Giải Toán tập 2 trang 96
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 96–97
🔍 Kiến thức cần nhớ
Đạo hàm cấp hai
- Định nghĩa: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b), và hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm tại x, thì đạo hàm của y' được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x.
- Ký hiệu: y'' hoặc f''(x)
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
- Nếu chuyển động có phương trình s = f(t) thì:
- Vận tốc tức thời: v(t) = f'(t)
- Gia tốc tức thời: a(t) = v'(t) = f''(t)
Các công thức đạo hàm cần nhớ
- (e^u)' = u' × e^u
- (sin u)' = u' × cos u
- (cos u)' = -u' × sin u
- (ln u)' = u'/u
- (tan u)' = u'/cos²u
- (x^n)' = n × x^(n-1)
⚙️ Bài tập
HĐ1. Nhận biết đạo hàm cấp hai của một hàm số
Đề bài:
a) Gọi g(x) là đạo hàm của hàm số y = sin(2x + π/4). Tìm g(x).
b) Tính đạo hàm của hàm số y = g(x).
Cách 1 — Phương pháp áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp
Câu a) Tìm g(x) = y'
Ta có: y = sin(2x + π/4)
Đặt u = 2x + π/4 ⟹ u' = 2
Áp dụng công thức (sin u)' = u' × cos u:
g(x) = y' = 2 × cos(2x + π/4)
Câu b) Tính đạo hàm của y = g(x) = 2cos(2x + π/4)
Đặt u = 2x + π/4 ⟹ u' = 2
Áp dụng công thức (cos u)' = -u' × sin u:
y'' = g'(x) = 2 × (-2) × sin(2x + π/4)
y'' = -4sin(2x + π/4)
Cách 2 — Phương pháp tính trực tiếp liên tục
y = sin(2x + π/4)
y' = (2x + π/4)' × cos(2x + π/4) = 2cos(2x + π/4)
y'' = 2 × (2x + π/4)' × (-sin(2x + π/4)) = 2 × 2 × (-sin(2x + π/4))
y'' = -4sin(2x + π/4)
💡 Mẹo nhớ: Đạo hàm cấp hai của sin → -sin (nhân thêm hệ số), đạo hàm cấp hai của cos → -cos
HĐ2. Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đề bài: Xét một chuyển động có phương trình s = 4cos(2πt).
a) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Câu a) Tìm vận tốc tức thời v(t) = s'(t)
s = 4cos(2πt)
Đặt u = 2πt ⟹ u' = 2π
v(t) = s'(t) = 4 × (-sin(2πt)) × 2π
v(t) = -8π × sin(2πt)
Câu b) Tìm gia tốc tức thời a(t) = v'(t) = s''(t)
v(t) = -8π × sin(2πt)
a(t) = v'(t) = -8π × cos(2πt) × 2π
a(t) = -16π² × cos(2πt)
Cách 2 — Nhận dạng nhanh dao động điều hòa
Với hàm dạng s = A × cos(ωt + φ):
- v(t) = -Aω × sin(ωt + φ)
- a(t) = -Aω² × cos(ωt + φ)
Ở đây: A = 4, ω = 2π, φ = 0
⟹ v(t) = -4 × 2π × sin(2πt) = -8π × sin(2πt)
⟹ a(t) = -4 × (2π)² × cos(2πt) = -16π² × cos(2πt)
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài dao động điều hòa rất hay gặp. Nhớ công thức tổng quát để tính nhanh!
