HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán tập 2 trang 76

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 76–77

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Công thức cộng xác suất

  • Với hai biến cố A và B bất kỳ: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
  • Nếu A và B xung khắc: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

2. Công thức xác suất biến cố đối

  • Nếu Ē là biến cố đối của E thì: P(E) = 1 − P(Ē)

3. Hai biến cố độc lập

  • Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

4. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

  • Nếu A và B độc lập: P(AB) = P(A) × P(B)
  • Nếu P(AB) ≠ P(A) × P(B) thì A và B không độc lập

⚙️ Bài tập

Luyện tập 3

Đề bài: Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 19 bạn thích môn Bóng đá, 17 bạn thích môn Bóng bàn và 15 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn.

Cách 1 — Dùng công thức cộng xác suất

Bước 1: Xác định các biến cố

  • Gọi A là biến cố "Học sinh thích Bóng đá"
  • Gọi B là biến cố "Học sinh thích Bóng bàn"
  • Cần tính P(A ∪ B): xác suất học sinh thích ít nhất một trong hai môn

Bước 2: Tính các xác suất thành phần

  • P(A) = 19/30
  • P(B) = 17/30
  • P(A ∩ B) = 15/30 = 1/2 (thích cả hai môn)

Bước 3: Áp dụng công thức cộng xác suất

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 19/30 + 17/30 − 15/30

P(A ∪ B) = (19 + 17 − 15)/30 = 21/30 = 7/10

Kết luận: Xác suất chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn là 7/10 = 0,7 = 70%

Cách 2 — Dùng sơ đồ Venn

Bước 1: Vẽ sơ đồ Venn và điền số liệu

  • Số học sinh chỉ thích Bóng đá: 19 − 15 = 4
  • Số học sinh chỉ thích Bóng bàn: 17 − 15 = 2
  • Số học sinh thích cả hai: 15

Bước 2: Tính số học sinh thích ít nhất một môn

Số học sinh thích ít nhất một môn = 4 + 15 + 2 = 21

Bước 3: Tính xác suất
P(A ∪ B) = 21/30 = 7/10

💡 Mẹo nhớ: "Ít nhất một" = "A hoặc B" = A ∪ B. Dùng công thức: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Hoạt động 1 (HĐ1)

Đề bài: Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II.

Xét các biến cố:

  • A: "Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng"
  • B: "Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen"

a) Tính P(A), P(B) và P(AB).
b) So sánh P(AB) và P(A) × P(B).

Câu a) Tính P(A), P(B) và P(AB)
Cách 1 — Tính trực tiếp

Tính P(A):

  • Hộp I có: 6 quả trắng + 4 quả đen = 10 quả
  • P(A) = 6/10 = 3/5

Tính P(B):

  • Hộp II có: 1 quả trắng + 7 quả đen = 8 quả
  • P(B) = 7/8

Tính P(AB):
Biến cố AB là "Long lấy được quả trắng VÀ Hải lấy được quả đen"

Do hai phép lấy bóng là độc lập (lấy từ hai hộp khác nhau):

  • Số cách Long lấy quả trắng từ hộp I: 6 cách
  • Số cách Hải lấy quả đen từ hộp II: 7 cách
  • Tổng số cách lấy từ cả hai hộp: 10 × 8 = 80 cách
  • Số cách để AB xảy ra: 6 × 7 = 42 cách

P(AB) = 42/80 = 21/40

Cách 2 — Dùng sơ đồ cây

Vẽ sơ đồ cây với:

  • Nhánh 1: Long lấy từ hộp I (trắng: 6/10, đen: 4/10)
  • Nhánh 2: Hải lấy từ hộp II (trắng: 1/8, đen: 7/8)

P(AB) = P(A) × P(B) = (6/10) × (7/8) = 42/80 = 21/40

Kết quả:

  • P(A) = 3/5
  • P(B) = 7/8
  • P(AB) = 21/40
Câu b) So sánh P(AB) và P(A) × P(B)

Tính P(A) × P(B):
P(A) × P(B) = (3/5) × (7/8) = 21/40

So sánh:
P(AB) = 21/40
P(A) × P(B) = 21/40

Kết luận: P(AB) = P(A) × P(B)

💡 Nhận xét: Hai biến cố A và B trong HĐ1 là độc lập vì việc Long lấy bóng từ hộp I không ảnh hưởng đến việc Hải lấy bóng từ hộp II (hai hộp riêng biệt). Đây chính là minh họa cho công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập: P(AB) = P(A) × P(B).

