Giải Toán tập 2 trang 110

Trang đầu (số 109 trong ảnh) chứa các bài tập ôn tập 31–38. Trang sau (số 110) là Bảng tra cứu thuật ngữ. Mình giải toàn bộ bài tập rồi tóm tắt trang tra cứu nhé.

Bài 31: Tứ diện OABC với các cạnh bằng nhau

Đề: Tứ diện $OABC$ có $OA=OB=OC=a$, $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=60^\circ$, $\widehat{BOC}=90^\circ$.

Phân tích các cạnh đáy:

• Tam giác $OAB$ có $OA=OB=a$, góc xen giữa $60^\circ$ → đều → $AB=a$. Tương tự $AC=a$.
• Tam giác $OBC$ vuông tại $O$: $BC=a\sqrt2$.
• Tam giác $ABC$: $AB^2+AC^2=2a^2=BC^2$ → vuông tại $A$.

a) Chứng minh $(OBC)\perp(ABC)$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

• Tam giác $OBC$ cân tại $O$ nên $OM\perp BC$.
• Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AM\perp BC$.

Vậy góc nhị diện cạnh $BC$ giữa hai mặt là $\widehat{OMA}$.

Tính: $OM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ (trung tuyến ứng cạnh huyền), $AM^2=AB^2-BM^2=a^2-\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}$.

Ta có $OM^2+AM^2=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}=a^2=OA^2$ → tam giác $OMA$ vuông tại $M$ → $\widehat{OMA}=90^\circ$.

Vậy $(OBC)\perp(ABC)$.

b) Khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ và thể tích $OABC$.

Chọn hệ tọa độ $O(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $A\left(\dfrac a2;\dfrac a2;\dfrac{a}{\sqrt2}\right)$.

Thể tích:
$$V=\frac16\left|\det(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC})\right|=\frac16\cdot\frac{a^3}{\sqrt2}=\boxed{\dfrac{a^3\sqrt2}{12}}$$

Diện tích $\triangle ABC$ (vuông tại $A$): $S=\dfrac12\cdot a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$.

Khoảng cách:
$$d(O,(ABC))=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot\frac{a^3\sqrt2}{12}}{\frac{a^2}{2}}=\boxed{\dfrac{a\sqrt2}{2}}$$

Bài 32: Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông

Đề: Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp(ABCD)$, $SA=a\sqrt2$. Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ vuông góc $SC$, cắt $SC,SB,SD$ tại $M,E,F$.

a) Chứng minh $AE\perp(SBC)$.

• $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ → $BC\perp(SAB)$ → $BC\perp AE$.
• $AE\subset(P)$ và $(P)\perp SC$ → $AE\perp SC$.

$AE$ vuông góc hai đường cắt nhau $BC,SC$ trong $(SBC)$ → $AE\perp(SBC)$.

b) Thể tích $S.ABCD$ và $S.AEMF$.

$$V_{S.ABCD}=\frac13\cdot SA\cdot S_{ABCD}=\frac13\cdot a\sqrt2\cdot a^2=\dfrac{a^3\sqrt2}{3}$$

Tính các tỉ số (dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông):

• $SC^2=SA^2+AC^2=2a^2+2a^2=4a^2 \Rightarrow SC=2a$; $SM=\dfrac{SA^2}{SC}=\dfrac{2a^2}{2a}=a \Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac12$.
• $SB^2=SA^2+AB^2=3a^2 \Rightarrow SB=a\sqrt3$; $SE=\dfrac{SA^2}{SB}=\dfrac{2a}{\sqrt3} \Rightarrow \dfrac{SE}{SB}=\dfrac23$.
• Tương tự $\dfrac{SF}{SD}=\dfrac23$.

