Giải Toán tập 2 trang 98
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 98–99
🔍 Kiến thức cần nhớ
Các công thức đạo hàm cơ bản:
- (u + v)' = u' + v'
- (uv)' = u'v + uv'
- (u/v)' = (u'v - uv')/v²
- (x^n)' = nx^(n-1)
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (e^x)' = e^x
- (ln x)' = 1/x
- (√u)' = u'/(2√u)
Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f(u) với u = g(x) thì y' = f'(u) × u'
⚙️ Bài tập
A – TRẮC NGHIỆM
Câu 9.18
Đề bài: Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?
- A. (u + v)' = u' - v'
- B. (uv)' = u'v + uv'
- C. (1/v)' = -1/v²
- D. (u/v)' = (u'v + uv')/v²
Cách 1 — Kiểm tra từng đáp án
Đáp án A: (u + v)' = u' + v' (không phải u' - v') → Sai
Đáp án B: (uv)' = u'v + uv' → Đây là công thức đạo hàm tích → Đúng
Đáp án C: (1/v)' = (0×v - 1×v')/v² = -v'/v² (không phải -1/v²) → Sai
Đáp án D: (u/v)' = (u'v - uv')/v² (không phải u'v + uv') → Sai
🎯 Đáp án: B
Cách 2 — Nhớ công thức chuẩn
Công thức đạo hàm tích: (uv)' = u'v + uv' là công thức chuẩn trong SGK.
💡 Mẹo nhớ: "Đạo hàm tích = đạo hàm thứ nhất × thứ hai + thứ nhất × đạo hàm thứ hai"
Câu 9.19
Đề bài: Cho hàm số f(x) = x² + sin³x. Khi đó f'(π/2) bằng
- A. π
- B. 2π
- C. π + 3
- D. π - 3
Cách 1 — Tính đạo hàm trực tiếp
Bước 1: Tính f'(x)
- f(x) = x² + sin³x = x² + (sin x)³
- f'(x) = 2x + 3sin²x × (sin x)' = 2x + 3sin²x × cos x
Bước 2: Thay x = π/2
- sin(π/2) = 1
- cos(π/2) = 0
f'(π/2) = 2 × (π/2) + 3 × 1² × 0 = π + 0 = π
🎯 Đáp án: A
Cách 2 — Đạo hàm hàm hợp
Đặt u = sin x, ta có sin³x = u³
- (u³)' = 3u² × u' = 3sin²x × cos x
Tại x = π/2: cos(π/2) = 0 nên phần sin³x có đạo hàm bằng 0.
Chỉ còn: f'(π/2) = 2 × (π/2) = π
⚠️ Lưu ý thi: Khi cos hoặc sin bằng 0, nhiều số hạng triệt tiêu!
Câu 9.20
Đề bài: Cho hàm số f(x) = (1/3)x³ - x² - 3x + 1. Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) ≤ 0 là
- A. [1; 3]
- B. [-1; 3]
- C. [-3; 1]
- D. [-3; -1]
Cách 1 — Giải bất phương trình bậc hai
Bước 1: Tính f'(x)
f'(x) = x² - 2x - 3
Bước 2: Giải f'(x) ≤ 0
x² - 2x - 3 ≤ 0
Giải phương trình: x² - 2x - 3 = 0
- Δ = 4 + 12 = 16
- x₁ = (2 - 4)/2 = -1
- x₂ = (2 + 4)/2 = 3
Bước 3: Xét dấu tam thức
Hệ số a = 1 > 0, tam thức âm trong khoảng giữa hai nghiệm.
