Giải Toán tập 2 trang 18
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 18–19
🔍 Kiến thức cần nhớ
Hàm số mũ y = a^x
- Tập xác định: ℝ
- Tập giá trị: (0; +∞)
- Tính đơn điệu:
- Đồng biến trên ℝ khi a > 1
- Nghịch biến trên ℝ khi 0 < a < 1
- Liên tục trên ℝ
- Đồ thị: Đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và luôn nằm phía trên trục hoành
Hàm số lôgarit y = log_a(x)
- Tập xác định: (0; +∞)
- Tập giá trị: ℝ
- Tính đơn điệu:
- Đồng biến trên (0; +∞) khi a > 1
- Nghịch biến trên (0; +∞) khi 0 < a < 1
- Liên tục trên (0; +∞)
- Đồ thị: Đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và luôn nằm bên phải trục tung
⚙️ Bài tập
Luyện tập (Trang 17)
Đề bài: Vẽ đồ thị của hàm số y = (3/2)^x
Cách 1 — Phương pháp lập bảng giá trị
Bước 1: Nhận xét hàm số
Hàm số y = (3/2)^x có cơ số a = 3/2 = 1,5 > 1 nên hàm số đồng biến trên ℝ.
Bước 2: Lập bảng giá trị
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = (3/2)^x | 8/27 ≈ 0,30 | 4/9 ≈ 0,44 | 2/3 ≈ 0,67 | 1 | 3/2 = 1,5 | 9/4 = 2,25 | 27/8 = 3,375 |
Tính chi tiết:
- x = -3: y = (3/2)^(-3) = (2/3)^3 = 8/27
- x = -2: y = (3/2)^(-2) = (2/3)^2 = 4/9
- x = -1: y = (3/2)^(-1) = 2/3
- x = 0: y = (3/2)^0 = 1
- x = 1: y = (3/2)^1 = 3/2
- x = 2: y = (3/2)^2 = 9/4
- x = 3: y = (3/2)^3 = 27/8
Bước 3: Vẽ đồ thị
Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối lại thành đường cong trơn.
Đặc điểm đồ thị:
- Đi qua điểm (0; 1) và (1; 3/2)
- Nằm phía trên trục Ox
- Đường cong đi lên từ trái sang phải (vì a > 1)
- Tiệm cận ngang là trục Ox khi x → -∞
Cách 2 — Sử dụng tính chất đặc trưng
Vì a = 3/2 > 1:
- Đồ thị luôn đi qua (0; 1)
- Đồ thị có dạng tăng dần
- Khi x → -∞, y → 0 (tiệm cận ngang y = 0)
- Khi x → +∞, y → +∞
Chỉ cần xác định thêm vài điểm đặc trưng: (1; 1,5), (2; 2,25), (-1; 0,67) rồi vẽ đường cong.
💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng TABLE trên Casio fx-580VN X: - Nhấn MENU → 9 (Table) - Nhập hàm: (3 ÷ 2) ^ x - Đặt Start = -3, End = 3, Step = 1 - Nhấn = để xem bảng giá trị
HĐ3. Nhận biết hàm số lôgarit (Trang 18)
Câu a
Đề bài: Tính y = log₂(x) khi x lần lượt nhận các giá trị 1; 2; 4. Với mỗi giá trị của x > 0 có bao nhiêu giá trị của y = log₂(x) tương ứng?
Lời giải:
Áp dụng định nghĩa: y = log₂(x) ⟺ 2^y = x
Tính giá trị:
- Khi x = 1: y = log₂(1) = 0 (vì 2^0 = 1)
- Khi x = 2: y = log₂(2) = 1 (vì 2^1 = 2)
- Khi x = 4: y = log₂(4) = 2 (vì 2^2 = 4)
Kết luận: Với mỗi giá trị x > 0, có đúng một giá trị y = log₂(x) tương ứng.
💡 Mẹo nhớ: log_a(a^n) = n (lôgarit của lũy thừa cơ số bằng chính số mũ)
Câu b
Đề bài: Với những giá trị nào của x, biểu thức y = log₂(x) có nghĩa?
Lời giải:
Biểu thức log₂(x) có nghĩa khi và chỉ khi x > 0.
