Giải Toán tập 2 trang 14

Tóm tắt lý thuyết

Số e và lôgarit tự nhiên

• Từ bài toán lãi kép liên tục, khi chia kì tính lãi càng nhỏ ($m \to +\infty$), ta gặp giới hạn:

$$e = \lim_{x \to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \approx 2{,}7183.$$
$e$ là một số vô tỉ.

• Công thức lãi kép liên tục: với vốn ban đầu $P$, lãi suất năm $r$, sau $t$ năm số tiền là

$$A = P e^{rt}.$$

• Lôgarit tự nhiên: lôgarit cơ số $e$ của số dương $M$, kí hiệu $\ln M$ (đọc là lôgarit Nêpe của $M$).

• Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay: dùng phím log, ln, hoặc log▢ (lôgarit cơ số bất kì).

---

Ví dụ 6: Thời gian tăng gấp đôi vốn

Đề: Thời gian (theo năm) để tăng gấp đôi số tiền đầu tư theo lãi kép liên tục, lãi suất $r$ là $t = \dfrac{\ln 2}{r}$. Tính thời gian để tăng gấp đôi khoản đầu tư khi $r = 6\%$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có $r = 6\% = 0{,}06$, nên
$$t = \frac{\ln 2}{r} = \frac{\ln 2}{0{,}06} \approx 11{,}6 \ (\text{năm}).$$

---

Ví dụ 7: Bài toán mở đầu (bác An)

Đề: Bác An gửi 100 triệu, lãi suất 6%/năm, kì hạn 12 tháng. Hỏi sau bao lâu thu được ít nhất 150 triệu?

Lời giải:

Số tiền sau $n$ năm:
$$A = 100\cdot(1+0{,}06)^n = 100\cdot 1{,}06^n.$$

Với $A = 150$:
$$100\cdot 1{,}06^n = 150 \;\Rightarrow\; 1{,}06^n = 1{,}5 \;\Rightarrow\; n = \log_{1{,}06} 1{,}5 \approx 6{,}96.$$

Vì gửi kì hạn 12 tháng nên $n$ phải nguyên, do đó chọn $n = 7$.

Vậy sau ít nhất 7 năm bác An nhận được ít nhất 150 triệu đồng.

---

Vận dụng: Cô Hương gửi 100 triệu, lãi suất 6%/năm

Câu a) Số tiền thu được sau 1 năm theo từng thể thức

Dùng công thức $A = 100\left(1+\dfrac{0{,}06}{n}\right)^{n}$ với $n$ là số kì tính lãi trong 1 năm.

Nhận xét: kì tính lãi càng nhỏ thì số tiền thu được càng lớn, nhưng chênh lệch rất nhỏ.

Câu b) Thời gian để thu được 150 triệu (lãi kép liên tục)

Dùng $A = 100\cdot e^{0{,}06t}$, cho $A = 150$:
$$100\cdot e^{0{,}06t} = 150 \;\Rightarrow\; e^{0{,}06t} = 1{,}5 \;\Rightarrow\; 0{,}06t = \ln 1{,}5.$$
$$t = \frac{\ln 1{,}5}{0{,}06} \approx \frac{0{,}4055}{0{,}06} \approx 6{,}8 \ (\text{năm}).$$

Vậy cần khoảng 6,8 năm.

---

Bài 6.9: Tính

a) $\log_2 2^{-13}$

$$\log_2 2^{-13} = -13.$$
(Dùng $\log_a a^x = x$.)

b) $\ln e^{\sqrt 2}$

$$\ln e^{\sqrt 2} = \sqrt 2.$$
(Vì $\ln$ là lôgarit cơ số $e$.)

c) $\log_8 16 - \log_8 2$

$$\log_8 16 - \log_8 2 = \log_8 \frac{16}{2} = \log_8 8 = 1.$$

d) $\log_2 6 \cdot \log_6 8$

Dùng công thức đổi cơ số $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:
$$\log_2 6 \cdot \log_6 8 = \log_2 8 = 3.$$

---

Bài 6.10: Viết thành lôgarit của một biểu thức

a) $A = \ln\dfrac{x}{x-1} + \ln\dfrac{x+1}{x} - \ln(x^2-1)$

Gộp hai lôgarit đầu (tổng thành tích):

$$A = \ln\left(\frac{x}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x}\right) - \ln(x^2-1) = \ln\frac{x+1}{x-1} - \ln(x^2-1).$$

Hiệu thành thương, chú ý $x^2-1=(x-1)(x+1)$:
$$A = \ln\frac{\dfrac{x+1}{x-1}}{(x-1)(x+1)} = \ln\frac{x+1}{(x-1)(x-1)(x+1)} = \ln\frac{1}{(x-1)^2}.$$

Vậy
$$\boxed{A = \ln\frac{1}{(x-1)^2} = -2\ln(x-1).}$$

b) $B = 2\log_3 \sqrt[3]{x} + \log_3(9x^2) - \log_3 9$

(Mình đọc hệ số đầu là $2$.)

Biến đổi từng hạng tử:

• $2\log_3 \sqrt[3]{x} = 2\log_3 x^{1/3} = \dfrac{2}{3}\log_3 x$
• $\log_3(9x^2) = \log_3 9 + \log_3 x^2 = 2 + 2\log_3 x$
• $-\log_3 9 = -2$

Cộng lại:

$$B = \frac{2}{3}\log_3 x + 2 + 2\log_3 x - 2 = \left(\frac{2}{3}+2\right)\log_3 x = \frac{8}{3}\log_3 x.$$

Vậy
$$\boxed{B = \frac{8}{3}\log_3 x = \log_3 x^{8/3} = \log_3 \sqrt[3]{x^8}.}$$

Nếu chữ số đầu thực ra không phải là $2$, em gửi mình xem lại nét chữ giúp nhé, mình sẽ tính lại ngay.