Giải Toán tập 2 trang 16

🔍 Kiến thức cần nhớ

Logarit và các tính chất

• Đổi cơ số: log_a(b) = 1/log_b(a)
• Công thức: log_a(M^k) = k × log_a(M)
• Logarit tích: log_a(b) × log_b(c) = log_a(c)
• Công thức áp suất: a = 15500(5 - log p)
• Công thức cường độ âm: L(I) = 10 × log(I/I₀), với I₀ = 10^(-12) W/m²

Hàm số mũ

• Hàm số y = a^x (a > 0, a ≠ 1) được gọi là hàm số mũ cơ số a
• Tập xác định: ℝ (mọi số thực x)

---

⚙️ Bài tập

---

Câu 6.11

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = log_(1/3)(5) + 2×log_9(25) - log_√5(1/5)

b) B = log_a(M²) + log_(a²)(M⁴)

---

Câu 6.11a

Đề bài: A = log_(1/3)(5) + 2×log_9(25) - log_√5(1/5)

Cách 1 — Đổi về cùng cơ số

Bước 1: Xử lý từng số hạng

• Số hạng 1: log_(1/3)(5)

• Ta có: 1/3 = 3^(-1)
• log_(1/3)(5) = log_(3^(-1))(5) = 1/(-1) × log_3(5) = -log_3(5)

• Số hạng 2: 2×log_9(25)

• Ta có: 9 = 3² và 25 = 5²
• log_9(25) = log_(3²)(5²) = (2/2) × log_3(5) = log_3(5)
• Vậy: 2×log_9(25) = 2×log_3(5)

• Số hạng 3: log_√5(1/5)

• Ta có: √5 = 5^(1/2) và 1/5 = 5^(-1)
• log_√5(1/5) = log_(5^(1/2))(5^(-1)) = (-1)/(1/2) = -2

Bước 2: Tính A

A = -log_3(5) + 2×log_3(5) - (-2)

A = -log_3(5) + 2×log_3(5) + 2

A = log_3(5) + 2

Đáp số: A = log_3(5) + 2

Cách 2 — Dùng công thức log_(a^m)(b^n) = (n/m)×log_a(b)

Áp dụng trực tiếp công thức:

• log_(1/3)(5) = log_(3^(-1))(5) = -log_3(5)
• 2×log_9(25) = 2×log_(3²)(5²) = 2×(2/2)×log_3(5) = 2×log_3(5)
• log_√5(1/5) = log_(5^(1/2))(5^(-1)) = (-1)/(1/2) = -2

A = -log_3(5) + 2×log_3(5) + 2 = log_3(5) + 2

💡 Mẹo nhớ: log_(a^m)(b^n) = (n/m)×log_a(b)

---

Câu 6.11b

Đề bài: B = log_a(M²) + log_(a²)(M⁴)

Cách 1 — Áp dụng tính chất logarit

Bước 1: Xử lý từng số hạng

• Số hạng 1: log_a(M²) = 2×log_a(M)

• Số hạng 2: log_(a²)(M⁴)

• log_(a²)(M⁴) = (4/2)×log_a(M) = 2×log_a(M)

Bước 2: Tính B

B = 2×log_a(M) + 2×log_a(M) = 4×log_a(M)

Đáp số: B = 4×log_a(M)

Cách 2 — Đặt t = log_a(M)

Đặt t = log_a(M), ta có:

• log_a(M²) = 2t
• log_(a²)(M⁴) = (4/2)×t = 2t

B = 2t + 2t = 4t = 4×log_a(M)

---

Câu 6.12

Đề bài: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = log_2(3) × log_3(4) × log_4(5) × log_5(6) × log_6(7) × log_7(8)

b) B = log_2(2) × log_2(4) × log_2(8) × ... × log_2(2^n)

---

Câu 6.12a

Đề bài: A = log_2(3) × log_3(4) × log_4(5) × log_5(6) × log_6(7) × log_7(8)

Cách 1 — Dùng công thức đổi cơ số

Công thức: log_a(b) = ln(b)/ln(a)

Bước 1: Viết lại mỗi logarit

• log_2(3) = ln(3)/ln(2)
• log_3(4) = ln(4)/ln(3)
• log_4(5) = ln(5)/ln(4)
• log_5(6) = ln(6)/ln(5)
• log_6(7) = ln(7)/ln(6)
• log_7(8) = ln(8)/ln(7)

Bước 2: Nhân tất cả lại (tích rút gọn - telescoping)
A = [ln(3)/ln(2)] × [ln(4)/ln(3)] × [ln(5)/ln(4)] × [ln(6)/ln(5)] × [ln(7)/ln(6)] × [ln(8)/ln(7)]

A = ln(8)/ln(2) = log_2(8) = log_2(2³) = 3

Đáp số: A = 3

Cách 2 — Dùng tính chất log_a(b) × log_b(c) = log_a(c)

Áp dụng liên tiếp:

• log_2(3) × log_3(4) = log_2(4)
• log_2(4) × log_4(5) = log_2(5)
• log_2(5) × log_5(6) = log_2(6)
• log_2(6) × log_6(7) = log_2(7)
• log_2(7) × log_7(8) = log_2(8) = 3

💡 Mẹo nhớ: Tích chuỗi logarit "nối đuôi nhau" rút gọn thành log của số cuối theo cơ số đầu.

