Giải Toán tập 2 trang 106

Đây là phần BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM – mục A (Trắc nghiệm). Dưới đây là lời giải chi tiết từng câu.

Bài 1: Công thức lượng giác sai

Đề: Khẳng định nào sau đây là sai?

Công thức cộng đúng phải là $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ (dấu trừ).

Đáp án A ghi dấu cộng nên sai. B, C, D đều đúng.

Đáp án: A

Bài 2: Chu kì hàm lượng giác

Đề: Khẳng định nào đúng?

• $y=\sin x$, $y=\cos x$ tuần hoàn chu kì $2\pi$.
• $y=\tan x$, $y=\cot x$ tuần hoàn chu kì $\pi$.

Vậy chỉ có B đúng.

Đáp án: B

Bài 3: Số hạng dãy số

Đề: $u_n=5^n$, tính $u_{2n}$.

$$u_{2n}=5^{2n}=(5^2)^n=25^n$$

Đáp án: B

Bài 4: Dãy số tăng

Đề: Dãy nào là dãy tăng?

• A. $\frac{1}{n^2+1}$ giảm.
• B. $2^{-n}$ giảm.
• C. $\log_{1/2} n$ giảm (cơ số < 1).
• D. $\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$ tăng dần.

Đáp án: D

Bài 5: Giới hạn sai

Đề: Khẳng định nào sai?

Mệnh đề C: "Nếu $|q|\le 1$ thì $\lim q^n=0$" là sai, vì khi $q=1$ thì $q^n=1\not\to 0$. Điều kiện đúng phải là $|q|<1$.

Đáp án: C

Bài 6: Hàm không liên tục trên ℝ

Đề: Hàm nào không liên tục trên $\mathbb{R}$?

$y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại xác định và liên tục khắp $\mathbb{R}$.

Đáp án: A

Bài 7: Giá trị biểu thức logarit

Đề: Với $0

• $\log_a\!\big(a^3\cdot a^{1/4}\big)=\log_a a^{13/4}=\dfrac{13}{4}$
• $\big(a^{1/3}\big)^{\log_a 8}=a^{\frac{1}{3}\log_a 8}=a^{\log_a 8^{1/3}}=8^{1/3}=2$

Tổng: $\dfrac{13}{4}+2=\dfrac{21}{4}$.

Đáp án: C

Bài 8: So sánh cơ số ba hàm số mũ

Đề: Cho đồ thị $y=a^x,\;y=b^x,\;y=c^x$. So sánh $a,b,c$.

Đường $y=b^x$ đi xuống (nghịch biến) nên $01$; đường $y=c^x$ dốc hơn (gần trục tung hơn) nên $c>a$.

Vậy $c>a>b$.

Đáp án: C

Bài 9: Đạo hàm cấp hai

Đề: $f(x)=\sin^2 x+xe^{2x}$, tính $f''(0)$.

• $\sin^2 x$: đạo hàm 1 là $\sin 2x$, đạo hàm 2 là $2\cos 2x \Rightarrow$ tại 0 bằng $2$.
• $xe^{2x}$: $f'=e^{2x}(1+2x)$, $f''=e^{2x}(4+4x)\Rightarrow$ tại 0 bằng $4$.

$$f''(0)=2+4=6$$

Đáp án: C

Bài 10: Phương trình tiếp tuyến

Đề: $y=-2x^3+6x^2-5$ tại $M(3;-5)$.

$y'=-6x^2+12x \Rightarrow y'(3)=-54+36=-18$.

Tiếp tuyến: $y=-18(x-3)-5=-18x+49$.

Đáp án: D

Bài 11: Khoảng cách điểm đến mặt phẳng

Đề: Chóp $S.ABC$, đáy đều cạnh $a$, $SA\perp(ABC)$, $SA=a\sqrt2$. Tính $d(A,(SBC))$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Vì $BC\perp AM$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp(SAM)$. Trong tam giác vuông $SAM$, kẻ $AH\perp SM$ thì $AH=d(A,(SBC))$.

$$AH=\frac{SA\cdot AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\frac{a\sqrt2\cdot \frac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{2a^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{\frac{a^2\sqrt6}{2}}{\frac{a\sqrt{11}}{2}}=\frac{a\sqrt6}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}$$

Đáp án: B

Bài 12: Thể tích lớn nhất hình hộp

Đề: Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ đáy chữ nhật, $AC=AA'=2a$. Tìm thể tích lớn nhất.

Đáy có đường chéo $AC=2a$: gọi hai cạnh $x,y$ thì $x^2+y^2=4a^2$, diện tích $S=xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}=2a^2$ (dấu bằng khi $x=y$).

Chiều cao $\le AA'=2a$ (lớn nhất khi $AA'\perp$ đáy).

$$V_{\max}=2a^2\cdot 2a=4a^3$$

Đáp án: C

Bài 13: Thể tích khối chóp B.CMND

Đề: Tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, $M,N$ trung điểm $AC,AD$. Tính $V_{B.CMND}$.

Thể tích tứ diện đều: $V_{ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.

Tứ giác $CMND$ nằm trong mặt $(ACD)$, bằng tam giác $ACD$ trừ tam giác $AMN$. Vì $M,N$ là trung điểm nên $S_{AMN}=\dfrac14 S_{ACD}$, suy ra $S_{CMND}=\dfrac34 S_{ACD}$.

$$V_{B.CMND}=\frac34 V_{B.ACD}=\frac34\cdot\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{a^3\sqrt2}{16}$$

Đáp án: B

Bài 14: Thể tích lăng trụ tam giác đều

Đề: $ABC.A'B'C'$, $AB=1$, $AA'=2$.

Diện tích đáy đều cạnh 1: $\dfrac{\sqrt3}{4}$. Chiều cao $2$.

$$V=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 2=\frac{\sqrt3}{2}$$

Đáp án: A

Bài 15: Khoảng cách hai đường thẳng trong lập phương

Đề: Lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $AC'=\sqrt3$. Tính $d(AB',BC')$.

Đường chéo $AC'=a\sqrt3=\sqrt3\Rightarrow a=1$.

Chọn tọa độ: $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),B'(1,0,1),C'(1,1,1)$.

• $\vec{AB'}=(1,0,1)$, $\vec{BC'}=(0,1,1)$
• $\vec{AB'}\times\vec{BC'}=(-1,-1,1)$, độ dài $\sqrt3$
• $\vec{AB}=(1,0,0)$

$$d=\frac{|\vec{AB}\cdot(-1,-1,1)|}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$$

Đáp án: B

Bài 16: Nhóm chứa trung vị

Đề: Dùng bảng ghép nhóm thu nhập. Tìm nhóm chứa trung vị.

Tổng $n=7+18+35+57+28=145$, $\dfrac{n}{2}=72{,}5$.

Tần số tích lũy: $7;\;25;\;60;\;117;\;145$. Giá trị $72{,}5$ rơi vào nhóm có tần số tích lũy vượt qua nó là $[15;20)$.

Đáp án: C

Bài 17: Nhóm chứa mốt

Đề: Tìm nhóm chứa mốt.

Tần số lớn nhất là $57$ ứng với nhóm $[15;20)$.

Đáp án: C

Bài 18: Xác suất đạt huy chương vàng

Đề: Mỗi lần bắn trúng vòng 10 xác suất $0{,}2$, bắn 2 lần độc lập, đạt HCV khi cả hai lần đều trúng vòng 10.

$$P=0{,}2\times 0{,}2=0{,}04$$

Đáp án: A

---