Giải Toán tập 2 trang 92

🔍 Kiến thức cần nhớ

Đạo hàm của hàm số lũy thừa và căn thức

• (u^n)' = n × u^(n-1) × u'
• (√u)' = u' / (2√u)

Đạo hàm của hàm số lượng giác

• (sin u)' = u' × cos u
• (cos u)' = -u' × sin u
• (tan u)' = u' / cos²u
• (cot u)' = -u' / sin²u

Giới hạn cơ bản

• lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e
• lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
• lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 2

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

• a) y = (2x - 3)^10
• b) y = √(1 - x²)

---

Câu a) y = (2x - 3)^10

Cách 1 — Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp

Bước 1: Đặt u = 2x - 3, khi đó y = u^10

Bước 2: Tính đạo hàm

• u' = (2x - 3)' = 2
• Áp dụng công thức: (u^n)' = n × u^(n-1) × u'

Bước 3: Thay vào công thức

y' = 10 × (2x - 3)^9 × 2 = 20(2x - 3)^9

Cách 2 — Trình bày gọn

y' = [(2x - 3)^10]' = 10(2x - 3)^9 × (2x - 3)' = 10(2x - 3)^9 × 2 = 20(2x - 3)^9

💡 Mẹo nhớ: Với (ax + b)^n, đạo hàm là n × a × (ax + b)^(n-1)

---

Câu b) y = √(1 - x²)

Cách 1 — Áp dụng công thức đạo hàm căn thức

Bước 1: Đặt u = 1 - x², khi đó y = √u

Bước 2: Tính đạo hàm

• u' = (1 - x²)' = -2x
• Áp dụng công thức: (√u)' = u' / (2√u)

Bước 3: Thay vào công thức

y' = (-2x) / (2√(1 - x²)) = -x / √(1 - x²)

Cách 2 — Trình bày gọn

y' = (1 - x²)' / (2√(1 - x²)) = -2x / (2√(1 - x²)) = -x / √(1 - x²)

⚠️ Lưu ý: Điều kiện xác định: 1 - x² > 0, tức -1 < x < 1

---

Luyện tập 3

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(π/3 - 3x)

---

Cách 1 — Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp

Bước 1: Đặt u = π/3 - 3x, khi đó y = sin u

Bước 2: Tính đạo hàm

• u' = (π/3 - 3x)' = -3
• Áp dụng công thức: (sin u)' = u' × cos u

Bước 3: Thay vào công thức

y' = (-3) × cos(π/3 - 3x) = -3cos(π/3 - 3x)

Cách 2 — Trình bày gọn

y' = (π/3 - 3x)' × cos(π/3 - 3x) = -3 × cos(π/3 - 3x) = -3cos(π/3 - 3x)

💡 Mẹo nhớ: (sin(ax + b))' = a × cos(ax + b)

---

Luyện tập 4

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = 2cos(π/4 - 2x)

---

Cách 1 — Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp

Bước 1: Đặt u = π/4 - 2x, khi đó y = 2cos u

Bước 2: Tính đạo hàm

• u' = (π/4 - 2x)' = -2
• Áp dụng công thức: (cos u)' = -u' × sin u

Bước 3: Thay vào công thức

y' = 2 × [-(−2)] × sin(π/4 - 2x) = 2 × 2 × sin(π/4 - 2x) = 4sin(π/4 - 2x)

Cách 2 — Trình bày gọn

y' = 2 × [-(π/4 - 2x)'] × sin(π/4 - 2x) = 2 × (-(-2)) × sin(π/4 - 2x) = 4sin(π/4 - 2x)

💡 Mẹo nhớ: (cos(ax + b))' = -a × sin(ax + b)

---

Luyện tập 5

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = 2tan²x + 3cot(π/3 - 2x)

---

Cách 1 — Tính từng phần riêng biệt

Phần 1: Tính đạo hàm của 2tan²x

• Đặt u = tan x, khi đó 2tan²x = 2u²
• (2u²)' = 4u × u' = 4tan x × (tan x)'
• (tan x)' = 1/cos²x
• Vậy: (2tan²x)' = 4tan x / cos²x = 4tan x / cos²x

Phần 2: Tính đạo hàm của 3cot(π/3 - 2x)

• Đặt v = π/3 - 2x, khi đó có 3cot v
• v' = -2
• (cot v)' = -v' / sin²v = -(-2) / sin²(π/3 - 2x) = 2 / sin²(π/3 - 2x)
• Vậy: [3cot(π/3 - 2x)]' = 3 × 2 / sin²(π/3 - 2x) = 6 / sin²(π/3 - 2x)

Kết quả:

y' = 4tan x / cos²x + 6 / sin²(π/3 - 2x)

Cách 2 — Biến đổi sử dụng công thức

Với phần 2tan²x, ta có thể viết lại:

• 4tan x / cos²x = 4sin x / cos³x

Kết quả cuối cùng:

y' = 4tan x / cos²x + 6 / sin²(π/3 - 2x)

⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài kết hợp nhiều hàm lượng giác, cần tính cẩn thận từng phần.