Luyện tập 1
Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = x × e^(2x)
b) y = ln(2x + 3)
Câu a) y = x × e^(2x)
Cách 1 — Áp dụng công thức đạo hàm tích
Bước 1: Tính y'
Áp dụng công thức (u × v)' = u' × v + u × v'
Với u = x ⟹ u' = 1
Với v = e^(2x) ⟹ v' = 2e^(2x)
y' = 1 × e^(2x) + x × 2e^(2x)
y' = e^(2x) + 2x × e^(2x)
y' = e^(2x)(1 + 2x)
Bước 2: Tính y''
y'' = [e^(2x)(1 + 2x)]'
Áp dụng công thức đạo hàm tích:
y'' = (e^(2x))' × (1 + 2x) + e^(2x) × (1 + 2x)'
y'' = 2e^(2x) × (1 + 2x) + e^(2x) × 2
y'' = 2e^(2x)(1 + 2x) + 2e^(2x)
y'' = 2e^(2x)(1 + 2x + 1)
y'' = 2e^(2x)(2 + 2x) = 4e^(2x)(1 + x)
Cách 2 — Rút gọn từng bước
y' = e^(2x) + 2xe^(2x) = e^(2x)(1 + 2x)
y'' = [e^(2x)]' × (1 + 2x) + e^(2x) × 2
y'' = 2e^(2x)(1 + 2x) + 2e^(2x)
y'' = 2e^(2x)[(1 + 2x) + 1]
y'' = 4e^(2x)(x + 1)
Câu b) y = ln(2x + 3)
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Tính y'
y' = (2x + 3)'/(2x + 3) = 2/(2x + 3)
Bước 2: Tính y''
y' = 2(2x + 3)^(-1)
y'' = 2 × (-1) × (2x + 3)^(-2) × (2x + 3)'
y'' = -2 × (2x + 3)^(-2) × 2
y'' = -4/(2x + 3)²
Cách 2 — Dùng công thức đạo hàm thương
y' = 2/(2x + 3)
Áp dụng (u/v)' = (u'v - uv')/v²:
y'' = [0 × (2x + 3) - 2 × 2]/(2x + 3)²
y'' = -4/(2x + 3)²
💡 Mẹo nhớ: Đạo hàm của 1/u luôn có dạng -u'/u²
Vận dụng
Đề bài: Một vật chuyển động thẳng có phương trình s = 2t² + (1/2)t⁴ (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.
Cách 1 — Phương pháp tính tuần tự
Bước 1: Tính vận tốc v(t) = s'(t)
s = 2t² + (1/2)t⁴
s' = v(t) = 2 × 2t + (1/2) × 4t³
v(t) = 4t + 2t³
Bước 2: Tính gia tốc a(t) = v'(t) = s''(t)
a(t) = 4 + 2 × 3t²
a(t) = 4 + 6t²
Bước 3: Tính a(4)
a(4) = 4 + 6 × 4²
a(4) = 4 + 6 × 16
a(4) = 4 + 96
a(4) = 100 (m/s²)
Cách 2 — Công thức tổng quát
Với s = at^n: s'' = a × n × (n-1) × t^(n-2)
s = 2t² + (1/2)t⁴
s'' = 2 × 2 × 1 × t⁰ + (1/2) × 4 × 3 × t²
s'' = 4 + 6t²
Tại t = 4: a(4) = 4 + 6 × 16 = 100 (m/s²)
💡 Mẹo bấm máy: Trên Casio fx-580VN X, dùng chức năng CALC: Nhập: d/dx(d/dx(2X² + 0.5X⁴)) | X=4 Hoặc nhập trực tiếp: 4 + 6 × 4² =
Bài 9.13
Đề bài: Cho hàm số f(x) = x² × e^x. Tính f''(0).
