Giải Toán tập 2 trang 78

Hai trang này thuộc bài về biến cố độc lập và quy tắc nhân xác suất. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết qua các ví dụ rồi giải chi tiết toàn bộ Luyện tập và phần Bài tập 8.11 → 8.15 nhé.

Tóm tắt lý thuyết cốt lõi

• Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập nếu việc xảy ra (hay không) của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.
• Quy tắc nhân xác suất: Nếu $A, B$ độc lập thì

$$P(AB) = P(A)\cdot P(B).$$

• Dấu hiệu nhận biết: Nếu $P(AB) \neq P(A)\cdot P(B)$ thì $A$ và $B$ KHÔNG độc lập (có liên quan với nhau).
• Sơ đồ hình cây giúp tính nhanh xác suất các trường hợp kết hợp.

---

Ví dụ 1: Vận động viên đạt huy chương

Gọi $A$: "An đạt huy chương" với $P(A)=0,8$; $B$: "Bình đạt huy chương" với $P(B)=0,9$.

a) An và Bình thi đấu hai môn khác nhau nên kết quả của người này không ảnh hưởng người kia → $A$ và $B$ độc lập.

b) $P(AB)=P(A)P(B)=0,8\cdot 0,9 = 0,72$.

c) Theo sơ đồ hình cây:

• $P(\overline{A}\,\overline{B}) = 0,2\cdot 0,1 = 0,02$
• $P(A\overline{B}) = 0,8\cdot 0,1 = 0,08$
• $P(\overline{A}B) = 0,2\cdot 0,9 = 0,18$

---

Luyện tập 1: Gieo hai loại hạt giống

Đề: Hạt A nảy mầm với xác suất $0,92$, hạt B nảy mầm với xác suất $0,88$, hai việc độc lập. Tính xác suất để:

Đặt $P(A)=0,92 \Rightarrow P(\overline{A})=0,08$; $P(B)=0,88 \Rightarrow P(\overline{B})=0,12$.

a) Hạt A nảy mầm còn hạt B không nảy mầm:
$$P(A\overline{B}) = 0,92\cdot 0,12 = 0,1104.$$

b) Hạt A không nảy mầm còn hạt B nảy mầm:
$$P(\overline{A}B) = 0,08\cdot 0,88 = 0,0704.$$

c) Ít nhất một loại nảy mầm = $1$ trừ trường hợp cả hai đều không nảy:

$$1 - P(\overline{A}\,\overline{B}) = 1 - 0,08\cdot 0,12 = 1 - 0,0096 = 0,9904.$$

---

Ví dụ 2: Tai nạn ô tô và dây an toàn

$P(A)=0,37\%=0,0037$ (tử vong); $P(B)=29\%=0,29$ (không thắt dây).

$P(A)P(B)=0,0037\cdot 0,29 = 0,001073$, trong khi $P(AB)=0,28\%=0,0028$.

Vì $P(AB)\neq P(A)P(B)$ nên $A$ và $B$ không độc lập → việc không thắt dây an toàn có liên quan đến nguy cơ tử vong khi gặp tai nạn.

---

Luyện tập 2: Hút thuốc lá và viêm phổi

Đề: Khảo sát 5 000 người đàn ông, kết quả trong bảng. Chứng tỏ việc nghiện thuốc lá và mắc viêm phổi có liên quan.

Chọn ngẫu nhiên 1 người. Gọi $A$: "người đó bị viêm phổi"; $B$: "người đó nghiện thuốc lá".

$$P(A)=\frac{1327}{5000}=0,2654;\quad P(B)=\frac{1988}{5000}=0,3976.$$
$$P(A)P(B)=0,2654\cdot 0,3976 \approx 0,1055.$$

Mặt khác, $AB$ là biến cố "vừa nghiện thuốc vừa viêm phổi":
$$P(AB)=\frac{752}{5000}=0,1504.$$

Vì $P(AB)=0,1504 \neq 0,1055 = P(A)P(B)$ nên hai biến cố không độc lập. Vậy việc nghiện thuốc lá và mắc viêm phổi có liên quan với nhau.

---

Bài 8.11: Chứng minh hai biến cố xung khắc không độc lập

Đề: Cho $A, B$ xung khắc với $P(A)>0,\ P(B)>0$. Chứng tỏ $A$ và $B$ không độc lập.

Lời giải:

• Vì $A$ và $B$ xung khắc nên không thể cùng xảy ra: $AB=\varnothing$, suy ra $P(AB)=0$.
• Nếu $A, B$ độc lập thì phải có $P(AB)=P(A)P(B)>0$ (do cả hai xác suất đều dương).
• Hai điều này mâu thuẫn nhau: $0 \neq P(A)P(B)$.