---

Vận dụng 1

Đề bài: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos(2πt - π/8) (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

---

Cách 1 — Tính đạo hàm rồi thay giá trị

Bước 1: Tính vận tốc (đạo hàm của quãng đường theo thời gian)

• v(t) = s'(t)
• s(t) = 4cos(2πt - π/8)

Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm

• Đặt u = 2πt - π/8
• u' = 2π
• (cos u)' = -u' × sin u

Bước 3: Tính đạo hàm

v(t) = s'(t) = 4 × (-(2π)) × sin(2πt - π/8) = -8π × sin(2πt - π/8)

Bước 4: Thay t = 5 vào

v(5) = -8π × sin(2π × 5 - π/8)

v(5) = -8π × sin(10π - π/8)

v(5) = -8π × sin(-π/8) [vì sin(10π - π/8) = sin(-π/8) do sin(10π + α) = sin α]
v(5) = -8π × (-sin(π/8))
v(5) = 8π × sin(π/8)

Bước 5: Tính giá trị số

• sin(π/8) = sin(22,5°) ≈ 0,3827
• v(5) = 8 × 3,14159 × 0,3827 ≈ 9,6 (m/s)

Kết quả: v(5) ≈ 9,6 m/s

Cách 2 — Sử dụng máy tính

Bước 1: Tính đạo hàm như trên: v(t) = -8π × sin(2πt - π/8)

Bước 2: Dùng máy tính (chế độ Radian)

• Nhập: -8 × π × sin(2 × π × 5 - π/8)
• Kết quả: ≈ 9,6

Kết quả: v(5) ≈ 9,6 m/s

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Chuyển sang chế độ Radian: SHIFT → MENU → 2 - Bấm: (-) 8 × SHIFT π × sin(2 × SHIFT π × 5 - SHIFT π ÷ 8) =

⚠️ Lưu ý thi: Vận tốc = đạo hàm của quãng đường. Nhớ chuyển máy tính sang chế độ Radian khi tính toán với đơn vị góc là radian.

---

HĐ8 (Hoạt động 8)

Đề bài: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = 1/x, tìm giới hạn lim(x→0) (1 + x)^(1/x)

b) Với y = (1 + x)^(1/x), tính ln y và tìm giới hạn của lim(x→0) ln y

c) Đặt t = e^x - 1. Tính x theo t và tìm giới hạn lim(x→0) (e^x - 1)/x

---

Câu a)

Cách 1 — Đổi biến

Bước 1: Đặt t = 1/x, khi x → 0 thì t → ∞

Bước 2: Khi đó x = 1/t, nên:

(1 + x)^(1/x) = (1 + 1/t)^t

Bước 3: Áp dụng giới hạn đặc biệt

lim(t→∞) (1 + 1/t)^t = e

Kết quả: lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e

---

Câu b)

Cách 1 — Sử dụng logarit

Bước 1: Đặt y = (1 + x)^(1/x)

Bước 2: Lấy logarit tự nhiên hai vế

ln y = (1/x) × ln(1 + x) = ln(1 + x)/x

Bước 3: Tìm giới hạn

lim(x→0) ln y = lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1 (giới hạn cơ bản)

Kết quả: lim(x→0) ln y = 1

💡 Mẹo nhớ: lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1 là giới hạn cơ bản quan trọng

---

Câu c)

Cách 1 — Đổi biến

Bước 1: Đặt t = e^x - 1, khi x → 0 thì t → 0

Bước 2: Từ t = e^x - 1, suy ra e^x = t + 1, nên x = ln(t + 1)

Bước 3: Thay vào biểu thức

(e^x - 1)/x = t/ln(t + 1)

Bước 4: Tìm giới hạn

lim(x→0) (e^x - 1)/x = lim(t→0) t/ln(t + 1) = lim(t→0) 1/(ln(t + 1)/t) = 1/1 = 1

Kết quả: lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1

---

🎯 Ghi nhớ: