Giải Toán tập 2 trang 80
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 80–81
Đây là phần Bài tập cuối chương VIII (Xác suất). Mình sẽ giải toàn bộ phần trắc nghiệm (trang 79, các bài liên quan) và phần tự luận (trang 80) nhé.
Tóm tắt lý thuyết cần dùng
- Biến cố hợp $A \cup B$: xảy ra A hoặc B.
- Biến cố giao $AB = A \cap B$: xảy ra cả A và B.
- Công thức cộng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.
- Hai biến cố độc lập khi $P(AB) = P(A)\cdot P(B)$.
- Biến cố đối $\overline{A}$: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Bài 8.16: Số phần tử của A ∪ B
Hộp có 20 thẻ số 1 đến 20.
- $A$ = "số chẵn lớn hơn 9" = $\{10, 12, 14, 16, 18, 20\}$
- $B$ = "số không nhỏ hơn 8 và không lớn hơn 15" = $\{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
$$A \cup B = \{8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,20\}$$
Đếm được 11 phần tử.
Đáp án: A. 11
Bài 8.17: Số phần tử của AB
$$A \cap B = \{10, 12, 14\}$$
(các số vừa chẵn lớn hơn 9, vừa nằm trong khoảng [8;15])
Có 3 phần tử.
Đáp án: C. 3
Bài 8.18: Xác suất thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng
50 nhà khoa học: 31 tiếng Anh (E), 21 tiếng Pháp (F), 5 cả hai.
$$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(EF) = \frac{31}{50} + \frac{21}{50} - \frac{5}{50} = \frac{47}{50}$$
Đáp án: A. $\dfrac{47}{50}$
Bài 8.19: Xác suất không thành thạo cả tiếng Anh lẫn Pháp
Đây là biến cố đối của "thành thạo ít nhất một thứ tiếng":
$$P = 1 - \frac{47}{50} = \frac{3}{50}$$
Đáp án: B. $\dfrac{3}{50}$
Bài 8.20: Xác suất học sinh không thích cả bóng chuyền và bóng rổ
40 học sinh: 23 bóng chuyền, 18 bóng rổ, 26 thích ít nhất một môn.
Số học sinh không thích môn nào: $40 - 26 = 14$.
$$P = \frac{14}{40}$$
Đáp án: B. $\dfrac{14}{40}$
Bài 8.21: Xác suất thích bóng chuyền và không thích bóng rổ
Số thích cả hai: $23 + 18 - 26 = 15$.
Số chỉ thích bóng chuyền: $23 - 15 = 8$.
$$P = \frac{8}{40}$$
Đáp án: C. $\dfrac{8}{40}$
Bài 8.22: Biểu diễn biến cố theo M và N
Với $M$: "A bắn trúng vòng 10", $N$: "B bắn trúng vòng 10":
| Biến cố | Mô tả | Biểu diễn |
|---|---|---|
| C | Có ít nhất một người trúng | $M \cup N$ |
| D | Cả hai cùng trúng | $MN$ (tức $M \cap N$) |
| E | Cả hai đều không trúng | $\overline{M}\,\overline{N}$ |
| F | A trúng, B không trúng | $M\,\overline{N}$ |
| G | Chỉ đúng một người trúng | $M\overline{N} \cup \overline{M}N$ |
Bài 8.23: Xác suất người đến từ Hà Nội hoặc Hải Phòng
Đoàn có 31 người: 7 từ Hà Nội, 5 từ Hải Phòng. Một người không thể vừa từ Hà Nội vừa từ Hải Phòng nên hai biến cố này xung khắc.
$$P = \frac{7}{31} + \frac{5}{31} = \frac{12}{31}$$
Bài 8.24: Chứng minh các cặp biến cố không độc lập
Gieo xúc xắc 2 lần, không gian mẫu có 36 kết quả.
- $P(A) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ (lần 1 ra 1)
- $P(B) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ (lần 2 ra 2)
- $C$ (tổng = 8): $\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}$ → $P(C) = \dfrac{5}{36}$
- $D$ (tổng = 7): 6 kết quả → $P(D) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$
Cặp A và C:
$A \cap C$ cần lần 1 ra 1 và tổng = 8, tức lần 2 ra 7 (vô lý). Vậy $P(AC) = 0$.
Mà $P(A)P(C) = \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{36} = \dfrac{5}{216} \neq 0$.
→ A và C không độc lập.
Cặp B và C:
$B \cap C$ = lần 2 ra 2 và tổng = 8 → lần 1 ra 6, chỉ có $(6,2)$. Vậy $P(BC) = \dfrac{1}{36} = \dfrac{6}{216}$.
Mà $P(B)P(C) = \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{36} = \dfrac{5}{216}$.
Vì $\dfrac{6}{216} \neq \dfrac{5}{216}$ → B và C không độc lập.
Cặp C và D:
Tổng không thể vừa bằng 8 vừa bằng 7, nên $C \cap D = \varnothing$, $P(CD) = 0$.
Mà $P(C)P(D) = \dfrac{5}{36}\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{216} \neq 0$.
→ C và D không độc lập.
Vậy cả ba cặp đều không độc lập.
Bài 8.25: Xác suất khởi hành đúng giờ (dùng sơ đồ hình cây)
Gọi $P(X) = 0,92$, $P(Y) = 0,98$, độc lập. Khi đó $P(\overline{X}) = 0,08$, $P(\overline{Y}) = 0,02$.
Sơ đồ hình cây có 4 nhánh:
| Nhánh | X | Y | Xác suất |
|---|---|---|---|
| 1 | đúng giờ | đúng giờ | $0,92 \times 0,98 = 0,9016$ |
| 2 | đúng giờ | trễ | $0,92 \times 0,02 = 0,0184$ |
| 3 | trễ | đúng giờ | $0,08 \times 0,98 = 0,0784$ |
| 4 | trễ | trễ | $0,08 \times 0,02 = 0,0016$ |
a) Cả hai khởi hành đúng giờ:
$$P = 0,92 \times 0,98 = 0,9016$$
b) Chỉ đúng một chuyến đúng giờ (nhánh 2 + nhánh 3):
$$P = 0,0184 + 0,0784 = 0,0968$$
c) Có ít nhất một chuyến đúng giờ (lấy đối của "cả hai đều trễ"):
$$P = 1 - 0,0016 = 0,9984$$
Tổng kết: phần trắc nghiệm lần lượt là 8.16-A, 8.17-C, 8.18-A, 8.19-B, 8.20-B, 8.21-C. Phần tự luận đã giải đầy đủ. Điểm dễ nhầm nhất ở chương này là phân biệt biến cố hợp/giao và nhớ trừ phần giao trong công thức cộng. Em cần mình giải kỹ thêm bài nào không?