Vậy $A$ và $B$ không độc lập. (Hai biến cố xung khắc với xác suất dương luôn phụ thuộc nhau.)

---

Bài 8.12: Thẻ đánh số là ước của 60 và 48

Đề: Thùng 60 thẻ đánh số $1\to 60$. $A$: "số là ước của 60"; $B$: "số là ước của 48". Chứng tỏ $A, B$ không độc lập.

Lời giải:

• Ước của 60: $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$ → 12 số. $P(A)=\dfrac{12}{60}=\dfrac15$.
• Ước của 48: $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$ → 10 số. $P(B)=\dfrac{10}{60}=\dfrac16$.
• $AB$: số vừa là ước của 60 vừa là ước của 48, tức là ước chung = ước của $\gcd(60,48)=12$: $1,2,3,4,6,12$ → 6 số. $P(AB)=\dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10}$.

So sánh:
$$P(A)P(B)=\frac15\cdot\frac16=\frac{1}{30},\qquad P(AB)=\frac{1}{10}=\frac{3}{30}.$$

Vì $P(AB)\neq P(A)P(B)$ nên $A$ và $B$ không độc lập.

---

Bài 8.13: Hai túi bi

Đề: Túi I có 3 xanh, 7 đỏ (10 viên). Túi II có 10 xanh, 6 đỏ (16 viên). Mỗi túi lấy 1 viên.

Xác suất từng túi:
$$P(X_1)=\frac{3}{10},\ P(Đ_1)=\frac{7}{10};\quad P(X_2)=\frac{10}{16}=\frac58,\ P(Đ_2)=\frac{6}{16}=\frac38.$$

Việc lấy ở hai túi là độc lập.

a) Cùng màu xanh:
$$\frac{3}{10}\cdot\frac58=\frac{15}{80}=\frac{3}{16}=0,1875.$$

b) Cùng màu đỏ:
$$\frac{7}{10}\cdot\frac38=\frac{21}{80}=0,2625.$$

c) Cùng màu (xanh hoặc đỏ — hai trường hợp xung khắc, cộng lại):
$$\frac{15}{80}+\frac{21}{80}=\frac{36}{80}=\frac{9}{20}=0,45.$$

d) Không cùng màu (biến cố đối của câu c):
$$1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}=0,55.$$

---

Bài 8.14: Hai túi quả cầu số 1–10

Đề: Hai túi, mỗi túi 10 quả số $1\to 10$. Mỗi túi lấy 1 quả. Tính xác suất để không có quả nào ghi số 1 hoặc số 5.

Lời giải:

• Ở mỗi túi, các số "không phải 1 và không phải 5" là $2,3,4,6,7,8,9,10$ → 8 số.
• Xác suất quả lấy ở một túi không ghi 1 hoặc 5: $\dfrac{8}{10}=\dfrac45$.
• Hai lần lấy độc lập nên:

$$P=\frac45\cdot\frac45=\frac{16}{25}=0,64.$$

---

Bài 8.15: Học sinh tỉnh X và tỉnh Y

Đề: $P(X)=93\%=0,93$ học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; $P(Y)=87\%=0,87$ học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Hai tỉnh độc lập.

Đặt $X$: "học sinh tỉnh X đạt"; $Y$: "học sinh tỉnh Y đạt". Khi đó $P(\overline X)=0,07$, $P(\overline Y)=0,13$.

a) Cả hai đều đạt:
$$P(XY)=0,93\cdot 0,87 = 0,8091.$$

b) Cả hai đều không đạt:
$$P(\overline X\,\overline Y)=0,07\cdot 0,13 = 0,0091.$$

c) Đúng một học sinh đạt (hai trường hợp xung khắc):

$$P(X\overline Y)+P(\overline X Y)=0,93\cdot 0,13 + 0,07\cdot 0,87 = 0,1209+0,0609=0,1818.$$

d) Ít nhất một học sinh đạt (đối của câu b):
$$1-P(\overline X\,\overline Y)=1-0,0091=0,9909.$$

---

Nhận xét nhanh: các bài chứng minh "không độc lập" (8.11, 8.12, Luyện tập 2) đều dùng cùng một chiêu — tính $P(AB)$ và $P(A)P(B)$ rồi so sánh. Còn các bài tính xác suất (8.13–8.15) thì khai thác tính độc lập để nhân xác suất, và nhớ dùng biến cố đối cho các câu "ít nhất một".