Chia $S.AEMF$ thành hai tứ diện $S.AEM$ và $S.AMF$:
$$\frac{V_{S.AEM}}{V_{S.ABC}}=\frac{SE}{SB}\cdot\frac{SM}{SC}=\frac23\cdot\frac12=\frac13,\quad V_{S.ABC}=\frac12 V_{S.ABCD}=\frac{a^3\sqrt2}{6}$$

$$V_{S.AEM}=\frac13\cdot\frac{a^3\sqrt2}{6}=\frac{a^3\sqrt2}{18}$$

Theo đối xứng $V_{S.AMF}=\dfrac{a^3\sqrt2}{18}$. Vậy:
$$V_{S.AEMF}=\frac{a^3\sqrt2}{18}+\frac{a^3\sqrt2}{18}=\boxed{\dfrac{a^3\sqrt2}{9}}$$

Bài 33: Lăng trụ tam giác đều

Đề: Lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$, $AB=a$, $AA'=a\sqrt2$. $M,N$ là trung điểm $BB',CC'$. Mặt phẳng $(A'MN)$ cắt $AB,AC$ tại $H,K$.

a) Chứng minh $MN\parallel HK$.

$M,N$ là trung điểm $BB',CC'$ nên $MN\parallel BC$, mà $BC\subset(ABC)$ nên $MN\parallel(ABC)$.

$(A'MN)$ chứa $MN$ song song với $(ABC)$, cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $HK$ → $MN\parallel HK$.

b) Thể tích $A'.AHK$.

Đặt tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C\left(\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right)$, chiều cao $h=a\sqrt2$.
$A'(0;0;h)$, $M\left(a;0;\dfrac h2\right)$, $N\left(\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}{2};\dfrac h2\right)$.

Giao của $(A'MN)$ với mặt $z=0$ cho đường thẳng $\sqrt3\,x+y=2a\sqrt3$.

• Trên $AB$ $(y=0)$: $x=2a$ → $H(2a;0;0)$, tức $AH=2a$.
• Trên $AC$: giải được $K(a;a\sqrt3;0)$, tức $AK=2a$.

Diện tích $\triangle AHK$: $S=\dfrac12|2a\cdot a\sqrt3-0|=a^2\sqrt3$.

Chiều cao từ $A'$ xuống mặt $z=0$ là $h=a\sqrt2$.
$$V_{A'.AHK}=\frac13\cdot a^2\sqrt3\cdot a\sqrt2=\boxed{\dfrac{a^3\sqrt6}{3}}$$

Bài 34: Hình chóp đáy hình thoi

Đề: Đáy $ABCD$ hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60^\circ$, $SA\perp(ABCD)$, $SA=a$.

a) Chứng minh $BD\perp SC$.

• $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình thoi).
• $BD\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy).

Vậy $BD\perp(SAC)$, mà $SC\subset(SAC)$ → $BD\perp SC$.

b) Khoảng cách giữa $BD$ và $SC$.

Vì $BD\perp(SAC)$ tại tâm $O$ của hình thoi, khoảng cách giữa $BD$ và $SC$ bằng khoảng cách từ $O$ đến $SC$ trong mặt $(SAC)$.

Tính các đường chéo: với $\widehat{BAD}=60^\circ$ → $BD=a$, $AC=a\sqrt3$ → $AO=OC=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$ đặt $A(0;0)$, $C(a\sqrt3;0)$, $S(0;a)$, $O\left(\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right)$.

Đường $SC$: $x+\sqrt3\,y-a\sqrt3=0$.
$$d(O,SC)=\frac{\left|\frac{a\sqrt3}{2}-a\sqrt3\right|}{\sqrt{1+3}}=\frac{\frac{a\sqrt3}{2}}{2}=\boxed{\dfrac{a\sqrt3}{4}}$$

Bài 35: Hình chóp đáy hình chữ nhật

Đề: Đáy hình chữ nhật $AD=a$, $AB=a\sqrt2$, $SA\perp(ABCD)$, $SA=a\sqrt3$. $M$ trung điểm $CD$.

a) Chứng minh $BD\perp(SAM)$.

Đặt $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt2;0;0)$, $C(a\sqrt2;a;0)$, $D(0;a;0)$, $M\left(\dfrac{a\sqrt2}{2};a;0\right)$.

$\vec{BD}=(-a\sqrt2;a;0)$, $\vec{AM}=\left(\dfrac{a\sqrt2}{2};a;0\right)$.

$\vec{BD}\cdot\vec{AM}=-a\sqrt2\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2}+a\cdot a=-a^2+a^2=0$ → $BD\perp AM$.

Lại có $BD\perp SA$. Vậy $BD\perp(SAM)$.

b) Thể tích $S.ABMD$.

