Giải Toán tập 2 trang 84
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 84–85
Lưu ý nhỏ trước khi bắt đầu: số trang in trên hai ảnh là 83 và 84 (không phải 84–85). Mình vẫn giữ header theo yêu cầu của bạn, nhưng để bạn nắm chính xác nội dung đang nằm ở trang 83 và 84 nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Hai trang này tiếp nối bài Đạo hàm, gồm các ý chính:
- Cách tính đạo hàm tại một điểm bằng giới hạn, có thể đặt $h = x - x_0$ để tính:
$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$$
- Đạo hàm trên một khoảng: hàm $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm $x$ thuộc khoảng đó, kí hiệu $y' = f'(x)$.
- Các kết quả cơ bản: $(c)' = 0$, $(x)' = 1$, $(cx^2)' = 2cx$.
- Ý nghĩa cơ học: nếu $s = f(t)$ là phương trình chuyển động thì $v(t) = f'(t)$ là vận tốc tức thời.
- Ý nghĩa hình học: tiếp tuyến của đồ thị tại $P(x_0; f(x_0))$ có hệ số góc $k = f'(x_0)$.
Bài Luyện tập 1: Đạo hàm tại một điểm
Đề: Tính đạo hàm của hàm số $y = -x^2 + 2x + 1$ tại điểm $x_0 = -1$.
Lời giải từng bước:
Trước hết tính giá trị hàm số tại $x_0 = -1$:
$$f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 1 = -2.$$
Áp dụng định nghĩa đạo hàm:
$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(-x^2 + 2x + 1) - (-2)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{-x^2 + 2x + 3}{x + 1}.$$
Phân tích tử thức:
$$-x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x - 3) = -(x + 1)(x - 3).$$
Do đó:
$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{-(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \big[-(x - 3)\big] = \lim_{x \to -1} (3 - x) = 3 - (-1) = 4.$$
Đáp án: $f'(-1) = 4$.
Bài HĐ3: Đạo hàm của hàm hằng và hàm $y = x$
Đề: Tính đạo hàm $f'(x_0)$ tại điểm $x_0$ bất kì trong các trường hợp:
- a) $f(x) = c$ ($c$ là hằng số);
- b) $f(x) = x$.
Lời giải:
a) Với $f(x) = c$:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{c - c}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} 0 = 0.$$
Vậy $(c)' = 0$. Lý do: hàm hằng không thay đổi giá trị nên độ biến thiên luôn bằng 0.
b) Với $f(x) = x$:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} 1 = 1.$$
Vậy $(x)' = 1$. Đây là kết quả nền tảng được dùng nhiều về sau.
Bài Luyện tập 2: Đạo hàm của hàm bậc hai và hàm bậc nhất
Đề: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
- a) $y = x^2 + 1$;
- b) $y = kx + c$ (với $k, c$ là các hằng số).
Lời giải:
a) Với $x_0$ bất kì:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{(x^2 + 1) - (x_0^2 + 1)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{x^2 - x_0^2}{x - x_0}.$$
Vì $x^2 - x_0^2 = (x - x_0)(x + x_0)$ nên:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} (x + x_0) = 2x_0.$$
Vậy $y' = 2x$.
(Có thể kiểm tra nhanh bằng công thức $(cx^2)' = 2cx$ với $c = 1$, cộng thêm $(1)' = 0$, ra $2x$.)
b) Với $x_0$ bất kì:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{(kx + c) - (kx_0 + c)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{k(x - x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} k = k.$$
Vậy $y' = k$.
Nhận xét: hàm bậc nhất $y = kx + c$ có đạo hàm là hằng số $k$, đúng bằng hệ số góc của đường thẳng. Điều này khớp với ý nghĩa hình học: đường thẳng có độ dốc không đổi.
Bài HĐ4: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Đề: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm $P(x_0; f(x_0)) \in (C)$. Xét điểm $Q(x; f(x))$ thay đổi trên $(C)$ với $x \neq x_0$.
- a) Tìm hệ số góc $k_{PQ}$ của cát tuyến $PQ$.
- b) Khi $x \to x_0$ thì vị trí điểm $Q$ thay đổi như thế nào?
- c) Nếu $Q$ di chuyển trên $(C)$ tới $P$ mà $k_{PQ}$ có giới hạn hữu hạn $k$ thì nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến $QP$?
Lời giải:
a) Cát tuyến $PQ$ đi qua hai điểm $P(x_0; f(x_0))$ và $Q(x; f(x))$. Dùng công thức hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm:
$$k_{PQ} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$$
b) Khi $x \to x_0$, hoành độ của $Q$ tiến dần về hoành độ của $P$, nên điểm $Q$ di chuyển trên đồ thị $(C)$ và tiến dần đến trùng với điểm $P$.
c) Khi $Q$ tiến tới $P$, hệ số góc cát tuyến $k_{PQ}$ tiến tới giới hạn:
$$k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0).$$
Lúc này cát tuyến $QP$ tiến đến một vị trí giới hạn là đường thẳng đi qua $P$ với hệ số góc $k = f'(x_0)$. Đường thẳng giới hạn đó chính là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $P$, và $P$ gọi là tiếp điểm.
Đây cũng là nội dung dẫn tới định nghĩa tiếp tuyến trong khung cuối trang: tiếp tuyến của đồ thị $y = f(x)$ tại $P(x_0; f(x_0))$ là đường thẳng đi qua $P$ với hệ số góc $k = f'(x_0)$.
Hai trang này không có thêm bài tập tự luyện nào khác ngoài Luyện tập 1, Luyện tập 2, HĐ3 và HĐ4 đã giải ở trên. Phần Ví dụ 2 và Ví dụ 3 là ví dụ mẫu (đã có lời giải sẵn trong sách) nên mình không giải lại, chỉ tóm vào phần lý thuyết.