Giải Toán tập 2 trang 72

Hai trang này gồm phần Bài tập của Bài 28 (trang 71) và phần mở đầu lý thuyết của Bài 29 "Công thức cộng xác suất" (trang 72). Mình sẽ giải hết các bài tập và trả lời các hoạt động lý thuyết nhé.

---

Tóm tắt lý thuyết liên quan (trang 72)

Bài 29 mở đầu với khái niệm biến cố xung khắc:

• Hai biến cố $A$ và $B$ gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra.
• $A$ và $B$ xung khắc khi và chỉ khi $A \cap B = \varnothing$.

Một số ký hiệu cần nhớ cho phần bài tập:

• $A \cup B$: biến cố hợp ("$A$ hoặc $B$").
• $AB = A \cap B$: biến cố giao ("$A$ và $B$").
• $\overline{A}$: biến cố đối của $A$.
• $A$ và $B$ độc lập $\Leftrightarrow P(AB) = P(A)\cdot P(B)$.

---

Bài 8.1: Hộp 15 tấm thẻ

Đề: Hộp có 15 thẻ đánh số 1 đến 15, rút ngẫu nhiên một thẻ. $A$: "số nhỏ hơn 7"; $B$: "số là số nguyên tố".

a) Không gian mẫu:
$$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$$

b) Ta liệt kê:

• $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• $B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ (các số nguyên tố từ 1 đến 15)

Vậy:
$$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13\}$$
$$AB = A \cap B = \{2, 3, 5\}$$

Cả hai đều là tập con của $\Omega$.

---

Bài 8.2: Gieo hai con xúc xắc

Đề: $E$: "hai con đều chẵn"; $F$: "hai con khác tính chẵn lẻ"; $K$: "tích số chấm là số chẵn". Chứng minh $K = E \cup F$.

Lời giải:

Tích hai số là số chẵn khi và chỉ khi có ít nhất một số chẵn. Xét đầy đủ các trường hợp về tính chẵn lẻ của hai con xúc xắc:

• Nếu kết quả thuộc $E$ hoặc $F$ thì có ít nhất một số chẵn nên tích chẵn, tức là $K$ xảy ra. Vậy $E \cup F \subseteq K$.
• Ngược lại, nếu $K$ xảy ra (tích chẵn) thì không thể cả hai cùng lẻ, nên hoặc cả hai chẵn ($E$), hoặc một chẵn một lẻ ($F$). Vậy $K \subseteq E \cup F$.

Suy ra $K = E \cup F$, tức $K$ là biến cố hợp của $E$ và $F$. (đpcm)

---

Bài 8.3: Chọn ngẫu nhiên một học sinh

Đề: $P$: "bị cận thị"; $Q$: "học giỏi Toán". Nêu nội dung của $P \cup Q$; $PQ$ và $\overline{P}\,\overline{Q}$.

Lời giải:

• $P \cup Q$: "Học sinh đó bị cận thị hoặc học giỏi Toán" (xảy ra ít nhất một trong hai).
• $PQ$: "Học sinh đó vừa bị cận thị vừa học giỏi Toán".
• $\overline{P}\,\overline{Q}$: "Học sinh đó không bị cận thị và không học giỏi Toán".

---

Bài 8.4: Hai chuồng nuôi thỏ

Đề: Chuồng I có 5 thỏ đen + 10 thỏ trắng. Chuồng II có 3 thỏ trắng + 7 thỏ đen. Bắt mỗi chuồng một con. $A$: "thỏ trắng từ chuồng I"; $B$: "thỏ đen từ chuồng II". Chứng tỏ $A$ và $B$ độc lập.

Lời giải:

Chuồng I có 15 con, chuồng II có 10 con.

Tính từng xác suất:
$$P(A) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}, \qquad P(B) = \frac{7}{10}$$

Tính $P(AB)$ bằng cách đếm: số cách bắt là $15 \times 10 = 150$. Số cách thuận lợi cho $AB$ (trắng từ I và đen từ II) là $10 \times 7 = 70$. Vậy:
$$P(AB) = \frac{70}{150} = \frac{7}{15}$$

So sánh:
$$P(A)\cdot P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{15} = P(AB)$$

Vì $P(AB) = P(A)\cdot P(B)$ nên hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. (đpcm)

Điều này hợp lý vì việc bắt thỏ ở chuồng I không ảnh hưởng đến việc bắt thỏ ở chuồng II.

