Giải Toán tập 2 trang 70
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 70–71
🔍 Kiến thức cần nhớ
Biến cố giao
- Biến cố giao của hai biến cố A và B (ký hiệu AB hoặc A ∩ B) là biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra.
Biến cố hợp
- Biến cố hợp của hai biến cố A và B (ký hiệu A ∪ B) là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.
Biến cố đối
- Biến cố đối của A (ký hiệu Ā) là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Biến cố độc lập
- Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
- Nếu A và B độc lập thì các cặp: A và B̄; Ā và B; Ā và B̄ cũng độc lập.
⚙️ Bài tập
Luyện tập 2
Đề bài: Một hộp đựng 25 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xét các biến cố P: "Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 4"; Q: "Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 6".
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nội dung của biến cố giao S = PQ là gì? Mỗi biến cố P, Q, S là tập con nào của không gian mẫu?
Cách 1 — Phương pháp liệt kê trực tiếp
a) Mô tả không gian mẫu:
Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi rút một tấm thẻ.
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25}
Hay viết gọn: *Ω = {k | k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 25}**
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 25
b) Xác định các biến cố P, Q, S:
Biến cố P: "Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 4"
Các số từ 1 đến 25 chia hết cho 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24
→ P = {4; 8; 12; 16; 20; 24}
Biến cố Q: "Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 6"
Các số từ 1 đến 25 chia hết cho 6: 6, 12, 18, 24
→ Q = {6; 12; 18; 24}
Biến cố giao S = PQ:
- Nội dung: S là biến cố "Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho cả 4 và 6"
- Hay nói cách khác: "Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho BCNN(4, 6) = 12"
S = P ∩ Q = {12; 24}
Cách 2 — Phương pháp sử dụng BCNN
a) Tương tự Cách 1.
b)
- Số chia hết cho 4: Dạng 4k với k = 1, 2, ..., 6 → P = {4; 8; 12; 16; 20; 24}
- Số chia hết cho 6: Dạng 6k với k = 1, 2, 3, 4 → Q = {6; 12; 18; 24}
- Số chia hết cho cả 4 và 6 ⟺ Chia hết cho BCNN(4, 6) = 12
- Các số dạng 12k (1 ≤ 12k ≤ 25): k = 1, 2 → S = {12; 24}
💡 Mẹo nhớ: Biến cố giao PQ ⟺ Tìm số chia hết cho BCNN của các số liên quan.
Vận dụng
Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Sử dụng khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố đối, ta biểu diễn biến cố G, H theo các biến cố M và N như sau:
- Biến cố G xảy ra khi và chỉ khi hoặc gia đình đó có ti vi và không có máy vi tính hoặc gia đình đó không có ti vi và có máy vi tính. Vậy G = MN̄ ∪ M̄N.
- Biến cố H xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó không có cả ti vi và máy vi tính. Vậy H = M̄N̄.
Yêu cầu: Hãy biểu diễn mỗi biến cố E, F theo các biến cố M và N.
Cách 1 — Phân tích trực tiếp từ định nghĩa
Phân tích các biến cố:
- M: "Gia đình có ti vi"
- N: "Gia đình có máy vi tính"
- M̄: "Gia đình không có ti vi"
- N̄: "Gia đình không có máy vi tính"
Biến cố E: "Gia đình có ti vi hoặc có máy vi tính" (có ít nhất một trong hai)
→ E = M ∪ N
Biến cố F: "Gia đình có cả ti vi và máy vi tính"
→ F = MN (hay F = M ∩ N)
Cách 2 — Sử dụng định luật De Morgan
Biến cố E: "Có ít nhất một thiết bị"
- Biến cố đối của E: "Không có thiết bị nào" = M̄N̄ = H
- Theo định luật De Morgan: Ē = M̄N̄
- Do đó: E = M ∪ N
Biến cố F: "Có cả hai thiết bị"
- F = M ∩ N = MN
⚠️ Lưu ý thi: Phân biệt rõ: - "Có A hoặc B" → A ∪ B (biến cố hợp) - "Có A và B" → A ∩ B (biến cố giao) - "Có đúng một trong A, B" → AB̄ ∪ ĀB
Luyện tập 3
Đề bài: Trở lại tình huống trong HĐ3. Xét hai biến cố sau:
- E: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số nguyên tố";
- B: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3".
Hai biến cố E và B độc lập hay không độc lập?
Cách 1 — Phân tích theo định nghĩa biến cố độc lập
Phân tích tình huống:
- Minh và Sơn mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất.
- Hai con xúc xắc là riêng biệt, kết quả gieo của người này không ảnh hưởng đến kết quả gieo của người kia.
Xác định các biến cố:
Biến cố E: "Số chấm trên xúc xắc của Minh là số nguyên tố"
- Các số nguyên tố từ 1 đến 6: 2, 3, 5
- Xác suất: P(E) = 3/6 = 1/2
Biến cố B: "Số chấm trên xúc xắc của Sơn chia hết cho 3"
- Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 6: 3, 6
- Xác suất: P(B) = 2/6 = 1/3
Kiểm tra tính độc lập:
- Dù biến cố E có xảy ra hay không (Minh gieo được số nguyên tố hay không), điều này không làm thay đổi xác suất để Sơn gieo được số chia hết cho 3.
- P(B) = 1/3 trong mọi trường hợp, không phụ thuộc vào kết quả của E.
Kết luận: Hai biến cố E và B độc lập.
Cách 2 — Lập luận dựa trên bản chất phép thử
Lập luận:
- Minh và Sơn gieo hai con xúc xắc khác nhau.
- Kết quả của con xúc xắc này không ảnh hưởng vật lý đến con xúc xắc kia.
- Đây là hai phép thử độc lập về mặt vật lý.
Xét cụ thể:
- Nếu E xảy ra (Minh gieo được 2, 3, hoặc 5): P(B) vẫn = 1/3
- Nếu E không xảy ra (Minh gieo được 1, 4, hoặc 6): P(B) vẫn = 1/3
→ Xác suất của B không thay đổi theo E.
Kết luận: Hai biến cố E và B độc lập.
💡 Mẹo nhớ: Khi hai người thực hiện hai phép thử riêng biệt (như mỗi người gieo một con xúc xắc riêng), các biến cố liên quan đến kết quả của từng phép thử thường độc lập với nhau.
⚠️ Lưu ý thi: Phân biệt hai trường hợp: - Có hoàn lại hoặc phép thử riêng biệt → Thường độc lập - Không hoàn lại (như rút thẻ không trả lại) → Thường không độc lập
🎯 Ghi nhớ
- Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
- Biến cố giao PQ xảy ra ⟺ Cả P và Q đều xảy ra.
- Hai biến cố độc lập khi việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
- Dấu hiệu nhận biết độc lập:
- Hai phép thử riêng biệt (mỗi người gieo xúc xắc riêng)
- Lấy mẫu có hoàn lại
- Dấu hiệu nhận biết không độc lập:
- Lấy mẫu không hoàn lại
- Kết quả của phép thử trước ảnh hưởng đến phép thử sau