Giải Toán tập 2 trang 100

Hai trang này thuộc phần Hoạt động thực hành trải nghiệm với chủ đề "Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit". Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải đầy đủ các bài Vận dụng nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Mô hình tăng trưởng/suy thoái cấp mũ: nhiều hiện tượng tự nhiên tuân theo
$$A(t) = A_0 e^{kt}$$

• $A_0$: lượng ban đầu (khi $t = 0$)
• $k \ne 0$: hằng số. Nếu $k > 0$ thì tăng trưởng, $k < 0$ thì suy thoái.

Thang đo lôgarit: khi đại lượng thay đổi trong phạm vi rất lớn, người ta lấy lôgarit thập phân để dễ quản lí. Ba ví dụ:

• Thang pH: $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]$. pH = 7 trung tính, < 7 có acid, > 7 là base.
• Thang Richter: $M = \log\dfrac{I}{S}$.
• Thang decibel (đo âm thanh).

---

Vận dụng 1: Ước tính dân số

Đề: Năm 2020 dân số thế giới khoảng 7 795 triệu người, tỉ lệ tăng dân số 1,05% mỗi năm. Nếu tỉ lệ này giữ nguyên, ước tính dân số thế giới năm 2050 (làm tròn đến hàng triệu).

Lời giải:

Từ 2020 đến 2050 là $t = 30$ năm. Mỗi năm dân số tăng 1,05%, nên:

$$A = A_0(1 + 0{,}0105)^{30} = 7795 \cdot (1{,}0105)^{30}$$

Tính:
$$(1{,}0105)^{30} = e^{30\ln 1{,}0105} \approx e^{0{,}3133} \approx 1{,}368$$
$$A \approx 7795 \cdot 1{,}368 \approx 10\,663 \text{ (triệu người)}$$

Đáp số: Dân số thế giới năm 2050 ước tính khoảng 10 663 triệu người (hơn 10,6 tỉ người).

Nếu dùng mô hình mũ liên tục $A = A_0 e^{0{,}0105 \cdot 30}$ thì kết quả khoảng 10 681 triệu người – cũng xấp xỉ như trên.

---

Vận dụng 2: Ước tính thời đại của các công cụ cổ đại

Đề: Dấu vết của gỗ bị đốt cháy còn chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu. Biết chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm, ước tính thời gian cây bị chặt và đốt.

Lời giải:

Lượng carbon-14 còn lại sau thời gian $t$ tuân theo công thức bán rã:
$$A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}$$

Theo đề $A(t) = 1{,}67\% \cdot A_0 = 0{,}0167 A_0$, nên:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}} = 0{,}0167$$

Lấy lôgarit hai vế:
$$\frac{t}{5730} = \log_{\frac{1}{2}} 0{,}0167 = \frac{\ln 0{,}0167}{\ln 0{,}5} = \frac{-4{,}092}{-0{,}693} \approx 5{,}905$$
$$t \approx 5{,}905 \cdot 5730 \approx 33\,834 \text{ (năm)}$$

Đáp số: Cây bị chặt và đốt cách đây khoảng 33 800 năm.

---

Vận dụng 3: Tính độ pH

Đề: Nồng độ ion hydrogen của nước chanh là $[\mathrm{H}^+] = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{M}$. Tính độ pH của nước chanh và cho biết nó có tính acid hay base.

Lời giải:

Áp dụng công thức $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]$:

$$\mathrm{pH} = -\log\left(5{,}0 \cdot 10^{-3}\right) = -\left(\log 5 + \log 10^{-3}\right)$$

$$= -\left(0{,}699 - 3\right) = 2{,}301 \approx 2{,}3$$

Vì $\mathrm{pH} \approx 2{,}3 < 7$ nên nước chanh có tính acid.

Đáp số: pH ≈ 2,3, nước chanh có tính acid.

---