Bài 8.6

Đề bài: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

Cách 1 — Dùng công thức xác suất toàn phần

Bước 1: Xác định các biến cố

  • Gọi A là biến cố "Sơn lấy được bi xanh"
  • Gọi Ā là biến cố "Sơn lấy được bi đỏ"
  • Gọi B là biến cố "Tùng lấy được bi xanh"

Bước 2: Tính xác suất cho từng trường hợp

Trường hợp 1: Sơn lấy bi xanh

  • P(A) = 8/14 = 4/7
  • Sau khi Sơn lấy: còn 7 bi xanh, 6 bi đỏ (tổng 13 bi)
  • P(B|A) = 7/13

Trường hợp 2: Sơn lấy bi đỏ

  • P(Ā) = 6/14 = 3/7
  • Sau khi Sơn lấy: còn 8 bi xanh, 5 bi đỏ (tổng 13 bi)
  • P(B|Ā) = 8/13

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā)

P(B) = (4/7) × (7/13) + (3/7) × (8/13)

P(B) = 28/91 + 24/91
P(B) = 52/91 = 4/7

Cách 2 — Phương pháp đếm trực tiếp

Bước 1: Tính tổng số cách chọn

  • Tổng số bi: 8 + 6 = 14 bi
  • Số cách Sơn chọn 1 bi: 14 cách
  • Số cách Tùng chọn 1 bi (sau Sơn): 13 cách
  • Tổng số cách có thứ tự: 14 × 13 = 182 cách

Bước 2: Tính số cách Tùng lấy được bi xanh

  • TH1: Sơn lấy xanh, Tùng lấy xanh: 8 × 7 = 56 cách
  • TH2: Sơn lấy đỏ, Tùng lấy xanh: 6 × 8 = 48 cách
  • Tổng: 56 + 48 = 104 cách

Bước 3: Tính xác suất
P(B) = 104/182 = 52/91 = 4/7

Kết luận: Xác suất để Tùng lấy được viên bi màu xanh là 4/7 ≈ 0,571

⚠️ Lưu ý thi: Đây là bài toán lấy không hoàn lại, hai biến cố KHÔNG độc lập. Không được dùng công thức P(AB) = P(A) × P(B)!

Bài 8.7

Đề bài: Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;
b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

Xác định các biến cố
  • Gọi A là biến cố "Bạn thích nhạc cổ điển"
  • Gọi B là biến cố "Bạn thích nhạc trẻ"
  • n(A) = 14, n(B) = 13, n(A ∩ B) = 5, n(Ω) = 40
Câu a) Xác suất thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ
Cách 1 — Công thức cộng xác suất

P(A) = 14/40 = 7/20
P(B) = 13/40
P(A ∩ B) = 5/40 = 1/8

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 14/40 + 13/40 − 5/40

P(A ∪ B) = (14 + 13 − 5)/40 = 22/40 = 11/20

Cách 2 — Sơ đồ Venn
  • Chỉ thích cổ điển: 14 − 5 = 9 bạn
  • Chỉ thích nhạc trẻ: 13 − 5 = 8 bạn
  • Thích cả hai: 5 bạn
  • Thích ít nhất một loại: 9 + 5 + 8 = 22 bạn

P(A ∪ B) = 22/40 = 11/20 = 0,55

Câu b) Xác suất không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ
Cách 1 — Dùng biến cố đối

Biến cố "không thích cả hai" = biến cố đối của "thích ít nhất một"

P(không thích cả hai) = 1 − P(A ∪ B)
P(không thích cả hai) = 1 − 11/20 = 9/20 = 0,45

Cách 2 — Tính trực tiếp

Số bạn không thích loại nhạc nào = 40 − 22 = 18 bạn

P(không thích cả hai) = 18/40 = 9/20

Kết luận:

  • a) P(thích cổ điển hoặc nhạc trẻ) = 11/20 = 0,55
  • b) P(không thích cả hai) = 9/20 = 0,45
💡 Mẹo nhớ: "Không thích cả A và B" = "Không thích A VÀ không thích B" = biến cố đối của (A ∪ B)

Bài 8.8

Đề bài: Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo;
b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

Phân tích đề bài

Chú ý: Đề bài nói "50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo" → đây là số hộ trong tập hợp A ∪ B

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra:

  • Số hộ nuôi chó: n(A) = 18
  • Số hộ nuôi mèo: n(B) = 16
  • Số hộ nuôi cả hai: n(A ∩ B) = 7
  • n(A ∪ B) = 18 + 16 − 7 = 27 ≠ 50

→ Đề bài cho 50 hộ là tổng số hộ trong khu phố (không chỉ những hộ nuôi thú).

