Giải Toán tập 1 trang 22

Hai trang này gồm phần BÀI TẬP cuối Bài 2 (các bài 1.7 đến 1.13) và mở đầu Bài 3 "Hàm số lượng giác". Mình giải lần lượt nhé.

Bài 1.7: Tính giá trị lượng giác của góc 15°

Đề: Sử dụng $15° = 45° - 30°$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Áp dụng công thức cộng:

$$\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos45°\cos30° + \sin45°\sin30° = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$$

$$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin45°\cos30° - \cos45°\sin30° = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$$

$$\tan 15° = \frac{\sin15°}{\cos15°} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{\sqrt6 + \sqrt2} = 2 - \sqrt3$$

$$\cot 15° = \frac{1}{\tan15°} = 2 + \sqrt3$$

Bài 1.8: Tính giá trị biểu thức

a) Tính $\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}\right)$, biết $\sin a = \dfrac{1}{\sqrt3}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$.

Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ nên $\cos a < 0$:

$$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac13 = \frac23 \Rightarrow \cos a = -\frac{\sqrt6}{3}$$

$$\cos\left(a+\frac\pi6\right) = \cos a\cos\frac\pi6 - \sin a\sin\frac\pi6 = -\frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac12 = -\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt3}{6} = -\frac{3\sqrt2 + \sqrt3}{6}$$

b) Tính $\tan\left(a - \dfrac{\pi}{4}\right)$, biết $\cos a = -\dfrac13$ và $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$.

Vì $a$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin a < 0$:

$$\sin^2 a = 1 - \frac19 = \frac89 \Rightarrow \sin a = -\frac{2\sqrt2}{3}, \quad \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = 2\sqrt2$$

$$\tan\left(a - \frac\pi4\right) = \frac{\tan a - 1}{1 + \tan a} = \frac{2\sqrt2 - 1}{1 + 2\sqrt2} = \frac{9 - 4\sqrt2}{7}$$

Bài 1.9: Tính sin2a, cos2a, tan2a

a) $\sin a = \dfrac13$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$.

$\cos a < 0 \Rightarrow \cos a = -\dfrac{2\sqrt2}{3}$.

$$\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2\cdot\frac13\cdot\left(-\frac{2\sqrt2}{3}\right) = -\frac{4\sqrt2}{9}$$

$$\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a = 1 - \frac29 = \frac79$$

$$\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\frac{4\sqrt2}{7}$$

b) $\sin a + \cos a = \dfrac12$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \dfrac{3\pi}{4}$.

Bình phương: $(\sin a + \cos a)^2 = \dfrac14 \Rightarrow 1 + \sin 2a = \dfrac14$

$$\sin 2a = -\frac34$$

Xét $(\cos a - \sin a)^2 = 1 - \sin 2a = \dfrac74$. Vì $\dfrac\pi2 < a < \dfrac{3\pi}{4}$ nên $\sin a > \cos a$, suy ra $\cos a - \sin a < 0$:

$$\cos a - \sin a = -\frac{\sqrt7}{2}$$

$$\cos 2a = (\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a) = -\frac{\sqrt7}{2}\cdot\frac12 = -\frac{\sqrt7}{4}$$

$$\tan 2a = \frac{-3/4}{-\sqrt7/4} = \frac{3}{\sqrt7} = \frac{3\sqrt7}{7}$$

Bài 1.10: Tính giá trị các biểu thức

a) Tử số có dạng $\sin x\cos y + \sin y\cos x = \sin(x+y)$, mẫu số có dạng $\cos x\cos y - \sin x\sin y = \cos(x+y)$:

$$\text{Tử} = \sin\left(\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{10}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac12$$

$$\text{Mẫu} = \cos\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac12$$

$$A = \frac{1/2}{1/2} = 1$$

b) $B = \sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8}$.

