Giải Toán tập 2 trang 82

Tóm tắt lý thuyết

Chương này giới thiệu khái niệm đạo hàm, các quy tắc tính, công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp, cùng ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm.

Điểm cốt lõi cần nhớ: Nhiều bài toán thực tế (vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tức thời, tốc độ biến đổi...) đều dẫn về việc tính giới hạn dạng

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$$

Giới hạn này (nếu tồn tại và hữu hạn) chính là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, kí hiệu $f'(x_0)$:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$$

Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:

1. Tính $f(x) - f(x_0)$.
2. Lập và rút gọn tỉ số $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ với $x \neq x_0$.
3. Tìm giới hạn của tỉ số khi $x \to x_0$.

---

Bài toán mở đầu: Vận tốc quả bóng rơi

Đề: Một quả bóng được thả rơi tự do từ sân thượng toà nhà Landmark 81 (cao 461,3 m) xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí)

Lời giải:

Đây là câu hỏi gợi mở, câu trả lời là Có. Để tính được, ta cần khái niệm vận tốc tức thời, chính là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Quá trình rơi tự do tuân theo phương trình

$$s(t) = \frac{1}{2}gt^2 \quad (g \approx 9,8 \text{ m/s}^2).$$

Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là giới hạn của vận tốc trung bình, tức là đạo hàm $s'(t) = gt$. Ý chính của trang mở đầu: muốn giải bài toán này phải dùng đạo hàm, nên ta đi học khái niệm đạo hàm.

---

HĐ1: Vận tốc tức thời của vật chuyển động thẳng

Đề: Một vật di chuyển trên một đường thẳng. Quãng đường $s$ là hàm số của thời gian $t$, $s = s(t)$ (gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$.

b) Giới hạn $\displaystyle\lim_{t \to t_0} \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}$ cho ta biết điều gì?

Lời giải:

a) Trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$:

• Quãng đường vật đi được là $s(t) - s(t_0)$.
• Thời gian tương ứng là $t - t_0$.

Vậy vận tốc trung bình là:

$$v_{tb} = \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}.$$

b) Khi $t$ càng gần $t_0$ thì khoảng thời gian càng nhỏ, vận tốc trung bình càng phản ánh đúng "độ nhanh chậm" của vật ngay tại thời điểm $t_0$. Do đó giới hạn

$$\lim_{t \to t_0} \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}$$

cho ta biết vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t_0$.

---

HĐ2: Cường độ tức thời

Đề: Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $Q = Q(t)$.

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$.

b) Giới hạn $\displaystyle\lim_{t \to t_0} \frac{Q(t) - Q(t_0)}{t - t_0}$ cho ta biết điều gì?

Lời giải:

a) Cường độ dòng điện là điện lượng truyền qua trong một đơn vị thời gian. Trong khoảng từ $t_0$ đến $t$:

• Điện lượng truyền qua là $Q(t) - Q(t_0)$.
• Thời gian là $t - t_0$.

Vậy cường độ trung bình của dòng điện là:

$$I_{tb} = \frac{Q(t) - Q(t_0)}{t - t_0}.$$

b) Tương tự HĐ1, khi $t \to t_0$, giới hạn

$$\lim_{t \to t_0} \frac{Q(t) - Q(t_0)}{t - t_0}$$

cho ta biết cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm $t_0$.

Nhận xét: Hai bài toán trên (và nhiều bài toán Vật lí, Hoá học, Sinh học khác) đều đưa về cùng một dạng giới hạn $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ — đây chính là khởi nguồn của khái niệm đạo hàm.

---

Ví dụ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Đề: Tính đạo hàm của hàm số $y = f(x) = x^2 + 2x$ tại điểm $x_0 = 1$.

Lời giải:

Bước 1 — Tính $f(x) - f(1)$:

Trước hết $f(1) = 1^2 + 2\cdot 1 = 3$. Do đó:

$$f(x) - f(1) = x^2 + 2x - 3 = (x^2 - 1) + (2x - 2) = (x-1)(x+1) + 2(x-1) = (x-1)(x+3).$$

Bước 2 — Lập và rút gọn tỉ số (với $x \neq 1$):

$$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = x + 3.$$

Bước 3 — Tìm giới hạn:

$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1}(x+3) = 4.$$

Vậy $f'(1) = 4$.

Giải thích cách làm: Ta không thể thay trực tiếp $x = 1$ vào tỉ số ban đầu vì sẽ ra dạng $\frac{0}{0}$. Mẹo là phân tích tử thành nhân tử có chứa $(x - 1)$ để rút gọn với mẫu, rồi mới lấy giới hạn. Đây là kĩ thuật chuẩn khi tính đạo hàm bằng định nghĩa.

---