Giải Toán tập 2 trang 74

Hai trang này thuộc bài về Biến cố xung khắc và Công thức cộng xác suất. Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt từng phần nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Hai biến cố quan trọng cần nhớ:

• Công thức cộng cho hai biến cố xung khắc: Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$

• Công thức cộng xác suất (tổng quát): Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB).$$

Luyện tập 1

Đề: Một tổ học sinh có 8 bạn, trong đó 6 bạn thích Bóng đá, 4 bạn thích Cầu lông, 2 bạn thích cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét:

• $E$: "Học sinh được chọn thích môn Bóng đá";
• $F$: "Học sinh được chọn thích môn Cầu lông".

Hai biến cố $E$ và $F$ có xung khắc không?

Lời giải:

Theo đề, có 2 bạn thích cả Bóng đá và Cầu lông. Nếu chọn trúng một trong 2 bạn này thì cả hai biến cố $E$ và $F$ cùng xảy ra.

Vậy $E$ và $F$ KHÔNG xung khắc, vì chúng có thể đồng thời xảy ra.

HĐ2

Đề: Trở lại tình huống HĐ1 (gieo hai con xúc xắc, với $A$: "Tổng số chấm bằng 7" và $B$: "Tổng số chấm bằng 3"). Hãy tính $P(A)$, $P(B)$ và $P(A \cup B)$.

Lời giải:

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.

Biến cố $A$ (tổng bằng 7) gồm các kết quả:
$$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \Rightarrow n(A) = 6.$$
$$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.$$

Biến cố $B$ (tổng bằng 3) gồm các kết quả:
$$(1,2),(2,1) \Rightarrow n(B) = 2.$$
$$P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.$$

Vì $A$ và $B$ xung khắc (tổng không thể vừa bằng 7 vừa bằng 3):

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}.$$

Lưu ý: HĐ1 không hiển thị trên trang này, mình suy lại từ ngữ cảnh "tổng số chấm bằng 7" và "bằng 3" ở đầu trang. Nếu nội dung $A$, $B$ trong HĐ1 khác đi thì bạn thay số tương ứng nhé.

Ví dụ 2 (đã giải trong sách)

Đề: Hộp có 9 thẻ ghi số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ. Xét:

• $A$: "Cả hai thẻ đều ghi số chẵn";
• $B$: "Chỉ có một thẻ ghi số chẵn";
• $C$: "Tích hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn".

a) Chứng minh $C = A \cup B$.

Tích hai số là số chẵn khi và chỉ khi có ít nhất một thẻ ghi số chẵn. Có hai khả năng:

• Cả hai thẻ chẵn → biến cố $A$.
• Đúng một thẻ chẵn → biến cố $B$.

Vậy $C$ là hợp của $A$ và $B$: $C = A \cup B$.

b) Tính $P(C)$.

$A$ và $B$ xung khắc nên $P(C) = P(A) + P(B)$.

Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_9^2 = 36$.

Tính $P(A)$: chọn 2 số chẵn từ {2; 4; 6; 8}:
$$n(A) = C_4^2 = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{36}.$$

Tính $P(B)$: chọn 1 chẵn (4 cách) và 1 lẻ từ {1;3;5;7;9} (5 cách):
$$n(B) = 4 \times 5 = 20 \Rightarrow P(B) = \frac{20}{36}.$$

Kết quả:

$$P(C) = \frac{6}{36} + \frac{20}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}.$$

Luyện tập 2

Đề: Hộp đựng 5 quả cầu xanh và 3 quả cầu đỏ cùng kích thước, khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả. Tính xác suất để hai quả cùng màu.

Lời giải:

Tổng số quả cầu: $5 + 3 = 8$. Không gian mẫu:
$$n(\Omega) = C_8^2 = 28.$$

Gọi:

• $X$: "Hai quả đều màu xanh" → $n(X) = C_5^2 = 10$.
• $D$: "Hai quả đều màu đỏ" → $n(D) = C_3^2 = 3$.

Biến cố "hai quả cùng màu" là $X \cup D$. Vì $X$ và $D$ xung khắc:

$$P(X \cup D) = \frac{10}{28} + \frac{3}{28} = \frac{13}{28}.$$

Vậy xác suất chọn được hai quả cùng màu là $\dfrac{13}{28}$.

HĐ3

Đề: Trường X có 19% học sinh học khá Ngữ văn, 32% học khá Toán, 7% học khá cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét:

• $A$: "Học sinh đó học khá môn Ngữ văn";
• $B$: "Học sinh đó học khá môn Toán".

a) Điền cụm từ thích hợp:

b) Tại sao không dùng được công thức $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$?

Vì có 7% học sinh học khá cả hai môn, nghĩa là $A$ và $B$ có thể đồng thời xảy ra ($AB \neq \varnothing$). Hai biến cố này KHÔNG xung khắc, nên không thể áp dụng công thức cộng dành cho biến cố xung khắc.

Câu hỏi ❓

Đề: Tại sao công thức cộng cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất?

Lời giải:

Khi $A$ và $B$ xung khắc thì $AB = \varnothing$, suy ra $P(AB) = 0$. Thay vào công thức tổng quát:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B).$$

Vậy công thức cho biến cố xung khắc chỉ là một trường hợp riêng (hệ quả) của công thức cộng xác suất.

Ví dụ 3 (đã giải trong sách)

Đề: Trở lại HĐ3, tính tỉ lệ học sinh học khá Ngữ văn hoặc Toán của trường X.

Lời giải:

Theo đề: $P(A) = 0{,}19$; $P(B) = 0{,}32$; $P(AB) = 0{,}07$.

Áp dụng công thức cộng xác suất:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}19 + 0{,}32 - 0{,}07 = 0{,}44.$$

Vậy có 44% học sinh trường X học khá môn Ngữ văn hoặc môn Toán.

Một mẹo nhỏ để khỏi nhầm: hễ thấy hai biến cố có thể "đồng thời xảy ra" (như học khá cả hai môn) là phải dùng công thức tổng quát có trừ $P(AB)$ nhé.