Kết luận: Tập xác định của hàm số y = log₂(x) là (0; +∞) hay {x ∈ ℝ | x > 0}
Câu hỏi nhận biết hàm số lôgarit (Trang 18)
Đề bài: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgarit? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.
a) y = log_{√3}(x)
b) y = log_{2^(-2)}(x)
c) y = log_x(2)
d) y = log_{1/x}(5)
Lời giải:
Điều kiện để y = log_a(x) là hàm số lôgarit:
- Cơ số a là hằng số dương khác 1 (a > 0, a ≠ 1)
- Biến x nằm trong biểu thức lấy lôgarit
Phân tích từng hàm:
a) y = log_{√3}(x)
- Cơ số a = √3 ≈ 1,732 > 0 và ≠ 1 ✓
- Biến x trong biểu thức lôgarit ✓
- Kết luận: Là hàm số lôgarit, cơ số a = √3
b) y = log_{2^(-2)}(x)
- Cơ số a = 2^(-2) = 1/4 = 0,25
- Ta có 0 < 1/4 < 1 và 1/4 ≠ 1 ✓
- Biến x trong biểu thức lôgarit ✓
- Kết luận: Là hàm số lôgarit, cơ số a = 1/4 (hoặc 2^(-2))
c) y = log_x(2)
- Cơ số là x (biến số, không phải hằng số) ✗
- Kết luận: Không là hàm số lôgarit (cơ số phải là hằng số)
d) y = log_{1/x}(5)
- Cơ số là 1/x (biến số, không phải hằng số) ✗
- Kết luận: Không là hàm số lôgarit (cơ số phải là hằng số)
⚠️ Lưu ý thi: Hàm số lôgarit y = log_a(x) yêu cầu: - Cơ số a là hằng số thỏa mãn a > 0, a ≠ 1 - Nếu cơ số là biến thì không phải hàm số lôgarit
HĐ4. Nhận dạng đồ thị và tính chất của hàm số lôgarit (Trang 18)
Đề bài: Cho hàm số lôgarit y = log₂(x)
Câu a
Đề bài: Hoàn thành bảng giá trị sau:
| x | 2^(-3) | 2^(-2) | 2^(-1) | 1 | 2 | 2^2 | 2^3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = log₂(x) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Lời giải:
Áp dụng công thức: log_a(a^n) = n
- x = 2^(-3) = 1/8: y = log₂(2^(-3)) = -3
- x = 2^(-2) = 1/4: y = log₂(2^(-2)) = -2
- x = 2^(-1) = 1/2: y = log₂(2^(-1)) = -1
- x = 1 = 2^0: y = log₂(1) = log₂(2^0) = 0
- x = 2 = 2^1: y = log₂(2) = log₂(2^1) = 1
- x = 2^2 = 4: y = log₂(2^2) = 2
- x = 2^3 = 8: y = log₂(2^3) = 3
Bảng hoàn chỉnh:
| x | 2^(-3) = 1/8 | 2^(-2) = 1/4 | 2^(-1) = 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = log₂(x) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Câu b
Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) và nối lại ta được đồ thị của hàm số y = log₂(x).
Lời giải:
Các điểm cần biểu diễn:
- (1/8; -3)
- (1/4; -2)
- (1/2; -1)
- (1; 0)
- (2; 1)
- (4; 2)
- (8; 3)
Mô tả đồ thị:
- Đồ thị là đường cong trơn đi qua 7 điểm trên
- Đồ thị nằm bên phải trục tung (vì x > 0)
- Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1; 0)
- Đồ thị đi lên từ dưới lên trên (vì cơ số 2 > 1)
Câu c
Đề bài: Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số y = log₂(x).
Lời giải:
Quan sát từ đồ thị và bảng giá trị:
- Tập xác định: D = (0; +∞)
- Tập giá trị:
- Khi x → 0⁺, y → -∞
- Khi x → +∞, y → +∞
- Tập giá trị: ℝ (tất cả số thực)
- Tính chất biến thiên:
- Khi x tăng, y cũng tăng
- Cơ số a = 2 > 1
- Hàm số đồng biến trên (0; +∞)
- Các điểm đặc biệt:
- Đồ thị đi qua (1; 0) vì log₂(1) = 0
- Đồ thị đi qua (2; 1) vì log₂(2) = 1
Kết luận:
- Tập giá trị của y = log₂(x) là ℝ
- Hàm số đồng biến trên (0; +∞)
💡 Mẹo bấm máy: Tính log₂(x) trên Casio fx-580VN X: - Nhấn log → nhập cơ số 2 → nhấn , → nhập x → ) - Hoặc dùng công thức đổi cơ số: log₂(x) = log(x) ÷ log(2)
🎯 Ghi nhớ: - Hàm mũ y = a^x và hàm lôgarit y = log_a(x) là hai hàm ngược của nhau - Đồ thị hàm mũ luôn nằm phía trên trục Ox, đồ thị hàm lôgarit luôn nằm bên phải trục Oy - Cơ số a > 1: cả hai hàm đều đồng biến - Cơ số 0 < a < 1: cả hai hàm đều nghịch biến