---

Bài 8.5: Hai chuồng nuôi gà

Đề: Chuồng I có 9 gà mái + 3 gà trống (12 con). Chuồng II có 3 gà mái + 6 gà trống (9 con). Bắt ngẫu nhiên một con của chuồng I để bán, rồi dồn các con còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt một con của chuồng II. $E$: "bắt được gà trống từ chuồng I"; $F$: "bắt được gà mái từ chuồng II". Chứng tỏ $E$ và $F$ không độc lập.

Lời giải:

Bước 1 – Tính $P(E)$:
$$P(E) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}, \qquad P(\overline{E}) = \frac{3}{4}$$

Bước 2 – Sau khi dồn, chuồng II luôn có $11 + 9 = 20$ con. Ta tính xác suất $F$ tùy theo $E$ xảy ra hay không:

Nếu $E$ xảy ra (đã bán 1 gà trống của chuồng I): chuồng I còn 9 mái + 2 trống được dồn vào. Chuồng II có $3 + 9 = 12$ mái và $6 + 2 = 8$ trống.
$$P(F \mid E) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Nếu $\overline{E}$ xảy ra (đã bán 1 gà mái của chuồng I): chuồng I còn 8 mái + 3 trống được dồn vào. Chuồng II có $3 + 8 = 11$ mái và $6 + 3 = 9$ trống.
$$P(F \mid \overline{E}) = \frac{11}{20}$$

Bước 3 – Tính $P(F)$ theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(F) = P(E)\,P(F\mid E) + P(\overline{E})\,P(F\mid \overline{E}) = \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5} + \frac{3}{4}\cdot\frac{11}{20}$$

$$= \frac{3}{20} + \frac{33}{80} = \frac{12}{80} + \frac{33}{80} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$$

Bước 4 – Tính $P(EF)$:
$$P(EF) = P(E)\cdot P(F\mid E) = \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5} = \frac{3}{20} = 0,15$$

So sánh với:
$$P(E)\cdot P(F) = \frac{1}{4}\cdot\frac{9}{16} = \frac{9}{64} \approx 0,1406$$

Vì $P(EF) = \dfrac{3}{20} \neq \dfrac{9}{64} = P(E)\cdot P(F)$ nên hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập. (đpcm)

Lý do trực quan: việc bắt con nào ở chuồng I làm thay đổi thành phần đàn gà được dồn sang chuồng II, nên ảnh hưởng đến kết quả của lần bắt thứ hai.

---

Phần lý thuyết Bài 29 (trang 72)

HĐ1: Gieo một con xúc xắc

$A$: "số chia hết cho 3" $= \{3, 6\}$; $B$: "số chia hết cho 4" $= \{4\}$.

Hai biến cố $A$ và $B$ không thể đồng thời xảy ra, vì $A \cap B = \varnothing$ (trong các số 1 đến 6 không có số nào vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4, tức chia hết cho 12).

Câu hỏi: $A$ và $\overline{A}$ có xung khắc không?

Có. Vì biến cố đối $\overline{A}$ gồm các kết quả không thuộc $A$, nên $A \cap \overline{A} = \varnothing$, hai biến cố không bao giờ cùng xảy ra.

Ví dụ 1: Gieo hai con xúc xắc, xét tổng số chấm

$A$: "tổng $\ge 7$"; $B$: "tổng $\le 4$"; $C$: "tổng là số nguyên tố".

• Cặp $A$ và $B$: xung khắc, vì một tổng không thể vừa $\ge 7$ vừa $\le 4$ ($A \cap B = \varnothing$).
• Cặp $A$ và $C$: không xung khắc, vì tổng $= 7$ vừa $\ge 7$ vừa là số nguyên tố, nên có thể cùng xảy ra.
• Cặp $B$ và $C$: không xung khắc, vì tổng $= 3$ vừa $\le 4$ vừa là số nguyên tố, nên có thể cùng xảy ra.

Kết luận: chỉ có cặp $A$ và $B$ là xung khắc.

---