Vậy f'(x) ≤ 0 khi x ∈ [-1; 3]
🎯 Đáp án: B
Cách 2 — Nhẩm nghiệm
x² - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)
(x + 1)(x - 3) ≤ 0 khi -1 ≤ x ≤ 3
💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X: MODE → TABLE → nhập x² - 2x - 3 → xem dấu
Câu 9.21
Đề bài: Cho hàm số f(x) = √(4 + 3u(x)) với u(1) = 7, u'(1) = 10. Khi đó f'(1) bằng
- A. 1
- B. 6
- C. 3
- D. -3
Cách 1 — Đạo hàm hàm hợp
Bước 1: Đặt t = 4 + 3u(x), thì f(x) = √t
Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp
f'(x) = (1/(2√t)) × t' = (1/(2√(4 + 3u(x)))) × 3u'(x)
f'(x) = 3u'(x) / (2√(4 + 3u(x)))
Bước 3: Thay x = 1
- u(1) = 7 → 4 + 3×7 = 25
- √25 = 5
- u'(1) = 10
f'(1) = (3 × 10) / (2 × 5) = 30/10 = 3
🎯 Đáp án: C
Cách 2 — Công thức tổng quát
(√g(x))' = g'(x) / (2√g(x))
Với g(x) = 4 + 3u(x): g'(x) = 3u'(x)
f'(1) = 3u'(1) / (2√(4 + 3u(1))) = 30 / (2×5) = 3
Câu 9.22
Đề bài: Cho hàm số f(x) = x²e^(-2x). Tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là
- A. {0; 1}
- B. {-1; 0}
- C. {0}
- D. {1}
Cách 1 — Đạo hàm tích
Bước 1: Tính f'(x) bằng công thức đạo hàm tích
f(x) = x² × e^(-2x)
f'(x) = (x²)' × e^(-2x) + x² × (e^(-2x))'
f'(x) = 2x × e^(-2x) + x² × (-2)e^(-2x)
f'(x) = 2x × e^(-2x) - 2x² × e^(-2x)
f'(x) = 2xe^(-2x)(1 - x)
Bước 2: Giải f'(x) = 0
2xe^(-2x)(1 - x) = 0
Vì e^(-2x) > 0 với mọi x, nên:
- 2x = 0 → x = 0
- 1 - x = 0 → x = 1
Tập nghiệm: {0; 1}
🎯 Đáp án: A
Cách 2 — Rút gọn nhanh
f'(x) = e^(-2x) × [2x - 2x²] = 2xe^(-2x)(1 - x)
Do e^(-2x) ≠ 0 nên x = 0 hoặc x = 1
⚠️ Lưu ý thi: e^(ax) luôn dương, không bao giờ bằng 0!
Câu 9.23
Đề bài: Chuyển động của một vật có phương trình s(t) = sin(0,8πt + π/3), ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?
- A. 4,5 cm/s²
- B. 5,5 cm/s²
- C. 6,3 cm/s²
- D. 7,1 cm/s²
Cách 1 — Tính vận tốc và gia tốc
Bước 1: Tính vận tốc v(t) = s'(t)
s(t) = sin(0,8πt + π/3)
v(t) = s'(t) = 0,8π × cos(0,8πt + π/3)
Bước 2: Tính gia tốc a(t) = v'(t)
a(t) = v'(t) = 0,8π × (-0,8π) × sin(0,8πt + π/3)
a(t) = -0,64π² × sin(0,8πt + π/3)
Bước 3: Tìm thời điểm v(t) = 0
v(t) = 0 khi cos(0,8πt + π/3) = 0
→ 0,8πt + π/3 = π/2 + kπ (k ∈ ℤ)
→ sin(0,8πt + π/3) = ±1
Bước 4: Tính |a(t)| khi v = 0
|a(t)| = 0,64π² × |sin(0,8πt + π/3)| = 0,64π² × 1 = 0,64π²
Bước 5: Tính giá trị số
|a| = 0,64 × π² ≈ 0,64 × 9,8696 ≈ 6,317 cm/s²
🎯 Đáp án: C (6,3 cm/s²)
Cách 2 — Nhận xét dao động điều hòa
Với dao động s = A×sin(ωt + φ):
- v = Aω×cos(ωt + φ)
- a = -Aω²×sin(ωt + φ)
Khi v = 0 thì |sin| = 1, nên |a|_max = Aω² = 1 × (0,8π)² = 0,64π² ≈ 6,3
💡 Mẹo bấm máy: 0.64 × π² = SHIFT → π → x² → × → 0.64 → =
Câu 9.24
Đề bài: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 4x - 1 có đồ thị là (C). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị (C) là
- A. 1
- B. 2
- C. -1
- D. 3
Cách 1 — Tìm GTNN của đạo hàm
Bước 1: Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ là y'(x₀)
y' = 3x² - 6x + 4
Bước 2: Tìm GTNN của f(x) = 3x² - 6x + 4
Đây là parabol bậc hai với a = 3 > 0, đạt GTNN tại đỉnh.