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (đạo hàm tích)
Bước 1: Tính f'(x)
f(x) = x² × e^x
Áp dụng (u × v)' = u'v + uv':
f'(x) = (x²)' × e^x + x² × (e^x)'
f'(x) = 2x × e^x + x² × e^x
f'(x) = e^x(2x + x²) = e^x × x(2 + x)
Bước 2: Tính f''(x)
f'(x) = e^x(x² + 2x)
f''(x) = (e^x)' × (x² + 2x) + e^x × (x² + 2x)'
f''(x) = e^x × (x² + 2x) + e^x × (2x + 2)
f''(x) = e^x[(x² + 2x) + (2x + 2)]
f''(x) = e^x(x² + 4x + 2)
Bước 3: Tính f''(0)
f''(0) = e⁰ × (0 + 0 + 2)
f''(0) = 1 × 2
f''(0) = 2
Cách 2 — Rút gọn nhanh
f(x) = x²e^x
f'(x) = (2x + x²)e^x
f''(x) = (2 + 2x)e^x + (2x + x²)e^x = (x² + 4x + 2)e^x
f''(0) = (0 + 0 + 2) × 1 = 2
💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng d/dx trên máy tính: Bấm: MENU → 1 → d/dx → nhập d/dx(X²×e^X) → CALC → X=0 để được f'(0) Sau đó lấy đạo hàm lần nữa hoặc tính trực tiếp f''(0)
Bài 9.14
Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = ln(x + 1)
b) y = tan(2x)
Câu a) y = ln(x + 1)
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Tính y'
y' = (x + 1)'/(x + 1) = 1/(x + 1)
Bước 2: Tính y''
Viết lại: y' = (x + 1)^(-1)
y'' = (-1) × (x + 1)^(-2) × (x + 1)'
y'' = -1 × (x + 1)^(-2) × 1
y'' = -1/(x + 1)²
Cách 2 — Dùng công thức (1/u)' = -u'/u²
y' = 1/(x + 1)
y'' = -(x + 1)'/(x + 1)² = -1/(x + 1)²
y'' = -1/(x + 1)²
Câu b) y = tan(2x)
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Tính y'
y' = (2x)'/cos²(2x) = 2/cos²(2x)
Viết lại: y' = 2 × cos^(-2)(2x) = 2 × [cos(2x)]^(-2)
Bước 2: Tính y''
Áp dụng đạo hàm hàm hợp:
y'' = 2 × (-2) × [cos(2x)]^(-3) × [cos(2x)]'
y'' = -4 × [cos(2x)]^(-3) × (-sin(2x)) × 2
y'' = -4 × [cos(2x)]^(-3) × (-2sin(2x))
y'' = 8sin(2x)/cos³(2x)
y'' = 8sin(2x)/cos³(2x) hoặc y'' = 8tan(2x)/cos²(2x)
Cách 2 — Sử dụng đẳng thức lượng giác
y' = 2/cos²(2x) = 2sec²(2x)
Ta biết: (sec²u)' = 2secu × secu × tanu × u' = 2sec²u × tanu × u'
y'' = 2 × 2sec²(2x) × tan(2x) × 2 = 8sec²(2x)tan(2x)
y'' = 8tan(2x)/cos²(2x) = 8sin(2x)/cos³(2x)
⚠️ Lưu ý thi: Có thể viết đáp án dưới nhiều dạng tương đương: - y'' = 8sin(2x)/cos³(2x) - y'' = 8tan(2x) × sec²(2x) - y'' = 8tan(2x)/cos²(2x)
Bài 9.15
Đề bài: Cho hàm số P(x) = ax² + bx + 3 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P'(1) = 0 và P''(1) = -2.
Cách 1 — Phương pháp lập hệ phương trình
Bước 1: Tính P'(x) và P''(x)
P(x) = ax² + bx + 3
P'(x) = 2ax + b
P''(x) = 2a
Bước 2: Lập hệ phương trình từ điều kiện
Từ P''(1) = -2:
2a = -2
a = -1
Từ P'(1) = 0:
2a × 1 + b = 0
2 × (-1) + b = 0
-2 + b = 0
b = 2
Kết luận: a = -1, b = 2
Cách 2 — Nhận xét nhanh
Vì P(x) là đa thức bậc 2 nên P''(x) = 2a là hằng số.
⟹ P''(1) = 2a = -2 ⟹ a = -1
Thay vào P'(1) = 0:
2(-1)(1) + b = 0 ⟹ b = 2
💡 Mẹo nhớ: Với đa thức bậc n, đạo hàm cấp n là hằng số = n! × hệ số bậc cao nhất
Bài 9.16
Đề bài: Cho hàm số f(x) = 2sin²(x + π/4). Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.
Cách 1 — Phương pháp hạ bậc trước khi đạo hàm
Bước 1: Hạ bậc hàm số
Sử dụng công thức: sin²u = (1 - cos2u)/2
f(x) = 2sin²(x + π/4) = 2 × [1 - cos(2x + π/2)]/2
f(x) = 1 - cos(2x + π/2)
Mà cos(2x + π/2) = -sin(2x)
⟹ f(x) = 1 + sin(2x)
Bước 2: Tính f'(x) và f''(x)
f'(x) = 2cos(2x)
f''(x) = 2 × (-2sin(2x)) = -4sin(2x)
Bước 3: Chứng minh |f''(x)| ≤ 4
Ta có: -1 ≤ sin(2x) ≤ 1 với mọi x
⟹ -4 ≤ -4sin(2x) ≤ 4
⟹ |f''(x)| = |-4sin(2x)| = 4|sin(2x)| ≤ 4
Điều phải chứng minh.
