Giải Toán tập 2 trang 88

📋 Tổng quan nội dung

Trang 87: Phần "Em có biết?" - Nội dung lý thuyết bổ sung về ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế (chi phí biên, lợi nhuận biên). Không có bài tập.

Trang 88: Bắt đầu Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Phần lý thuyết và các hoạt động khám phá (HĐ1, HĐ2), cùng Ví dụ 1.

---

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Đạo hàm của hàm số y = x^n (n ∈ ℕ*)

2. Đạo hàm của hàm số y = √x

---

⚙️ Bài tập

HĐ1. Nhận biết đạo hàm của hàm số y = x^n

Đề bài:
a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = x^n (n ∈ ℕ*).

---

Câu a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì

Cách 1 — Dùng định nghĩa đạo hàm

Bước 1: Áp dụng định nghĩa đạo hàm

y'(x) = lim[Δx→0] (f(x + Δx) - f(x))/Δx

Bước 2: Tính f(x + Δx) - f(x)

f(x + Δx) = (x + Δx)³ = x³ + 3x²(Δx) + 3x(Δx)² + (Δx)³

f(x + Δx) - f(x) = x³ + 3x²(Δx) + 3x(Δx)² + (Δx)³ - x³

= 3x²(Δx) + 3x(Δx)² + (Δx)³

= Δx × (3x² + 3x(Δx) + (Δx)²)

Bước 3: Tính tỉ số

(f(x + Δx) - f(x))/Δx = (Δx × (3x² + 3x(Δx) + (Δx)²))/Δx = 3x² + 3x(Δx) + (Δx)²

Bước 4: Tính giới hạn

y'(x) = lim[Δx→0] (3x² + 3x(Δx) + (Δx)²) = 3x² + 0 + 0 = 3x²

Cách 2 — Dùng công thức khai triển nhị thức Newton

Sử dụng (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Đặt a = x, b = Δx, ta có kết quả tương tự như cách 1.

Kết luận: (x³)' = 3x²

---

Câu b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = x^n (n ∈ ℕ*)

Phân tích quy luật từ các kết quả đã biết:

Dự đoán công thức tổng quát:

(x^n)' = n × x^(n-1) với n ∈ ℕ*

💡 Mẹo nhớ: "Số mũ đưa xuống làm hệ số, số mũ trừ đi 1"

---

HĐ2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = √x tại điểm x > 0

Đề bài: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = √x tại điểm x > 0.

---

Cách 1 — Dùng định nghĩa đạo hàm (Phương pháp nhân liên hợp)

Bước 1: Áp dụng định nghĩa

y'(x) = lim[Δx→0] (√(x + Δx) - √x)/Δx

Bước 2: Nhân liên hợp

(√(x + Δx) - √x)/Δx = ((√(x + Δx) - √x)(√(x + Δx) + √x))/(Δx × (√(x + Δx) + √x))

Bước 3: Rút gọn tử số

Tử số = (x + Δx) - x = Δx

Vậy: (√(x + Δx) - √x)/Δx = Δx/(Δx × (√(x + Δx) + √x)) = 1/(√(x + Δx) + √x)

Bước 4: Tính giới hạn

y'(x) = lim[Δx→0] 1/(√(x + Δx) + √x) = 1/(√x + √x) = 1/(2√x)

Cách 2 — Viết lại dạng lũy thừa (Phương pháp nhanh)

Ta có: √x = x^(1/2)

Áp dụng công thức (x^n)' = n × x^(n-1) với n = 1/2:

(x^(1/2))' = (1/2) × x^(1/2 - 1) = (1/2) × x^(-1/2) = 1/(2x^(1/2)) = 1/(2√x)

Kết luận: (√x)' = 1/(2√x) với x > 0

⚠️ Lưu ý: Đạo hàm của √x chỉ tồn tại khi x > 0 (không tồn tại tại x = 0)

---

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = √x tại các điểm x = 4 và x = 1/4

---

Cách 1 — Thay trực tiếp vào công thức

Công thức: y' = 1/(2√x)

