Giải Toán tập 2 trang 94
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 94–95
Tóm tắt lý thuyết
Đạo hàm của hàm số mũ:
$$(e^x)' = e^x \qquad (a^x)' = a^x \ln a$$
Với hàm hợp $u = u(x)$:
$$(e^u)' = e^u \cdot u' \qquad (a^u)' = a^u \cdot u' \cdot \ln a$$
Đạo hàm của hàm số lôgarit:
$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$$
Với hàm hợp $u = u(x)$:
$$(\ln u)' = \frac{u'}{u} \qquad (\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$$
Chú ý: $(\ln|x|)' = \dfrac{1}{x}, \ \forall x \neq 0$.
Luyện tập 6: Tính đạo hàm
a) $y = e^{x^2 - x}$
Áp dụng $(e^u)' = e^u \cdot u'$ với $u = x^2 - x$:
$$y' = e^{x^2-x} \cdot (x^2 - x)' = (2x - 1)\,e^{x^2 - x}$$
b) $y = 3^{\sin x}$
Áp dụng $(a^u)' = a^u \cdot u' \cdot \ln a$ với $u = \sin x$:
$$y' = 3^{\sin x} \cdot (\sin x)' \cdot \ln 3 = 3^{\sin x} \cdot \cos x \cdot \ln 3$$
Luyện tập 7: Tính đạo hàm $y = \log_2(2x - 1)$
Áp dụng $(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}$ với $u = 2x - 1$, $a = 2$:
$$y' = \frac{(2x-1)'}{(2x-1)\ln 2} = \frac{2}{(2x-1)\ln 2}$$
Vận dụng 2: Tốc độ thay đổi của pH
Ta có $\text{pH} = -\log[H^+]$. Đặt $x = [H^+]$, thì $\text{pH} = -\log x$.
Tốc độ thay đổi của pH theo $[H^+]$ là đạo hàm:
$$\frac{d(\text{pH})}{dx} = -(\log x)' = -\frac{1}{x \ln 10}$$
Vậy tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ $[H^+]$ là:
$$\boxed{\;-\frac{1}{[H^+]\,\ln 10}\;}$$
Dấu âm cho thấy khi nồng độ $[H^+]$ tăng thì pH giảm (dung dịch axit hơn).
BÀI TẬP
Bài 9.6: Tính đạo hàm
a) $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$
$$y' = 3x^2 - 6x + 2$$
b) $y = x^2 - 4\sqrt{x} + 3$
Nhớ $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$:
$$y' = 2x - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}$$
Bài 9.7: Tính đạo hàm
a) $y = \dfrac{2x - 1}{x + 2}$
Dùng công thức thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$:
$$y' = \frac{2(x+2) - (2x-1)\cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$$
b) $y = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
$$y' = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2}$$
Bài 9.8: Tính đạo hàm
a) $y = x\sin^2 x$
Dùng quy tắc tích, với $(\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x$:
$$y' = \sin^2 x + x \cdot \sin 2x$$
b) $y = \cos^2 x + \sin 2x$
$(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -\sin 2x$, còn $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$:
$$y' = -\sin 2x + 2\cos 2x$$
c) $y = \sin 3x - 3\sin x$
$$y' = 3\cos 3x - 3\cos x$$
d) $y = \tan x + \cot x$
Nhớ $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$, $(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$:
$$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$$
Bài 9.9: Tính đạo hàm
a) $y = 2^{3x - x^2}$
Áp dụng $(a^u)' = a^u \cdot u' \cdot \ln a$ với $u = 3x - x^2$:
$$y' = 2^{3x - x^2} \cdot (3 - 2x) \cdot \ln 2$$
b) $y = \log_3(4x + 1)$
Áp dụng $(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u\ln a}$:
$$y' = \frac{4}{(4x+1)\ln 3}$$
Bài 9.10: Chứng minh $|f'(x)| \le 6$
Cho $f(x) = 2\sin^2\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Dùng công thức hạ bậc $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$:
$$f(x) = 1 - \cos\!\left(6x - \frac{\pi}{2}\right)$$
Đạo hàm:
$$f'(x) = -\left[-\sin\!\left(6x - \frac{\pi}{2}\right)\right] \cdot 6 = 6\sin\!\left(6x - \frac{\pi}{2}\right)$$
Vì $\left|\sin\!\left(6x - \dfrac{\pi}{2}\right)\right| \le 1$ với mọi $x$, nên:
$$|f'(x)| = 6\left|\sin\!\left(6x - \frac{\pi}{2}\right)\right| \le 6 \quad \forall x. \qquad \blacksquare$$
Bài 9.11: Vật rơi tự do
Phương trình độ cao: $h(t) = 100 - 4{,}9t^2$ (mét, giây).
Vận tốc là đạo hàm của độ cao:
$$v(t) = h'(t) = -9{,}8\,t \ \text{(m/s)}$$
a) Tại $t = 5$ giây:
$$v(5) = -9{,}8 \times 5 = -49 \ \text{(m/s)}$$
Tốc độ là 49 m/s (dấu âm vì vật đi xuống).
b) Khi vật chạm đất, $h(t) = 0$:
$$100 - 4{,}9t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{100}{4{,}9} \Rightarrow t = \frac{10}{\sqrt{4{,}9}} \approx 4{,}52 \ \text{(s)}$$
Vận tốc lúc chạm đất:
$$v \approx -9{,}8 \times 4{,}52 \approx -44{,}3 \ \text{(m/s)}$$
Vậy tốc độ vật chạm đất khoảng $44{,}3$ m/s.
Bài 9.12: Chuyển động của hạt trên dây rung
Cho $s(t) = 12 + 0{,}5\sin(4\pi t)$ (cm, giây).
Vận tốc là đạo hàm:
$$v(t) = s'(t) = 0{,}5 \cdot \cos(4\pi t) \cdot 4\pi = 2\pi\cos(4\pi t) \ \text{(cm/s)}$$
Vì $\cos(4\pi t)$ nhận giá trị lớn nhất là $1$, nên vận tốc cực đại:
$$v_{\max} = 2\pi \approx 6{,}28 \ \text{(cm/s)}$$
Vận tốc cực đại của hạt là $2\pi$ cm/s (khoảng $6{,}28$ cm/s).
Em lưu ý hai điểm dễ sai: với hàm mũ $a^x$ phải nhân thêm $\ln a$, còn với lôgarit $\log_a$ phải chia cho $\ln a$. Cần ôn thêm bài nào cứ nói cô nhé!