Giải Toán tập 2 trang 86
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 86–87
Hai trang này thuộc bài về đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm (hệ số góc tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến). Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các ví dụ, luyện tập và phần bài tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $P(x_0; f(x_0))$ chính là đạo hàm $f'(x_0)$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y=f(x)$ tại điểm $P(x_0; y_0)$ là:
$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0), \quad \text{với } y_0 = f(x_0).$$
Luyện tập 3
Đề: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=\dfrac{1}{2}$.
Giải: Ta có $(x^2)'=2x$ nên
$$k = y'\!\left(\tfrac12\right) = 2\cdot\tfrac12 = 1.$$
Vậy hệ số góc cần tìm là $k=1$.
Ví dụ 5 (tham khảo)
Viết phương trình tiếp tuyến của $(P): y=3x^2$ tại $x_0=1$: $y'=6x$, $k=f'(1)=6$, $f(1)=3$, nên tiếp tuyến là $y=6x-3$.
Luyện tập 4
Đề: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y=-2x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$.
Giải:
- Đạo hàm: $y'=-4x$.
- Hệ số góc: $k=y'(-1)=-4\cdot(-1)=4$.
- Tung độ tiếp điểm: $y_0=-2\cdot(-1)^2=-2$.
Phương trình tiếp tuyến:
$$y-(-2)=4\big(x-(-1)\big) \;\Rightarrow\; y+2=4(x+1)\;\Rightarrow\; \boxed{y=4x+2}.$$
Vận dụng (Cầu vượt parabol)
Đề: Cầu vượt hình parabol nối hai điểm cách nhau 400 m, độ dốc mặt cầu không vượt quá $10^\circ$. Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường.
Giải (theo hướng dẫn):
- Chọn đỉnh cầu là gốc tọa độ, mặt cắt là $y=-ax^2$ với $-200\le x\le 200$.
- Độ dốc: $k=y'=-2ax$, nên $|k|=2a|x|\le 400a$.
- Vì độ dốc không quá $10^\circ$: $400a\le \tan 10^\circ$, suy ra $a\le \dfrac{\tan 10^\circ}{400}$.
Chiều cao từ đỉnh đến mặt đường là độ cao tại $x=200$:
$$h=|y(200)|=a\cdot 200^2=40000a \le 40000\cdot\frac{\tan 10^\circ}{400}=100\tan 10^\circ.$$
$$h \le 100\cdot 0{,}1763 \approx 17{,}6 \text{ (m)}.$$
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường khoảng 17,6 m.
BÀI TẬP
Bài 9.1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
a) $y=x^2-x$ tại $x_0=1$.
Ta có $f(1)=1-1=0$.
$$f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-x}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}x=1.$$
Vậy $f'(1)=1$.
b) $y=-x^3$ tại $x_0=-1$.
Ta có $f(-1)=-(-1)^3=1$.
$$f'(-1)=\lim_{x\to -1}\frac{-x^3-1}{x+1}=\lim_{x\to -1}\frac{-(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}=\lim_{x\to -1}\big[-(x^2-x+1)\big].$$
$$=-\big(1+1+1\big)=-3.$$
Vậy $f'(-1)=-3$.
Bài 9.2: Tìm đạo hàm bằng định nghĩa
a) $y=kx^2+c$:
$$y'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{(kx^2+c)-(kx_0^2+c)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{k(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=2kx_0.$$
Vậy $y'=2kx$.
b) $y=x^3$:
$$y'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}(x^2+xx_0+x_0^2)=3x_0^2.$$
Vậy $y'=3x^2$.
Bài 9.3: Phương trình tiếp tuyến của $y=-x^2+4x$
Đạo hàm: $y'=-2x+4$.
a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0=1$:
- $y_0=-1+4=3$, hệ số góc $k=y'(1)=-2+4=2$.
- Tiếp tuyến: $y-3=2(x-1)\Rightarrow \boxed{y=2x+1}$.
b) Tiếp điểm có tung độ $y_0=0$: giải $-x_0^2+4x_0=0\Rightarrow x_0(x_0-4)=0\Rightarrow x_0=0$ hoặc $x_0=4$.
- Tại $x_0=0$: $k=y'(0)=4$, tiếp tuyến $y=4x$.
- Tại $x_0=4$: $k=y'(4)=-8+4=-4$, tiếp tuyến $y-0=-4(x-4)\Rightarrow y=-4x+16$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $y=4x$ và $y=-4x+16$.
Bài 9.4: Vận tốc khi chạm đất
Đề: $h=19{,}6t-4{,}9t^2$. Tìm vận tốc khi vật chạm đất.
Vận tốc là đạo hàm của độ cao theo thời gian:
$$v=h'=19{,}6-9{,}8t.$$
Vật chạm đất khi $h=0$:
$$19{,}6t-4{,}9t^2=0\Rightarrow t(19{,}6-4{,}9t)=0\Rightarrow t=0 \text{ hoặc } t=4.$$
Lúc chạm đất $t=4$ giây:
$$v(4)=19{,}6-9{,}8\cdot 4=-19{,}6 \text{ (m/s)}.$$
Dấu âm cho thấy vật đang đi xuống; tốc độ khi chạm đất là 19,6 m/s.
Bài 9.5: Đường ray tàu lượn
Cho $y=ax^2+bx+c$, gốc tọa độ đặt tại $P$. Đạo hàm $y'=2ax+b$.
a) Tìm $c$: Vì $P$ là gốc tọa độ nên đồ thị đi qua $(0;0)$:
$$y(0)=c=0\Rightarrow c=0.$$
b) Tính $y'(0)$ và tìm $b$:
$$y'(0)=2a\cdot 0+b=b.$$
$L_1$ là tiếp tuyến tại $P$ và có hệ số góc $0{,}5$, mà hệ số góc đó bằng $y'(0)$ nên:
$$b=0{,}5.$$
c) Tìm $a$: $Q$ cách $P$ theo phương ngang 40 m, nên $x_Q=40$. $L_2$ là tiếp tuyến tại $Q$ có hệ số góc $-0{,}75$, tức $y'(40)=-0{,}75$:
$$2a\cdot 40+0{,}5=-0{,}75\Rightarrow 80a=-1{,}25\Rightarrow a=-0{,}015625=-\frac{1}{64}.$$
d) Chênh lệch độ cao giữa $P$ và $Q$:
Độ cao tại $P$: $y_P=0$. Độ cao tại $Q$:
$$y_Q=a\cdot 40^2+0{,}5\cdot 40+0=-0{,}015625\cdot 1600+20=-25+20=-5.$$
Vậy $Q$ thấp hơn $P$, chênh lệch độ cao là $|y_P-y_Q|=\boxed{5 \text{ m}}$.