---

Câu 6.12b

Đề bài: B = log_2(2) × log_2(4) × log_2(8) × ... × log_2(2^n)

Cách 1 — Tính từng thừa số

Bước 1: Tính mỗi logarit

• log_2(2) = log_2(2¹) = 1
• log_2(4) = log_2(2²) = 2
• log_2(8) = log_2(2³) = 3
• ...
• log_2(2^n) = n

Bước 2: Tính tích
B = 1 × 2 × 3 × ... × n = n!

Đáp số: B = n! (n giai thừa)

Cách 2 — Nhận dạng trực tiếp

Vì log_2(2^k) = k, nên:
B = 1 × 2 × 3 × ... × n = n!

⚠️ Lưu ý thi: Dạng tích chuỗi logarit thường gặp. Nhớ công thức log_a(a^k) = k.

---

Câu 6.13

Đề bài: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là:

$$a = 15500(5 - \log p)$$
trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8850 m so với mực nước biển.

---

Cách 1 — Giải phương trình logarit

Bước 1: Thay a = 8850 vào công thức

8850 = 15500(5 - log p)

Bước 2: Giải tìm log p

8850/15500 = 5 - log p

0,5709677... = 5 - log p

log p = 5 - 0,5709677...
log p ≈ 4,4290

Bước 3: Tìm p
p = 10^(4,4290) ≈ 26863 (Pa)

Đáp số: Áp suất không khí ở đỉnh Everest khoảng 26863 Pa (hay ≈ 26,9 kPa)

Cách 2 — Biến đổi công thức trước

Từ công thức: a = 15500(5 - log p)

⟹ log p = 5 - a/15500

⟹ p = 10^(5 - a/15500)

Thay a = 8850:

p = 10^(5 - 8850/15500)

p = 10^(5 - 0,5709677...)
p = 10^(4,4290...)
p ≈ 26863 Pa

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Bấm: 10 ^ ( 5 - 8850 ÷ 15500 ) = Kết quả: ≈ 26863

⚠️ Lưu ý: 1 atm ≈ 101325 Pa, nên áp suất ở đỉnh Everest chỉ bằng khoảng 26,5% áp suất ở mực nước biển.

---

Câu 6.14

Đề bài: Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:
$$L(I) = 10 \times \log(I/I_0)$$
trong đó I₀ = 10^(-12) W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^(-7) W/m²

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^(-3) W/m²

---

Câu 6.14a

Đề bài: Cuộc trò chuyện bình thường có I = 10^(-7) W/m²

Cách 1 — Thay trực tiếp vào công thức

Bước 1: Áp dụng công thức
L(I) = 10 × log(I/I₀)
L = 10 × log(10^(-7) / 10^(-12))

Bước 2: Tính
L = 10 × log(10^(-7-(-12)))
L = 10 × log(10^5)
L = 10 × 5 = 50

Đáp số: L = 50 dB

Cách 2 — Công thức nhanh

Vì I = 10^(-7) và I₀ = 10^(-12):

L = 10 × log(10^(-7)/10^(-12)) = 10 × (-7 - (-12)) = 10 × 5 = 50 dB

---

Câu 6.14b

Đề bài: Giao thông thành phố đông đúc có I = 10^(-3) W/m²

Cách 1 — Thay trực tiếp vào công thức

Bước 1: Áp dụng công thức
L = 10 × log(10^(-3) / 10^(-12))

Bước 2: Tính
L = 10 × log(10^(-3-(-12)))
L = 10 × log(10^9)
L = 10 × 9 = 90

Đáp số: L = 90 dB

Cách 2 — Công thức nhanh

L = 10 × (-3 - (-12)) = 10 × 9 = 90 dB

💡 Mẹo nhớ: Khi I = 10^k W/m², ta có L = 10 × (k + 12) dB - k = -7 → L = 10 × 5 = 50 dB - k = -3 → L = 10 × 9 = 90 dB

⚠️ Lưu ý thi: Âm thanh 90 dB được coi là mức ồn cao, có thể gây hại nếu tiếp xúc lâu.

---

Trang 16 — Bài 20: Hàm số mũ và hàm số logarit

---

HĐ1 (Hoạt động 1) — Nhận biết hàm số mũ

Đề bài:

a) Tính y = 2^x khi x lần lượt nhận các giá trị -1; 0; 1. Với mỗi giá trị của x có bao nhiêu giá trị của y = 2^x tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức y = 2^x có nghĩa?