Câu a) Xác suất hộ nuôi chó hoặc nuôi mèo
Cách 1 — Công thức cộng xác suất

P(A) = 18/50 = 9/25
P(B) = 16/50 = 8/25
P(A ∩ B) = 7/50

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 18/50 + 16/50 − 7/50

P(A ∪ B) = (18 + 16 − 7)/50 = 27/50 = 0,54

Cách 2 — Sơ đồ Venn
  • Chỉ nuôi chó: 18 − 7 = 11 hộ
  • Chỉ nuôi mèo: 16 − 7 = 9 hộ
  • Nuôi cả hai: 7 hộ
  • Nuôi ít nhất một loại: 11 + 9 + 7 = 27 hộ

P(A ∪ B) = 27/50 = 0,54

Câu b) Xác suất không nuôi cả chó và mèo
Cách 1 — Dùng biến cố đối

P(không nuôi cả chó và mèo) = 1 − P(A ∪ B)
P = 1 − 27/50 = 23/50 = 0,46

Cách 2 — Tính trực tiếp

Số hộ không nuôi loại nào = 50 − 27 = 23 hộ

P = 23/50 = 0,46

Kết luận:

  • a) P(nuôi chó hoặc mèo) = 27/50 = 0,54
  • b) P(không nuôi cả chó và mèo) = 23/50 = 0,46

Bài 8.9

Đề bài: Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách A và B. Thống kê cho thấy có 50% người mua sách A; 70% người mua sách B; 30% người mua cả sách A và sách B. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B;
b) Người mua đó không mua cả sách A và sách B.

Xác định dữ kiện
  • P(A) = 50% = 0,5 (mua sách A)
  • P(B) = 70% = 0,7 (mua sách B)
  • P(A ∩ B) = 30% = 0,3 (mua cả hai)
Câu a) Xác suất mua ít nhất một cuốn sách
Cách 1 — Công thức cộng xác suất

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0,5 + 0,7 − 0,3
P(A ∪ B) = 0,9 = 90%

Cách 2 — Phân tích từng phần
  • Chỉ mua A: P(A) − P(A ∩ B) = 0,5 − 0,3 = 0,2
  • Chỉ mua B: P(B) − P(A ∩ B) = 0,7 − 0,3 = 0,4
  • Mua cả hai: 0,3
  • Mua ít nhất một: 0,2 + 0,4 + 0,3 = 0,9
Câu b) Xác suất không mua cả sách A và sách B

P(không mua cả A và B) = 1 − P(A ∪ B)
P = 1 − 0,9 = 0,1 = 10%

Kết luận:

  • a) P(mua ít nhất một cuốn) = 0,9 = 90%
  • b) P(không mua cuốn nào) = 0,1 = 10%
💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, có thể kiểm tra nhanh: 0.5 + 0.7 − 0.3 = 0.9

Bài 8.10

Đề bài: Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B.

Cách 1 — Công thức cộng xác suất + biến cố đối

Bước 1: Xác định dữ kiện

  • P(A) = 63% = 0,63 (tham khảo sách A)
  • P(B) = 56% = 0,56 (tham khảo sách B)
  • P(A ∩ B) = 28,5% = 0,285 (tham khảo cả hai)

Bước 2: Tính xác suất tham khảo ít nhất một bộ sách

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0,63 + 0,56 − 0,285
P(A ∪ B) = 0,905 = 90,5%

Bước 3: Tính xác suất không tham khảo bộ sách nào
P(không tham khảo cả A và B) = 1 − P(A ∪ B)
P = 1 − 0,905 = 0,095 = 9,5%

Cách 2 — Sơ đồ Venn (tính theo phần trăm)
  • Chỉ tham khảo A: 63% − 28,5% = 34,5%
  • Chỉ tham khảo B: 56% − 28,5% = 27,5%
  • Tham khảo cả hai: 28,5%
  • Tham khảo ít nhất một: 34,5% + 27,5% + 28,5% = 90,5%
  • Không tham khảo bộ nào: 100% − 90,5% = 9,5%

Kết luận: Tỉ lệ giáo viên môn Toán không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B là 9,5%

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X: 1 − (0.63 + 0.56 − 0.285) = 0.095

🎯 Ghi nhớ

Dạng bàiCông thức
Xác suất hợp (A hoặc B)P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Xác suất biến cố đốiP(Ē) = 1 − P(E)
Hai biến cố độc lậpP(AB) = P(A) × P(B)
⚠️ Lưu ý thi: - "Ít nhất một" = A ∪ B - "Không xảy ra cả hai" = biến cố đối của (A ∪ B) - Phân biệt độc lập (P(AB) = P(A)×P(B)) và xung khắc (P(A ∩ B) = 0) - Lấy không hoàn lại → các biến cố KHÔNG độc lập
Chế độ đọc sách →