$ABMD$ là hình thang với $AB\parallel DM$, $AB=a\sqrt2$, $DM=\dfrac{a\sqrt2}{2}$, chiều cao $a$:
$$S_{ABMD}=\frac12\left(a\sqrt2+\frac{a\sqrt2}{2}\right)\cdot a=\frac{3a^2\sqrt2}{4}$$

$$V_{S.ABMD}=\frac13\cdot SA\cdot S_{ABMD}=\frac13\cdot a\sqrt3\cdot\frac{3a^2\sqrt2}{4}=\boxed{\dfrac{a^3\sqrt6}{4}}$$

Bài 36: Mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập

Đề: Doanh nghiệp hỗ trợ nhóm 25% hộ có thu nhập thấp nhất. Tìm mức thu nhập ngưỡng.

Bảng tần số tích lũy:

Tổng $n=158$. Ngưỡng hỗ trợ ứng với tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ (25% thấp nhất).

Vị trí $\dfrac n4=39{,}5$ rơi vào nhóm $[8;11)$ (vì tích lũy trước là 25, sau là 60).

$$Q_1=L+\frac{\frac n4-F}{f}\cdot h=8+\frac{39{,}5-25}{35}\cdot3=8+\frac{14{,}5\cdot3}{35}\approx 8+1{,}24$$

$$\boxed{Q_1\approx 9{,}24\text{ triệu đồng/tháng}}$$

Vậy hộ gia đình có thu nhập dưới khoảng 9,24 triệu đồng/tháng sẽ được hỗ trợ.

Bài 37: Xác suất đạt giải

Đề: $P(D)=0{,}85$ (Dũng), $P(C)=0{,}9$ (Cường), độc lập.

a) Có ít nhất một bạn đạt giải.
$$P=1-P(\bar D)P(\bar C)=1-0{,}15\cdot0{,}1=1-0{,}015=\boxed{0{,}985}$$

b) Có đúng một bạn đạt giải.
$$P=P(D)P(\bar C)+P(\bar D)P(C)=0{,}85\cdot0{,}1+0{,}15\cdot0{,}9=0{,}085+0{,}135=\boxed{0{,}22}$$

Bài 38: Xác suất hạ cánh an toàn

Đề: 4 động cơ (2 cánh phải, 2 cánh trái). Hạ cánh an toàn khi mỗi cánh có ít nhất 1 động cơ không lỗi. Cánh phải lỗi $0{,}01$/động cơ, cánh trái lỗi $0{,}015$/động cơ, độc lập.

Cánh phải (cần ít nhất 1 động cơ tốt):
$$P_P=1-0{,}01^2=1-0{,}0001=0{,}9999$$

Cánh trái:
$$P_T=1-0{,}015^2=1-0{,}000225=0{,}999775$$

Hai cánh độc lập, hạ cánh an toàn khi cả hai cánh đều ổn:
$$P=P_P\cdot P_T=0{,}9999\cdot0{,}999775\approx\boxed{0{,}99968}$$

Trang 110: Bảng tra cứu thuật ngữ

Trang này là phần index cuối sách, liệt kê các thuật ngữ theo bảng chữ cái kèm số trang. Một số nhóm tiêu biểu:

• B: Bất phương trình mũ/lôgarit, các loại biến cố (độc lập, giao, hợp, xung khắc).
• C: Căn bậc $n$, công thức cộng/nhân xác suất, cơ số luỹ thừa và lôgarit, chiều cao hình chóp/lăng trụ.
• Đ: Đạo hàm và đạo hàm cấp hai, đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
• G, H: Gia tốc tức thời, các loại góc trong không gian, hai mặt phẳng vuông góc, hàm số mũ/lôgarit/hợp.
• K: Các bài toán khoảng cách (điểm–đường, điểm–mặt, đường chéo nhau, mặt song song).
• L, M, P, S, T, V: Lãi kép, lôgarit các loại, mặt phẳng trung trực, phép chiếu vuông góc, phương trình tiếp tuyến, số $e$, thể tích các khối, vận tốc tức thời.

Đây là công cụ tra nhanh nội dung, không có bài tập cần giải.

Tổng kết: mình đã giải xong 8 bài (31–38) gồm hình học không gian, thống kê ghép nhóm và xác suất, cùng phần tóm tắt bảng tra cứu. Nếu em muốn mình vẽ hình minh họa cho các bài hình không gian thì nói nhé.