x_đỉnh = -b/(2a) = 6/(2×3) = 1
Bước 3: Tính giá trị nhỏ nhất
y'(1) = 3×1² - 6×1 + 4 = 3 - 6 + 4 = 1
🎯 Đáp án: A
Cách 2 — Công thức GTNN parabol
GTNN của ax² + bx + c (a > 0) là: -Δ/(4a)
Với 3x² - 6x + 4:
- Δ = 36 - 48 = -12
- GTNN = -(-12)/(4×3) = 12/12 = 1
⚠️ Lưu ý thi: Hệ số góc nhỏ nhất ⟺ GTNN của y'
B – TỰ LUẬN
Câu 9.25
Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ((2x - 1)/(x + 2))⁵
Cách 1 — Đạo hàm hàm hợp
Bước 1: Đặt u = (2x - 1)/(x + 2), thì y = u⁵
Bước 2: Tính u'
u' = ((2x - 1)'(x + 2) - (2x - 1)(x + 2)') / (x + 2)²
u' = (2(x + 2) - (2x - 1)×1) / (x + 2)²
u' = (2x + 4 - 2x + 1) / (x + 2)²
u' = 5/(x + 2)²
Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp
y' = 5u⁴ × u' = 5 × ((2x - 1)/(x + 2))⁴ × 5/(x + 2)²
y' = 25(2x - 1)⁴/(x + 2)⁶
Cách 2 — Viết gọn
y' = 5 × ((2x-1)/(x+2))⁴ × ((2x-1)/(x+2))'
= 5 × (2x-1)⁴/(x+2)⁴ × 5/(x+2)²
= 25(2x - 1)⁴/(x + 2)⁶
b) y = 2x/(x² + 1)
Cách 1 — Công thức đạo hàm thương
y' = ((2x)'(x² + 1) - 2x(x² + 1)') / (x² + 1)²
y' = (2(x² + 1) - 2x × 2x) / (x² + 1)²
y' = (2x² + 2 - 4x²) / (x² + 1)²
y' = (2 - 2x²)/(x² + 1)² = 2(1 - x²)/(x² + 1)²
Cách 2 — Rút gọn trước
y' = (2(x² + 1) - 2x × 2x) / (x² + 1)²
= 2(x² + 1 - 2x²) / (x² + 1)²
= 2(1 - x²)/(x² + 1)²
c) y = e^x × sin²x
Cách 1 — Đạo hàm tích kết hợp hàm hợp
y' = (e^x)' × sin²x + e^x × (sin²x)'
Tính (sin²x)':
(sin²x)' = 2sin x × cos x = sin 2x
Thay vào:
y' = e^x × sin²x + e^x × sin 2x
y' = e^x(sin²x + sin 2x)
Cách 2 — Dùng công thức nhân đôi
sin²x = (1 - cos 2x)/2
y = e^x × (1 - cos 2x)/2
y' = (1/2)[e^x(1 - cos 2x) + e^x × 2sin 2x]
y' = (e^x/2)(1 - cos 2x + 2sin 2x)
Hoặc giữ dạng: y' = e^x(sin²x + sin 2x)
d) y = log(x + √x)
Cách 1 — Đạo hàm hàm hợp (log cơ số 10)
Bước 1: Công thức: (log u)' = u'/(u × ln 10)
Bước 2: Đặt u = x + √x = x + x^(1/2)
u' = 1 + (1/2)x^(-1/2) = 1 + 1/(2√x) = (2√x + 1)/(2√x)
Bước 3: Áp dụng công thức
y' = u'/(u × ln 10)
y' = [(2√x + 1)/(2√x)] / [(x + √x) × ln 10]
Bước 4: Rút gọn
x + √x = √x(√x + 1)
y' = (2√x + 1) / [2√x × √x(√x + 1) × ln 10]
y' = (2√x + 1) / [2x(√x + 1) × ln 10]
y' = (2√x + 1) / [2x(√x + 1) ln 10]
Cách 2 — Đơn giản hóa
y' = (1 + 1/(2√x)) / ((x + √x) ln 10)
= (2√x + 1)/(2√x) / (√x(√x + 1) ln 10)
= (2√x + 1) / (2x(√x + 1) ln 10)
Câu 9.26
Đề bài: Xét hàm số lũy thừa y = x^α với α là số thực.
a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
b) Bằng cách viết y = x^α = e^(α ln x), tính đạo hàm của hàm số đã cho.
a) Tìm tập xác định
Cách 1 — Phân loại theo α
Trường hợp 1: α ∈ ℤ⁺ (số nguyên dương)
- TXĐ: D = ℝ
Trường hợp 2: α ∈ ℤ⁻ (số nguyên âm)
- TXĐ: D = ℝ \ {0}
Trường hợp 3: α ∉ ℤ (không nguyên)
- TXĐ: D = (0; +∞)
Tổng quát cho α là số thực bất kỳ:
- TXĐ: D = (0; +∞) (vì ln x xác định khi x > 0)
Cách 2 — Dùng biểu diễn mũ
Vì x^α = e^(α ln x), mà ln x chỉ xác định khi x > 0
→ D = (0; +∞)
b) Tính đạo hàm
Cách 1 — Dùng đạo hàm hàm hợp
y = e^(α ln x)
Đặt u = α ln x → u' = α/x
y' = e^u × u' = e^(α ln x) × (α/x)
y' = x^α × α/x = αx^α/x = αx^(α-1)
y' = αx^(α-1)
Cách 2 — Công thức tổng quát
Từ công thức (x^n)' = nx^(n-1), mở rộng cho số thực:
(x^α)' = αx^(α-1) với x > 0
💡 Mẹo nhớ: Công thức này giống hệt trường hợp n nguyên, chỉ cần x > 0
Câu 9.27
Đề bài: Cho hàm số f(x) = √(3x + 1). Đặt g(x) = f(1) + 4(x² - 1)f'(1). Tính g(2).
