Giải Toán tập 2 trang 90
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 90–91
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó:
- (u + v)' = u' + v' (đạo hàm của tổng)
- (u − v)' = u' − v' (đạo hàm của hiệu)
- (uv)' = u'v + uv' (đạo hàm của tích)
- (u/v)' = (u'v − uv')/v² với v = v(x) ≠ 0 (đạo hàm của thương)
Chú ý:
- Với k là hằng số: (ku)' = ku'
- Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: (1/v)' = −v'/v² với v = v(x) ≠ 0
2. Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm u'ₓ tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm y'ᵤ tại u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm y'ₓ tại x là:
y'ₓ = y'ᵤ · u'ₓ
⚙️ Bài tập
HĐ3. Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng
Đề bài:
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.
b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'.
Cách 1 — Phương pháp định nghĩa (cơ bản)
a) Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Theo định nghĩa đạo hàm:
y'(x) = lim[Δx→0] [f(x + Δx) − f(x)] / Δx
Ta có: y = x³ + x²
Bước 1: Tính f(x + Δx)
f(x + Δx) = (x + Δx)³ + (x + Δx)²
Khai triển (x + Δx)³:
= x³ + 3x²·Δx + 3x·(Δx)² + (Δx)³
Khai triển (x + Δx)²:
= x² + 2x·Δx + (Δx)²
Vậy: f(x + Δx) = x³ + 3x²·Δx + 3x·(Δx)² + (Δx)³ + x² + 2x·Δx + (Δx)²
Bước 2: Tính f(x + Δx) − f(x)
= x³ + 3x²·Δx + 3x·(Δx)² + (Δx)³ + x² + 2x·Δx + (Δx)² − x³ − x²
= 3x²·Δx + 3x·(Δx)² + (Δx)³ + 2x·Δx + (Δx)²
= Δx(3x² + 2x + 3x·Δx + (Δx)² + Δx)
Bước 3: Tính giới hạn
[f(x + Δx) − f(x)] / Δx = 3x² + 2x + 3x·Δx + (Δx)² + Δx
Khi Δx → 0:
y'(x) = lim[Δx→0] (3x² + 2x + 3x·Δx + (Δx)² + Δx) = 3x² + 2x
b) So sánh:
- (x³ + x²)' = 3x² + 2x (đã tính ở câu a)
- (x³)' = 3x²
- (x²)' = 2x
- (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x
Kết luận: (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)'
Cách 2 — Phương pháp sử dụng công thức (nhanh)
a) Áp dụng trực tiếp quy tắc đạo hàm của tổng và công thức (xⁿ)' = n·x^(n−1):
y = x³ + x²
y' = (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x
b) So sánh:
- (x³ + x²)' = 3x² + 2x
- (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x
⟹ (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)' ✓
💡 Mẹo nhớ: Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm. Đây là tính chất tuyến tính của đạo hàm.
Luyện tập 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau
Đề bài:
a) y = √x / (x + 1)
b) y = (√x + 1)(x² + 2)
Câu a) y = √x / (x + 1)
Cách 1 — Áp dụng công thức đạo hàm của thương
Đặt u = √x = x^(1/2) và v = x + 1
Ta có:
- u' = (x^(1/2))' = (1/2)·x^(−1/2) = 1/(2√x)
- v' = 1
Áp dụng công thức (u/v)' = (u'v − uv')/v²:
y' = [1/(2√x)·(x + 1) − √x·1] / (x + 1)²
y' = [(x + 1)/(2√x) − √x] / (x + 1)²
Quy đồng tử số:
= [(x + 1) − 2x] / [2√x·(x + 1)²]
= [x + 1 − 2x] / [2√x·(x + 1)²]
= (1 − x) / [2√x·(x + 1)²]
Cách 2 — Biến đổi trước khi đạo hàm
Viết lại: y = x^(1/2) / (x + 1) = x^(1/2)·(x + 1)^(−1)
Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
y' = [x^(1/2)]'·(x + 1)^(−1) + x^(1/2)·[(x + 1)^(−1)]'
= (1/2)·x^(−1/2)·(x + 1)^(−1) + x^(1/2)·(−1)·(x + 1)^(−2)·1
= 1/[2√x·(x + 1)] − √x/(x + 1)²
Quy đồng mẫu số [2√x·(x + 1)²]:
= (x + 1)/[2√x·(x + 1)²] − 2x/[2√x·(x + 1)²]
= (1 − x) / [2√x·(x + 1)²]
⚠️ Lưu ý thi: Với dạng phân thức, cần quy đồng cẩn thận ở bước cuối để có kết quả gọn nhất.