Cách 2 — Tính đạo hàm trực tiếp
Bước 1: Tính f'(x)
f(x) = 2sin²(x + π/4)
f'(x) = 2 × 2sin(x + π/4) × cos(x + π/4) × 1
f'(x) = 4sin(x + π/4)cos(x + π/4)
f'(x) = 2sin(2x + π/2) = 2cos(2x)
Bước 2: Tính f''(x)
f''(x) = 2 × (-sin(2x)) × 2 = -4sin(2x)
Bước 3: Kết luận
Vì |sin(2x)| ≤ 1 ⟹ |f''(x)| = 4|sin(2x)| ≤ 4 ∎
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài chứng minh bất đẳng thức với đạo hàm thường dùng tính bị chặn của hàm sin, cos.
Bài 9.17
Đề bài: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) = 10 + 0,5sin(2πt + π/5), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Cách 1 — Phương pháp tính tuần tự
Bước 1: Tính vận tốc v(t) = s'(t)
s(t) = 10 + 0,5sin(2πt + π/5)
v(t) = s'(t) = 0 + 0,5 × cos(2πt + π/5) × 2π
v(t) = π × cos(2πt + π/5)
Bước 2: Tính gia tốc a(t) = v'(t) = s''(t)
a(t) = v'(t) = π × (-sin(2πt + π/5)) × 2π
a(t) = -2π² × sin(2πt + π/5)
Bước 3: Tính a(5)
a(5) = -2π² × sin(2π × 5 + π/5)
a(5) = -2π² × sin(10π + π/5)
a(5) = -2π² × sin(π/5)
Tính giá trị số:
- π² ≈ 9,8696
- sin(π/5) = sin(36°) ≈ 0,5878
a(5) = -2 × 9,8696 × 0,5878
a(5) ≈ -11,6
a(5) ≈ -11,6 (cm/s²)
Cách 2 — Áp dụng công thức dao động điều hòa
Với s(t) = s₀ + A × sin(ωt + φ):
- a(t) = -Aω² × sin(ωt + φ)
Ở đây: A = 0,5; ω = 2π; φ = π/5
a(t) = -0,5 × (2π)² × sin(2πt + π/5)
a(t) = -2π² × sin(2πt + π/5)
Tại t = 5:
a(5) = -2π² × sin(10π + π/5) = -2π² × sin(π/5)
a(5) = -2 × 9,8696 × 0,5878 ≈ -11,6 (cm/s²)
💡 Mẹo bấm máy: Trên Casio fx-580VN X: - Chuyển sang chế độ Radian: SHIFT → SETUP → 2 (Rad) - Bấm: -2 × π² × sin(π/5) = - Kết quả: -11,60... ≈ -11,6
⚠️ Lưu ý thi: - sin(10π + π/5) = sin(π/5) vì sin có chu kỳ 2π - Nhớ chuyển máy tính sang chế độ Radian khi tính với π
🎯 Ghi nhớ
- Đạo hàm cấp hai y'' = (y')' — đạo hàm của đạo hàm cấp một
- Ý nghĩa cơ học:
- Vận tốc: v(t) = s'(t)
- Gia tốc: a(t) = v'(t) = s''(t)
- Công thức quan trọng với dao động điều hòa:
- s = Acos(ωt + φ) ⟹ a = -Aω²cos(ωt + φ)
- s = Asin(ωt + φ) ⟹ a = -Aω²sin(ωt + φ)
- Khi tính đạo hàm hàm lượng giác bậc 2: Nên hạ bậc trước để tính toán đơn giản hơn
- Đạo hàm tích: Nhớ áp dụng (uv)' = u'v + uv' hai lần khi tính đạo hàm cấp hai