Giải Toán tập 2 trang 108

Bài 19: Xác suất gieo xúc xắc

Đề: Mỗi người gieo một con xúc xắc. Xác suất để số chấm trên cả hai con đều lớn hơn 1.

Với mỗi con, số chấm > 1 nghĩa là rơi vào {2,3,4,5,6}, có 5 khả năng:
$$P(>1) = \frac{5}{6}$$

Hai phép gieo độc lập:
$$P = \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Đáp án: B.

Bài 20: Xác suất giành giải thưởng

Đề: An giành giải với xác suất 0,8; Bình với 0,6 (độc lập). Tìm xác suất có ít nhất một bạn giành giải.

Dùng biến cố đối "không bạn nào giành giải":

$$P = 1 - (1-0,8)(1-0,6) = 1 - 0,2\cdot 0,4 = 1 - 0,08 = 0,92$$

Đáp án: C.

Bài 21: Rút gọn biểu thức

a) $A = \dfrac{1-2\sin^2 x}{1+\sin 2x} - \dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}$

• Tử số 1: $1-2\sin^2 x = \cos 2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$
• Mẫu số 1: $1+\sin 2x = (\sin x+\cos x)^2$

$$\frac{\cos 2x}{1+\sin 2x} = \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)^2} = \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}$$

$$\frac{1-\tan x}{1+\tan x} = \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}$$

Vậy $A = 0$.

b) $B = \dfrac{\sin 4x}{1+\cos 4x}\cdot\dfrac{\cos 2x}{1+\cos 2x} - \cot\!\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)$

• $\dfrac{\sin 4x}{1+\cos 4x} = \dfrac{2\sin 2x\cos 2x}{2\cos^2 2x} = \tan 2x$
• Nhân với $\dfrac{\cos 2x}{1+\cos 2x}$: $\ \tan 2x\cdot\dfrac{\cos 2x}{1+\cos 2x} = \dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x} = \dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} = \tan x$
• $\cot\!\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right) = \tan x$

Vậy $B = \tan x - \tan x = 0$.

c) $C = 2(\cos^4 x - \sin^4 x)\sin 2x$

$$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x) = \cos 2x$$
$$C = 2\cos 2x\sin 2x = \sin 4x$$

Bài 22: Trò chơi đu hội Lim

Cho $h = |d|$ với $d = 3\cos\!\left[\dfrac{\pi}{3}(2t-1)\right]$, $t\ge 0$.

a) Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi $h$ đạt giá trị lớn nhất.

$$h_{\max} = 3 \iff \cos\!\left[\tfrac{\pi}{3}(2t-1)\right] = \pm 1 \iff \tfrac{\pi}{3}(2t-1) = k\pi$$
$$\iff 2t-1 = 3k \iff t = \frac{3k+1}{2}$$

Với $t\in[0;2]$:

• $k=0 \Rightarrow t = 0,5$ giây
• $k=1 \Rightarrow t = 2$ giây

Vậy người chơi ở xa vị trí cân bằng nhất tại $t = 0,5$ s và $t = 2$ s.

b) Cách vị trí cân bằng 2 m, tức $h = 2$:

$$\left|3\cos\!\left[\tfrac{\pi}{3}(2t-1)\right]\right| = 2 \iff \cos\!\left[\tfrac{\pi}{3}(2t-1)\right] = \pm\frac{2}{3}$$

Đặt $u = \dfrac{\pi}{3}(2t-1)$. Khi $t\in[0;2]$ thì $u\in\left[-\dfrac{\pi}{3};\ \pi\right]$.

Giải trong khoảng này:

• $\cos u = \tfrac{2}{3}$: $u \approx \pm 0,8411$
• $\cos u = -\tfrac{2}{3}$: $u \approx 2,3005$ (giá trị $-2,3005$ nằm ngoài khoảng)

Đổi về $t$ qua $t = \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{3u}{\pi}+1\right)$:

Vậy $t \approx 0,10$ s; $0,90$ s; $1,60$ s.

Bài 23: Tìm công bội cấp số nhân

Đề: $u_1, u_4, u_7$ của cấp số nhân lần lượt là số hạng thứ 1, 2, 10 của một cấp số cộng công sai $d\neq 0$. Tìm $q$.

Cấp số nhân: $u_4 = u_1 q^3$, $u_7 = u_1 q^6$.

Cấp số cộng:

$$u_4 - u_1 = d \Rightarrow u_1(q^3-1) = d$$

$$u_7 - u_1 = 9d \Rightarrow u_1(q^6-1) = 9d$$

Chia hai vế (chú ý $d\neq 0$ nên $q^3\neq 1$):
$$\frac{q^6-1}{q^3-1} = 9 \iff q^3+1 = 9 \iff q^3 = 8 \iff q = 2$$

Bài 24: So sánh hai hợp đồng

Hợp đồng A (cấp số cộng): năm đầu 200, mỗi năm +10.
Hợp đồng B (cấp số nhân): năm đầu 180, mỗi năm +5%.

a) Hợp đồng A:

$$u_2 = 210,\quad u_3 = 220,\quad u_n = 200 + (n-1)\cdot 10 = 190 + 10n$$
Tổng 5 năm:

$$S_5 = \frac{5}{2}(2\cdot 200 + 4\cdot 10) = \frac{5}{2}\cdot 440 = 1100 \text{ (triệu đồng)}$$

b) Hợp đồng B:
$$v_2 = 189,\quad v_3 = 198,45,\quad v_n = 180\cdot(1,05)^{\,n-1}$$
Tổng 5 năm:

$$T_5 = 180\cdot\frac{1,05^5 - 1}{1,05 - 1} = 180\cdot\frac{0,2762815625}{0,05} \approx 994,61 \text{ (triệu đồng)}$$

c) Cần tìm $n$ nhỏ nhất để $v_n > u_n$:

$$180\cdot(1,05)^{n-1} > 190 + 10n$$

Thử các giá trị:

Vậy từ năm thứ 13 trở đi, lương hằng năm hợp đồng B vượt hợp đồng A.