Câu b) y = (√x + 1)(x² + 2)
Cách 1 — Áp dụng công thức đạo hàm của tích
Đặt u = √x + 1 = x^(1/2) + 1 và v = x² + 2
Ta có:
- u' = 1/(2√x)
- v' = 2x
Áp dụng công thức (uv)' = u'v + uv':
y' = 1/(2√x)·(x² + 2) + (√x + 1)·2x
y' = (x² + 2)/(2√x) + 2x(√x + 1)
y' = (x² + 2)/(2√x) + 2x√x + 2x
y' = (x² + 2)/(2√x) + 2x^(3/2) + 2x
Quy đồng mẫu số 2√x:
= (x² + 2)/(2√x) + 4x²/(2√x) + 4x√x/(2√x)
= (x² + 2 + 4x² + 4x√x·√x/√x)/(2√x)
Cách viết gọn hơn:
y' = (x² + 2)/(2√x) + 2x√x + 2x
Hoặc rút gọn tiếp:
y' = (5x² + 4x√x + 2)/(2√x)
Cách 2 — Khai triển trước rồi đạo hàm
y = (√x + 1)(x² + 2)
= √x·x² + 2√x + x² + 2
= x^(5/2) + 2x^(1/2) + x² + 2
Đạo hàm từng hạng tử:
y' = (5/2)·x^(3/2) + 2·(1/2)·x^(−1/2) + 2x
= (5/2)·x√x + 1/√x + 2x
= (5x√x)/2 + 1/√x + 2x
Quy đồng mẫu số 2√x:
= (5x² + 2 + 4x√x)/(2√x)
= (5x² + 4x√x + 2)/(2√x)
💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng TABLE để kiểm tra kết quả đạo hàm bằng cách so sánh giá trị y' tính được với giá trị xấp xỉ [f(x + 0.001) − f(x)]/0.001 tại một số điểm.
HĐ4. Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp
Đề bài: Cho các hàm số y = u² và u = x² + 1.
a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x.
b) Tính và so sánh: y'(x) và y'(u)·u'(x).
Cách 1 — Tính trực tiếp
a) Viết công thức hàm số hợp:
Ta có u = x² + 1, thay vào y = u²:
y = (x² + 1)²
Khai triển:
y = x⁴ + 2x² + 1
b) Tính và so sánh:
Cách tính y'(x) trực tiếp:
y = x⁴ + 2x² + 1
y'(x) = 4x³ + 4x
Cách tính y'(u)·u'(x):
- y = u² ⟹ y'(u) = 2u = 2(x² + 1)
- u = x² + 1 ⟹ u'(x) = 2x
y'(u)·u'(x) = 2(x² + 1)·2x = 4x(x² + 1) = 4x³ + 4x
So sánh: y'(x) = y'(u)·u'(x) = 4x³ + 4x ✓
Cách 2 — Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp
a) y = (u(x))² = (x² + 1)²
b) Theo quy tắc đạo hàm hàm số hợp: y'ₓ = y'ᵤ·u'ₓ
- y'ᵤ = (u²)' = 2u
- u'ₓ = (x² + 1)' = 2x
Vậy: y'ₓ = 2u·2x = 2(x² + 1)·2x = 4x³ + 4x
Kiểm tra bằng cách khai triển và đạo hàm trực tiếp:
y = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1
y' = 4x³ + 4x ✓
Kết luận: y'(x) = y'(u)·u'(x), xác nhận quy tắc đạo hàm hàm số hợp.
💡 Mẹo nhớ: Đạo hàm hàm hợp = "Đạo hàm ngoài × Đạo hàm trong" (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)
🎯 Ghi nhớ
- Đạo hàm tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
- Đạo hàm tích: (uv)' = u'v + uv'
- Đạo hàm thương: (u/v)' = (u'v − uv')/v² (v ≠ 0)
- Đạo hàm hàm hợp: y'ₓ = y'ᵤ·u'ₓ hay [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)
- Hằng số nhân: (ku)' = ku'
⚠️ Lưu ý thi: Các công thức này là nền tảng cho toàn bộ phần đạo hàm. Cần nắm vững và áp dụng thành thạo, đặc biệt là đạo hàm hàm hợp - dạng hay gặp trong đề thi!