Giải Toán tập 1 trang 24

Hai trang này thuộc bài "Hàm số lượng giác". Trang đầu hoàn thiện định nghĩa các hàm lượng giác, trang sau chuyển sang tính chẵn – lẻ và tính tuần hoàn của hàm số. Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các phần luyện tập, hoạt động (HĐ) và câu hỏi nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa bốn hàm số lượng giác và tập xác định:

Hàm số chẵn – lẻ (với hàm $y=f(x)$ có tập xác định $D$):

• Hàm số chẵn: $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = f(x)$. Đồ thị đối xứng qua trục tung.
• Hàm số lẻ: $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = -f(x)$. Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Hàm số tuần hoàn: tồn tại $T \neq 0$ sao cho $\forall x \in D$ thì $x + T \in D$, $x - T \in D$ và $f(x+T) = f(x)$. Số $T$ dương nhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kì.

Luyện tập 1: Tìm tập xác định của $y = \dfrac{1}{\sin x}$

Biểu thức $\dfrac{1}{\sin x}$ có nghĩa khi $\sin x \neq 0$.

Ta có $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \;(k \in \mathbb{Z})$, nên điều kiện là $x \neq k\pi$.

Vậy tập xác định là:
$$D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}.$$

So sánh với Ví dụ 1 (hàm $\dfrac{1}{\cos x}$ loại các điểm $\frac{\pi}{2}+k\pi$): ở đây ta loại các điểm làm mẫu $\sin x = 0$, tức là các bội của $\pi$.

HĐ2: Hai hàm $f(x) = x^2$ và $g(x) = x^3$

a) Tìm tập xác định $D_f$, $D_g$.

Cả $x^2$ và $x^3$ đều là đa thức, tính được với mọi số thực. Vậy:
$$D_f = \mathbb{R}, \qquad D_g = \mathbb{R}.$$

b) Chứng tỏ $f(-x) = f(x)$.

Với mọi $x \in D_f = \mathbb{R}$, ta luôn có $-x \in \mathbb{R}$ và:
$$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x).$$

Vậy $f$ là hàm số chẵn. Đồ thị $y = x^2$ (parabol) nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng — đúng như hình vẽ bên trái.

c) Chứng tỏ $g(-x) = -g(x)$.

Với mọi $x \in D_g = \mathbb{R}$, ta có $-x \in \mathbb{R}$ và:
$$g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x).$$

Vậy $g$ là hàm số lẻ. Đồ thị $y = x^3$ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng — khớp với hình bên phải.

Luyện tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của $g(x) = \dfrac{1}{x}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Với mọi $x \in D$ (tức $x \neq 0$) thì $-x \neq 0$, nên $-x \in D$. Ta có:
$$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x), \quad \forall x \in D.$$

Vậy $g(x) = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ (đồ thị là hypebol đối xứng qua gốc tọa độ).

HĐ3: So sánh

Dùng các tính chất quen thuộc của hàm lượng giác:

a) $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ — bằng nhau, vì sin lặp lại sau mỗi $2\pi$.

b) $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ — bằng nhau, côsin cũng lặp lại sau $2\pi$.

c) $\tan(x + \pi) = \tan x$ — bằng nhau, tang lặp lại sau mỗi $\pi$.

d) $\cot(x + \pi) = \cot x$ — bằng nhau, côtang cũng lặp lại sau $\pi$.

Những kết quả này chính là cơ sở để nói $\sin$, $\cos$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$, còn $\tan$, $\cot$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Câu hỏi: Hàm hằng $f(x) = c$ có tuần hoàn không?

Có, hàm hằng $f(x) = c$ là hàm số tuần hoàn.

Lý do: với mọi số $T \neq 0$ và mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có $x + T \in \mathbb{R}$, $x - T \in \mathbb{R}$ và:

$$f(x + T) = c = f(x).$$

Mọi $T \neq 0$ đều thỏa định nghĩa.

Tuy nhiên hàm hằng không có chu kì. Vì chu kì là số $T$ dương nhỏ nhất thỏa điều kiện, mà ở đây mọi số dương đều thỏa, nên không tồn tại số dương nhỏ nhất. Do đó hàm hằng tuần hoàn nhưng không có chu kì.

Nếu bạn cho mình ảnh trang 25 (trang tiếp theo có phần đồ thị $y=\sin x$, $y=\cos x$...), mình sẽ giải tiếp giúp bạn.