Dùng liên tiếp công thức $\sin x\cos x = \dfrac12\sin 2x$:

$$B = \frac12\sin\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{8} = \frac14\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \frac18\sin\frac{\pi}{4} = \frac18\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{16}$$

Bài 1.11: Chứng minh đẳng thức

Đề: $\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a$.

$$\sin(a+b)\sin(a-b) = (\sin a\cos b + \cos a\sin b)(\sin a\cos b - \cos a\sin b) = \sin^2 a\cos^2 b - \cos^2 a\sin^2 b$$

$$= \sin^2 a(1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 a)\sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b \quad (1)$$

Mặt khác:

$$\sin^2 a - \sin^2 b = (1 - \cos^2 a) - (1 - \cos^2 b) = \cos^2 b - \cos^2 a \quad (2)$$

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài 1.12: Diện tích tam giác ABC

Cho $\widehat{B} = 75°$, $\widehat{C} = 45°$, $a = BC = 12$ cm.

a) Theo định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \Rightarrow b = \dfrac{a\sin B}{\sin A}$. Thay vào công thức diện tích:

$$S = \frac12 ab\sin C = \frac12\cdot a\cdot\frac{a\sin B}{\sin A}\cdot\sin C = \frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A} \quad (\text{đpcm})$$

b) Ta có $\widehat{A} = 180° - 75° - 45° = 60°$.

Dùng biến đổi tích thành tổng cho $\sin B\sin C = \sin75°\sin45°$:

$$\sin 75°\sin 45° = \frac12[\cos(75°-45°) - \cos(75°+45°)] = \frac12\left[\cos30° - \cos120°\right] = \frac12\left[\frac{\sqrt3}{2} + \frac12\right] = \frac{\sqrt3 + 1}{4}$$

$$S = \frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A} = \frac{144\cdot\dfrac{\sqrt3+1}{4}}{2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}} = \frac{36(\sqrt3+1)}{\sqrt3} = 12\sqrt3(\sqrt3 + 1) = 36 + 12\sqrt3 \approx 56{,}78 \ (\text{cm}^2)$$

Bài 1.13: Dao động điều hòa tổng hợp

Cho $x_1(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right)$, $x_2(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}\right)$ (cm).

Dùng công thức tổng thành tích $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$:

$$x(t) = x_1 + x_2 = 2\left[\cos\left(\frac\pi3 t + \frac\pi6\right) + \cos\left(\frac\pi3 t - \frac\pi3\right)\right]$$

Với $\dfrac{\alpha+\beta}{2} = \dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}$ và $\dfrac{\alpha-\beta}{2} = \dfrac{\pi}{4}$:

$$x(t) = 2\cdot 2\cos\left(\frac\pi3 t - \frac{\pi}{12}\right)\cos\frac\pi4 = 4\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cos\left(\frac\pi3 t - \frac{\pi}{12}\right)$$

$$\boxed{x(t) = 2\sqrt2\cos\left(\frac\pi3 t - \frac{\pi}{12}\right) \ (\text{cm})}$$

Vậy dao động tổng hợp có biên độ $A = 2\sqrt2$ cm và pha ban đầu $\varphi = -\dfrac{\pi}{12}$.

---

Mở đầu Bài 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tóm tắt lý thuyết và mục tiêu:

• Nhận biết hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn cùng đặc trưng hình học của đồ thị.
• Nhận biết bốn hàm lượng giác $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ qua đường tròn lượng giác.
• Vẽ đồ thị, xét tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, chu kì, khoảng đồng biến – nghịch biến của các hàm này.

Định nghĩa: Với mỗi số thực $x$, xác định điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác $(OA, OM) = x$. Khi đó:

• $\sin x$ là tung độ, $\cos x$ là hoành độ của $M$.
• Nếu $\cos x \ne 0$: $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$; nếu $\sin x \ne 0$: $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.

Bài toán mở đầu (hô hấp)

Đề: $v = 0{,}85\sin\dfrac{\pi t}{3}$. Tìm thời gian một chu kì hô hấp và số chu kì trong một phút.

Chu kì của hàm $\sin\dfrac{\pi t}{3}$:

$$T = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6 \ (\text{giây})$$

Số chu kì hô hấp trong 1 phút (60 giây):

$$\frac{60}{6} = 10 \ (\text{chu kì})$$

HĐ1: Hoàn thành bảng giá trị lượng giác

Lưu ý: $\tan x$ không xác định khi $\cos x = 0$ (tại $x = -\dfrac{\pi}{2}$), còn $\cot x$ không xác định khi $\sin x = 0$ (tại $x = 0$).