---

Câu HĐ1a

Cách 1 — Tính trực tiếp

Bước 1: Tính y khi x = -1
y = 2^(-1) = 1/2 = 0,5

Bước 2: Tính y khi x = 0
y = 2^0 = 1

Bước 3: Tính y khi x = 1
y = 2^1 = 2

Bước 4: Nhận xét

Với mỗi giá trị của x, chỉ có đúng một giá trị y = 2^x tương ứng.

Đáp số:

• x = -1 → y = 1/2
• x = 0 → y = 1
• x = 1 → y = 2
• Mỗi giá trị x có đúng 1 giá trị y tương ứng.

---

Câu HĐ1b

Cách 1 — Phân tích tập xác định

Với hàm số y = 2^x:

• Cơ số 2 > 0 và 2 ≠ 1
• Số mũ x có thể nhận mọi giá trị thực (số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ)

Đáp số: Biểu thức y = 2^x có nghĩa với mọi x ∈ ℝ (tập số thực).

💡 Mẹo nhớ: Hàm số mũ y = a^x (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là ℝ.

---

Câu hỏi nhận dạng hàm số mũ

Đề bài: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số mũ? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.

a) y = (√2)^x
b) y = 2^(-x)
c) y = 8^(x/3)
d) y = x^(-2)

---

Câu a: y = (√2)^x

Phân tích:

• Dạng: y = a^x với a = √2
• √2 ≈ 1,414 > 0 và √2 ≠ 1
• ✅ Là hàm số mũ, cơ số a = √2

---

Câu b: y = 2^(-x)

Phân tích:

• Viết lại: y = 2^(-x) = (2^(-1))^x = (1/2)^x
• Dạng: y = a^x với a = 1/2
• 1/2 = 0,5 > 0 và 1/2 ≠ 1
• ✅ Là hàm số mũ, cơ số a = 1/2 (hoặc có thể viết a = 2 với số mũ -x)

---

Câu c: y = 8^(x/3)

Phân tích:

• Viết lại: y = 8^(x/3) = (8^(1/3))^x = 2^x
• Vì 8^(1/3) = ∛8 = 2
• Dạng: y = a^x với a = 2
• 2 > 0 và 2 ≠ 1
• ✅ Là hàm số mũ, cơ số a = 2 (hoặc a = 8^(1/3) = ∛8)

---

Câu d: y = x^(-2)

Phân tích:

• Dạng: y = x^(-2) = 1/x²
• Đây là hàm lũy thừa (biến x ở cơ số, số mũ cố định)
• ❌ Không phải hàm số mũ

⚠️ Lưu ý thi: Phân biệt: - Hàm số mũ: y = a^x (cơ số cố định, số mũ là biến) - Hàm lũy thừa: y = x^a (cơ số là biến, số mũ cố định)

---

HĐ2 (Hoạt động 2) — Nhận dạng đồ thị và tính chất của hàm số mũ

Đề bài: Cho hàm số mũ y = 2^x.

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

---

Cách 1 — Tính trực tiếp

Bước 1: Tính từng giá trị

• x = -3: y = 2^(-3) = 1/2³ = 1/8 = 0,125
• x = -2: y = 2^(-2) = 1/2² = 1/4 = 0,25
• x = -1: y = 2^(-1) = 1/2 = 0,5
• x = 0: y = 2^0 = 1
• x = 1: y = 2^1 = 2
• x = 2: y = 2^2 = 4
• x = 3: y = 2^3 = 8

Bảng giá trị hoàn chỉnh:

Cách 2 — Nhận dạng quy luật

• Khi x tăng 1 đơn vị, y nhân đôi
• Khi x = 0, y = 1 (luôn đúng với mọi hàm số mũ y = a^x)
• Với x < 0: y < 1
• Với x > 0: y > 1

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Dùng chức năng TABLE: 1. Bấm MENU → chọn TABLE 2. Nhập f(x) = 2^x 3. Đặt Start = -3, End = 3, Step = 1 4. Bấm = để xem bảng giá trị

---

🎯 Ghi nhớ

1. Tính chất logarit quan trọng:

• log_(a^m)(b^n) = (n/m) × log_a(b)
• log_a(b) × log_b(c) = log_a(c) (quy tắc chuỗi)
• log_a(a^k) = k

1. Hàm số mũ y = a^x (a > 0, a ≠ 1):

• Tập xác định: ℝ
• Luôn dương: a^x > 0 với mọi x
• a^0 = 1

1. Công thức ứng dụng:

• Áp suất theo độ cao: a = 15500(5 - log p)
• Cường độ âm: L = 10 × log(I/I₀) với I₀ = 10^(-12) W/m²