánh dấu

Lập bảng đánh dấu học sinh giỏi từng môn:

Từ bảng: A ∪ B = {Dung, Lan, Long, Hương, Phúc, Cường, Trang}

💡 Mẹo nhớ: A ∪ B (hợp) = "hoặc" → chỉ cần thỏa mãn ít nhất một điều kiện. A ∩ B (giao) = "và" → phải thỏa mãn cả hai điều kiện.

---

Luyện tập 1

Đề bài: Một tổ trong lớp 11B có 4 học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và 5 học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra bài.

Xét các biến cố sau:

• H: "Học sinh đó là một bạn nữ"
• K: "Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H"

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố hợp M = H ∪ K. Mỗi biến cố H, K, M là tập con nào của không gian mẫu?

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Mô tả không gian mẫu:

Không gian mẫu gồm tất cả học sinh trong tổ:

Ω = {Hương, Hồng, Dung, Phương, Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải}

(Tổng cộng 9 học sinh: 4 nữ + 5 nam)

---

b) Nội dung biến cố hợp M = H ∪ K và các tập con:

Bước 1: Xác định tập H (học sinh nữ)

H = {Hương, Hồng, Dung, Phương}

Bước 2: Xác định tập K (tên bắt đầu bằng chữ H)

Xét từng học sinh:

• Hương: bắt đầu bằng H ✓
• Hồng: bắt đầu bằng H ✓
• Dung: bắt đầu bằng D ✗
• Phương: bắt đầu bằng P ✗
• Sơn: bắt đầu bằng S ✗
• Tùng: bắt đầu bằng T ✗
• Hoàng: bắt đầu bằng H ✓
• Tiến: bắt đầu bằng T ✗
• Hải: bắt đầu bằng H ✓

K = {Hương, Hồng, Hoàng, Hải}

Bước 3: Xác định tập M = H ∪ K

M = H ∪ K = {Hương, Hồng, Dung, Phương} ∪ {Hương, Hồng, Hoàng, Hải}

M = {Hương, Hồng, Dung, Phương, Hoàng, Hải}

Bước 4: Nội dung biến cố M

M = H ∪ K là biến cố: "Học sinh đó là nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ H"

---

Cách 2 — Phương pháp phân loại theo nhóm

Kết quả:

• H = {Hương, Hồng, Dung, Phương}
• K = {Hương, Hồng, Hoàng, Hải}
• M = {Hương, Hồng, Dung, Phương, Hoàng, Hải}

⚠️ Lưu ý thi: Khi tìm H ∪ K, các phần tử chung (như Hương, Hồng) chỉ được liệt kê một lần trong kết quả.

---

HĐ2 (Hoạt động 2)

Đề bài: Trở lại tình huống trong HĐ1. Xét biến cố D: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn và điểm giỏi môn Toán".

a) Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?

b) Tìm A ∩ B.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) D là tập con nào của không gian mẫu?

Từ HĐ1, ta đã có:

• A = {Dung, Long, Cường, Trang} (giỏi Ngữ văn)
• B = {Lan, Hương, Phúc, Cường, Trang} (giỏi Toán)

Biến cố D: "Giỏi cả Ngữ văn và Toán" nghĩa là học sinh phải thuộc cả A và B.

Xét từng học sinh giỏi Ngữ văn (tập A):

• Dung: Toán = 5 < 8 → không giỏi Toán ✗
• Long: Toán = 6 < 8 → không giỏi Toán ✗
• Cường: Toán = 8 ≥ 8 → giỏi Toán ✓
• Trang: Toán = 10 ≥ 8 → giỏi Toán ✓

D = {Cường, Trang}

---

b) Tìm A ∩ B:

A ∩ B là giao của hai tập hợp A và B (các phần tử thuộc cả A và B).

A = {Dung, Long, Cường, Trang}
B = {Lan, Hương, Phúc, Cường, Trang}

Phần tử chung: Cường, Trang

A ∩ B = {Cường, Trang}

---

Cách 2 — Phương pháp dùng bảng

A ∩ B = {Cường, Trang}

Nhận xét: D = A ∩ B = {Cường, Trang}

💡 Mẹo nhớ: - A ∪ B (hợp) → "hoặc" → lấy TẤT CẢ phần tử của cả hai tập - A ∩ B (giao) → "và" → chỉ lấy phần tử CHUNG của hai tập

---

🎯 Ghi nhớ: - Biến cố hợp A ∪ B: "A hoặc B xảy ra" – gồm các kết quả thuộc A hoặc thuộc B (hoặc cả hai). - Biến cố giao A ∩ B: "Cả A và B đều xảy ra" – gồm các kết quả thuộc cả A và B. - Khi liệt kê phần tử của hợp hoặc giao, mỗi phần tử chỉ viết một lần.