Giải Toán tập 2 trang 12
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 12–13
🔍 Kiến thức cần nhớ
Tính chất của lôgarit
Quy tắc tính lôgarit: Với a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, α là số thực tùy ý:
- log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)
- log_a(M/N) = log_a(M) − log_a(N)
- log_a(M^α) = α × log_a(M)
Công thức đổi cơ số: Với các cơ số lôgarit a và b bất kì (0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1) và M là số thực dương tùy ý:
- log_a(M) = log_b(M) / log_b(a)
Lôgarit thập phân: log M hoặc lg M là lôgarit cơ số 10 của M
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Tính:
a) log_3(3√3)
b) log_(1/2)(32)
Cách 1 — Sử dụng tính chất lôgarit cơ bản
Câu a) Tính log_3(3√3)
Bước 1: Viết 3√3 dưới dạng lũy thừa của 3
- 3√3 = 3 × 3^(1/2) = 3^1 × 3^(1/2) = 3^(1 + 1/2) = 3^(3/2)
Bước 2: Áp dụng công thức log_a(a^α) = α
- log_3(3√3) = log_3(3^(3/2)) = 3/2
Câu b) Tính log_(1/2)(32)
Bước 1: Viết 32 và 1/2 dưới dạng lũy thừa của 2
- 32 = 2^5
- 1/2 = 2^(−1)
Bước 2: Áp dụng công thức đổi cơ số hoặc tính chất
- log_(1/2)(32) = log_(2^(−1))(2^5)
Sử dụng tính chất: log_(a^m)(b^n) = (n/m) × log_a(b)
- log_(2^(−1))(2^5) = (5/(−1)) × log_2(2) = −5 × 1 = −5
Cách 2 — Đặt ẩn phụ
Câu a) Đặt x = log_3(3√3)
Theo định nghĩa: 3^x = 3√3 = 3^(3/2)
⟹ x = 3/2
Câu b) Đặt x = log_(1/2)(32)
Theo định nghĩa: (1/2)^x = 32
⟹ 2^(−x) = 2^5
⟹ −x = 5
⟹ x = −5
💡 Mẹo nhớ: Khi cơ số là nghịch đảo (1/a thay vì a), kết quả lôgarit sẽ đổi dấu: log_(1/a)(M) = −log_a(M)
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Câu b: Bấm log(32) ÷ log(0.5) = được −5
Luyện tập 2
Đề bài: Rút gọn biểu thức:
A = log_2(x^3 − x) − log_2(x + 1) − log_2(x − 1) với x > 1
Cách 1 — Áp dụng quy tắc trừ lôgarit từng bước
Bước 1: Áp dụng công thức log_a(M) − log_a(N) = log_a(M/N)
A = log_2(x^3 − x) − log_2(x + 1) − log_2(x − 1)
= log_2[(x^3 − x) / (x + 1)] − log_2(x − 1)
Bước 2: Phân tích x^3 − x
- x^3 − x = x(x^2 − 1) = x(x − 1)(x + 1)
Bước 3: Thay vào và rút gọn
- (x^3 − x) / (x + 1) = x(x − 1)(x + 1) / (x + 1) = x(x − 1)
A = log_2[x(x − 1)] − log_2(x − 1)
= log_2[x(x − 1) / (x − 1)]
= log_2(x)
Kết quả: A = log_2(x)
Cách 2 — Gộp tất cả lôgarit trừ thành một phân số
Bước 1: Áp dụng công thức log(M) − log(N) − log(P) = log(M / (N × P))
A = log_2[(x^3 − x) / ((x + 1)(x − 1))]
Bước 2: Phân tích
- Tử: x^3 − x = x(x^2 − 1) = x(x − 1)(x + 1)
- Mẫu: (x + 1)(x − 1) = x^2 − 1
Bước 3: Rút gọn
- (x^3 − x) / ((x + 1)(x − 1)) = x(x − 1)(x + 1) / ((x + 1)(x − 1)) = x
A = log_2(x)
Kết quả: A = log_2(x)
⚠️ Lưu ý thi: Điều kiện x > 1 đảm bảo tất cả các số mũ đều dương (x^3 − x > 0, x + 1 > 0, x − 1 > 0)
HĐ3 (Hoạt động 3)
Đề bài: Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit
Giả sử đã cho log_a(M) và ta muốn tính log_b(M). Để tìm mối liên hệ giữa log_a(M) và log_b(M), hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a) Đặt y = log_a(M), tính M theo y
b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y
Giải
Câu a) Đặt y = log_a(M), tính M theo y
Theo định nghĩa lôgarit:
- Nếu y = log_a(M) thì M = a^y
Câu b) Lấy lôgarit cơ số b hai vế và suy ra công thức
Bước 1: Từ M = a^y, lấy lôgarit cơ số b hai vế:
- log_b(M) = log_b(a^y)
Bước 2: Áp dụng tính chất log_b(a^y) = y × log_b(a):
- log_b(M) = y × log_b(a)
Bước 3: Giải tìm y:
- y = log_b(M) / log_b(a)
Bước 4: Thay y = log_a(M):
Công thức đổi cơ số:
log_a(M) = log_b(M) / log_b(a)
💡 Mẹo nhớ: "Số mới chia cơ mới" - Lôgarit của số theo cơ số mới chia cho lôgarit của cơ số cũ theo cơ số mới
Luyện tập 3
Đề bài: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính log_9(1/27)
Cách 1 — Dùng công thức đổi cơ số với cơ số 3
Bước 1: Viết 9 và 1/27 dưới dạng lũy thừa của 3
- 9 = 3^2
- 1/27 = 27^(−1) = (3^3)^(−1) = 3^(−3)
Bước 2: Áp dụng công thức đổi cơ số
- log_9(1/27) = log_3(1/27) / log_3(9)
- = log_3(3^(−3)) / log_3(3^2)
- = (−3) / 2
- = −3/2
Cách 2 — Đặt ẩn theo định nghĩa
Đặt x = log_9(1/27)
Theo định nghĩa: 9^x = 1/27
⟹ (3^2)^x = 3^(−3)
⟹ 3^(2x) = 3^(−3)
⟹ 2x = −3
⟹ x = −3/2
Cách 3 — Dùng tính chất log_(a^m)(b^n) = (n/m) × log_a(b)
log_9(1/27) = log_(3^2)(3^(−3)) = (−3/2) × log_3(3) = (−3/2) × 1 = −3/2
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm: log(1÷27) ÷ log(9) = được −1.5 = −3/2
⚠️ Lưu ý thi: Dạng log_(a^m)(b^n) rất hay gặp trong đề thi. Công thức nhanh: (n/m) × log_a(b)
🎯 Ghi nhớ
- Ba tính chất cơ bản của lôgarit:
- Lôgarit của tích = tổng các lôgarit
- Lôgarit của thương = hiệu các lôgarit
- Lôgarit của lũy thừa = số mũ nhân với lôgarit
- Công thức đổi cơ số: log_a(M) = log_b(M) / log_b(a) — cho phép tính mọi lôgarit bằng máy tính (chỉ cần log hoặc ln)
- Hệ quả quan trọng:
- log_a(b) = 1 / log_b(a)
- log_(a^α)(M) = (1/α) × log_a(M)