Cách 1 — Tính từng thành phần
Bước 1: Tính f(1)
f(1) = √(3×1 + 1) = √4 = 2
Bước 2: Tính f'(x)
f(x) = √(3x + 1) = (3x + 1)^(1/2)
f'(x) = (1/2)(3x + 1)^(-1/2) × 3 = 3/(2√(3x + 1))
Bước 3: Tính f'(1)
f'(1) = 3/(2√4) = 3/4
Bước 4: Tính g(x)
g(x) = f(1) + 4(x² - 1)f'(1) = 2 + 4(x² - 1) × (3/4)
g(x) = 2 + 3(x² - 1)
Bước 5: Tính g(2)
g(2) = 2 + 3(4 - 1) = 2 + 9 = 11
Cách 2 — Tính trực tiếp
g(2) = f(1) + 4(2² - 1)f'(1) = 2 + 4×3×(3/4) = 2 + 9 = 11
Câu 9.28
Đề bài: Cho hàm số f(x) = (x + 1)/(x - 1). Tính f''(1).
Cách 1 — Tính đạo hàm cấp hai
Bước 1: Tính f'(x)
f'(x) = ((x + 1)'(x - 1) - (x + 1)(x - 1)') / (x - 1)²
f'(x) = (1×(x - 1) - (x + 1)×1) / (x - 1)²
f'(x) = (x - 1 - x - 1) / (x - 1)²
f'(x) = -2/(x - 1)²
f'(x) = -2(x - 1)^(-2)
Bước 2: Tính f''(x)
f''(x) = -2 × (-2)(x - 1)^(-3) × 1
f''(x) = 4(x - 1)^(-3) = 4/(x - 1)³
Bước 3: Nhận xét
f''(1) không xác định vì mẫu số = 0 khi x = 1.
⚠️ Kết luận: f''(1) không xác định (x = 1 không thuộc TXĐ)
Cách 2 — Kiểm tra TXĐ trước
TXĐ của f(x): D = ℝ \ {1}
Do x = 1 không thuộc TXĐ nên f''(1) không tồn tại.
Câu 9.29
Đề bài: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2 và f'(x) = x²f(x) với mọi x. Tính f''(1).
Cách 1 — Đạo hàm hai vế
Bước 1: Từ f'(x) = x²f(x), đạo hàm hai vế theo x
f''(x) = (x²)'f(x) + x²f'(x)
f''(x) = 2xf(x) + x²f'(x)
Bước 2: Tính f'(1)
f'(1) = 1² × f(1) = 1 × 2 = 2
Bước 3: Tính f''(1)
f''(1) = 2×1×f(1) + 1²×f'(1)
f''(1) = 2×2 + 1×2
f''(1) = 4 + 2 = 6
Cách 2 — Thay trực tiếp
f''(x) = 2xf(x) + x²f'(x) = 2xf(x) + x² × x²f(x) = f(x)(2x + x⁴)
f''(1) = f(1)(2×1 + 1⁴) = 2 × 3 = 6
Câu 9.30
Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ + 3x² - 1 tại điểm có hoành độ bằng 1.
Cách 1 — Công thức tiếp tuyến
Bước 1: Tính y₀ = f(1)
y₀ = 1³ + 3×1² - 1 = 1 + 3 - 1 = 3
Điểm tiếp xúc: M(1; 3)
Bước 2: Tính y'(x)
y' = 3x² + 6x
Bước 3: Tính hệ số góc k = y'(1)
k = 3×1² + 6×1 = 9
Bước 4: Viết PTTT
y - y₀ = k(x - x₀)
y - 3 = 9(x - 1)
y = 9x - 9 + 3
Phương trình tiếp tuyến: y = 9x - 6
Cách 2 — Gọn hơn
PTTT tại x₀ = 1: y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 9(x - 1) + 3 = 9x - 6
💡 Mẹo nhớ: PTTT: y = y'(x₀)(x - x₀) + y₀
Câu 9.31
Đề bài: Đồ thị của hàm số y = a/x (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.
Cách 1 — Chứng minh tổng quát
Bước 1: Xét điểm M(x₀; y₀) trên đường hypebol
- y₀ = a/x₀
Bước 2: Tính đạo hàm
y = a/x = ax^(-1)
y' = -a/x²
Bước 3: Hệ số góc tiếp tuyến tại M
k = y'(x₀) = -a/x₀²
Bước 4: Phương trình tiếp tuyến tại M
y - y₀ = k(x - x₀)
y - a/x₀ = (-a/x₀²)(x - x₀)
y = -ax/x₀² + a/x₀ + a/x₀
y = -ax/x₀² + 2a/x₀
Bước 5: Tìm giao điểm với các trục
Giao với trục Ox (y = 0):
0 =