Tại x = 4:

y'(4) = 1/(2√4) = 1/(2 × 2) = 1/4

Tại x = 1/4:

y'(1/4) = 1/(2√(1/4)) = 1/(2 × 1/2) = 1/1 = 1

Cách 2 — Tính từ định nghĩa (cho từng điểm cụ thể)

Tại x = 4:

y'(4) = lim[Δx→0] (√(4 + Δx) - √4)/Δx = lim[Δx→0] (√(4 + Δx) - 2)/Δx

Nhân liên hợp:

= lim[Δx→0] ((4 + Δx) - 4)/(Δx × (√(4 + Δx) + 2))

= lim[Δx→0] 1/(√(4 + Δx) + 2)

= 1/(2 + 2) = 1/4

Tại x = 1/4:

y'(1/4) = lim[Δx→0] (√(1/4 + Δx) - 1/2)/Δx

Tương tự, sau khi nhân liên hợp:

= lim[Δx→0] 1/(√(1/4 + Δx) + 1/2)

= 1/(1/2 + 1/2) = 1

---

💡 Mẹo bấm máy Casio fx-580VN X: Để tính 1/(2√4): - Bấm: 1 ÷ ( 2 × √ 4 ) = - Kết quả: 0.25 = 1/4 Để tính 1/(2√(1/4)): - Bấm: 1 ÷ ( 2 × √ ( 1 ÷ 4 ) ) = - Kết quả: 1

---

📝 Bài toán mở đầu (Trang 88)

Đề bài: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Bỏ qua sức cản không khí, độ cao h so với mặt đất được cho bởi công thức:

h = v₀t - (1/2)gt²

trong đó v₀ là vận tốc ban đầu, g = 9,8 m/s² là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

---

Cách 1 — Tính đạo hàm để tìm vận tốc

Bước 1: Viết phương trình chuyển động

h(t) = v₀t - (1/2)gt² = 20t - (1/2) × 9,8 × t² = 20t - 4,9t²

Bước 2: Tính vận tốc (đạo hàm của độ cao theo thời gian)

v(t) = h'(t) = (20t - 4,9t²)'

Áp dụng công thức đạo hàm:

• (20t)' = 20
• (4,9t²)' = 4,9 × 2t = 9,8t

Vậy: v(t) = 20 - 9,8t (m/s)

Bước 3: Tìm thời điểm đạt độ cao cực đại

Vật đạt độ cao cực đại khi v(t) = 0:

20 - 9,8t = 0
t = 20/9,8 ≈ 2,04 (giây)

Vận tốc tại độ cao cực đại: v = 0 m/s

Bước 4: Tìm thời điểm chạm đất

Vật chạm đất khi h(t) = 0:

20t - 4,9t² = 0

t(20 - 4,9t) = 0
t = 0 (lúc ném) hoặc t = 20/4,9 ≈ 4,08 (giây)

Vận tốc khi chạm đất:

v(4,08) = 20 - 9,8 × 4,08 = 20 - 40 = -20 m/s

(Dấu âm cho biết vật đang đi xuống)

Cách 2 — Dùng công thức vật lý

Từ công thức: v = v₀ - gt

• Tại độ cao cực đại: v = 0 m/s
• Khi chạm đất: Theo định luật bảo toàn năng lượng, |v| = |v₀| = 20 m/s, hướng xuống nên v = -20 m/s

---

🎯 Ghi nhớ: 1. (x^n)' = n × x^(n-1) — Công thức cơ bản nhất của đạo hàm 2. (√x)' = 1/(2√x) — Chỉ xác định với x > 0 3. Vận tốc = Đạo hàm của quãng đường/độ cao theo thời gian 4. Khi giải bài toán chuyển động, đạo hàm bậc nhất cho vận tốc, đạo hàm bậc hai cho gia tốc

⚠️ Lưu ý thi: - Dạng bài tính đạo hàm của x^n và √x là dạng cơ bản, thường xuất hiện trong đề thi - Cần nhớ chính xác công thức và điều kiện tồn tại của đạo hàm