Bài 25: Tính giới hạn

a) Tổng $1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2$:
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+2n+3} = 1$$

b) Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội $\dfrac{2}{3}$:
$$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots+\frac{2^n}{3^n}\right) = \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = 3$$

c) Phân tích nhân tử:
$$\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4} = \frac{(2x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x-1}{x-2}$$
$$\lim_{x\to -2}\frac{2x-1}{x-2} = \frac{-5}{-4} = \frac{5}{4}$$

d) Nhân lượng liên hợp:
$$\sqrt{4x^2+x+1}+2x = \frac{x+1}{\sqrt{4x^2+x+1}-2x}$$
Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x<0$ nên $\sqrt{4x^2+\dots}/x = -\sqrt{4+\dots}$):
$$= \frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-2} \xrightarrow{x\to-\infty} \frac{1}{-2-2} = -\frac{1}{4}$$

Bài 26: Tìm tham số m để hàm liên tục

a) Liên tục tại $x=-1$:
$$\lim_{x\to -1}\frac{x^2+4x+3}{x+1} = \lim_{x\to -1}\frac{(x+1)(x+3)}{x+1} = \lim_{x\to-1}(x+3) = 2$$
Cần $f(-1) = m^2 = 2 \Rightarrow m = \pm\sqrt{2}$.

b) Hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, chỉ cần xét tại $x=1$:

• Nhánh trái: $g(1) = 2\cdot 1 + m = 2+m$
• Nhánh phải: $\dfrac{x^3-x^2+2x-2}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x^2+2)}{x-1} = x^2+2 \xrightarrow{x\to 1^+} 3$

Cần $2+m = 3 \Rightarrow m = 1$.

Bài 27: Giải phương trình, bất phương trình

a) $3^{1/x} = 4 \iff \dfrac{1}{x} = \log_3 4 \iff x = \dfrac{1}{\log_3 4} = \log_4 3 \approx 0,79$

b) $2^{x^2-3x} = 4 = 2^2 \iff x^2-3x-2 = 0 \iff x = \dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}$

c) ĐK: $x>3$.
$$\log_4[(x+1)(x-3)] = 3 \iff (x+1)(x-3) = 64$$
$$x^2-2x-67 = 0 \iff x = 1\pm 2\sqrt{17}$$
Chỉ $x = 1+2\sqrt{17} \approx 9,25$ thỏa điều kiện.

d) Cơ số $\dfrac{1}{5}<1$ nên đổi chiều:
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2-2x} \ge \left(\frac{1}{5}\right)^3 \iff x^2-2x \le 3 \iff -1\le x\le 3$$

e) Vì $2-\sqrt 3 = (2+\sqrt 3)^{-1}$:
$$(2+\sqrt 3)^{-x} \le (2+\sqrt 3)^{x+2}$$
Cơ số $>1$: $-x \le x+2 \iff x \ge -1$.

f) ĐK: $x>0$. Hàm log đồng biến:
$$3x^2+1 > 4x \iff 3x^2-4x+1>0 \iff (3x-1)(x-1)>0$$
$$\iff x<\frac{1}{3}\ \text{hoặc}\ x>1$$
Kết hợp $x>0$: $\boxed{01}$.

Bài 28: Độ pH của dung dịch

Công thức $\text{pH} = -\log[H^+]$.

a) $[H^+] = 0,1 \Rightarrow \text{pH} = -\log 0,1 = 1$.

b) Khi $[H^+]$ giảm thì $\log[H^+]$ giảm, nên $-\log[H^+]$ tăng. Vậy độ pH tăng (dung dịch bớt tính acid, tăng tính bazơ).

c) $\text{pH} = 4,5 \Rightarrow \log[H^+] = -4,5 \Rightarrow [H^+] = 10^{-4,5} \approx 3,16\times 10^{-5}$ mol/lít.

Bài 29: Tính đạo hàm

a) $y = 3x^2 - 2\sqrt{x}$:

$$y' = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$$

b) $y = \sqrt{1+2x-x^2}$:
$$y' = \frac{2-2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$$

c) $y = \tan\dfrac{x}{2} - \cot\dfrac{x}{2}$:

$$y' = \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{2}{\sin^2 x}$$

d) $y = e^{e^x} + \ln x^2$:

$$y' = e^x\cdot e^{e^x} + \frac{2}{x}$$

Bài 30: Chuyển động của chất điểm

$s(t) = t^3 - 3t^2 - 9t + 2$, suy ra:

$$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t - 9,\qquad a(t) = v'(t) = 6t - 6$$

a) $v(2) = 3\cdot 4 - 12 - 9 = -9$ m/s.

b) $a(3) = 18 - 6 = 12$ m/s².

c) Vận tốc bằng 0: $3t^2-6t-9 = 0 \iff t^2-2t-3=0 \iff t=3$ (vì $t>0$).

$$a(3) = 6\cdot 3 - 6 = 12 \text{ m/s}^2$$

d) Gia tốc bằng 0: $6t-6 = 0 \iff t=1$.

$$v(1) = 3 - 6 - 9 = -12 \text{ m/s}$$

Em xem qua nhé, có chỗ nào cần mình giải thích kỹ hơn cứ hỏi nha!