Giải Toán tập 1 trang 20
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 20–21
🔍 Kiến thức cần nhớ
Công thức hạ bậc
- cos²a = (1 + cos2a)/2
- sin²a = (1 - cos2a)/2
Công thức biến đổi tích thành tổng
- cos a × cos b = (1/2)[cos(a - b) + cos(a + b)]
- sin a × sin b = (1/2)[cos(a - b) - cos(a + b)]
- sin a × cos b = (1/2)[sin(a - b) + sin(a + b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích
- cos u + cos v = 2cos((u + v)/2) × cos((u - v)/2)
- cos u - cos v = -2sin((u + v)/2) × sin((u - v)/2)
- sin u + sin v = 2sin((u + v)/2) × cos((u - v)/2)
- sin u - sin v = 2cos((u + v)/2) × sin((u - v)/2)
⚙️ Bài tập
Luyện tập 2
Đề bài: Không dùng máy tính, tính cos(π/8).
Cách 1 — Sử dụng công thức hạ bậc
Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc cos²a = (1 + cos2a)/2
Đặt a = π/8, ta có:
- cos²(π/8) = (1 + cos(2 × π/8))/2 = (1 + cos(π/4))/2
Bước 2: Tính cos(π/4)
- cos(π/4) = √2/2
Bước 3: Thay vào công thức
- cos²(π/8) = (1 + √2/2)/2 = (2 + √2)/4
Bước 4: Tính cos(π/8)
Vì 0 < π/8 < π/2 nên cos(π/8) > 0
Do đó: cos(π/8) = √((2 + √2)/4) = √(2 + √2)/2
Cách 2 — Sử dụng công thức nhân đôi ngược
Ta có: cos(π/4) = 2cos²(π/8) - 1
Suy ra: √2/2 = 2cos²(π/8) - 1
⟹ 2cos²(π/8) = 1 + √2/2 = (2 + √2)/2
⟹ cos²(π/8) = (2 + √2)/4
⟹ cos(π/8) = √(2 + √2)/2 (vì π/8 thuộc góc phần tư thứ nhất)
💡 Mẹo nhớ: Với góc π/8, ta dùng công thức hạ bậc với 2a = π/4 (góc đặc biệt quen thuộc).
⚠️ Lưu ý thi: Luôn xét dấu của kết quả dựa vào góc nằm ở góc phần tư nào trước khi lấy căn.
HĐ3. Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng
Đề bài:
- a) Từ các công thức cộng cos(a + b) và cos(a - b), hãy tìm: cos a × cos b; sin a × sin b.
- b) Từ các công thức cộng sin(a + b) và sin(a - b), hãy tìm: sin a × cos b.
Câu a) Tìm cos a × cos b và sin a × sin b
Cách 1 — Phương pháp cộng/trừ công thức
Bước 1: Viết công thức cộng
- cos(a + b) = cos a × cos b - sin a × sin b ... (1)
- cos(a - b) = cos a × cos b + sin a × sin b ... (2)
Bước 2: Cộng (1) và (2)
- cos(a + b) + cos(a - b) = 2cos a × cos b
⟹ cos a × cos b = (1/2)[cos(a - b) + cos(a + b)]
Bước 3: Trừ (1) cho (2)
- cos(a - b) - cos(a + b) = 2sin a × sin b
⟹ sin a × sin b = (1/2)[cos(a - b) - cos(a + b)]
Câu b) Tìm sin a × cos b
Bước 1: Viết công thức cộng
- sin(a + b) = sin a × cos b + cos a × sin b ... (3)
- sin(a - b) = sin a × cos b - cos a × sin b ... (4)
Bước 2: Cộng (3) và (4)
- sin(a + b) + sin(a - b) = 2sin a × cos b
⟹ sin a × cos b = (1/2)[sin(a - b) + sin(a + b)]
💡 Mẹo nhớ: - Tích cos × cos hoặc sin × sin cho ra cos (cùng loại → cos) - Tích sin × cos cho ra sin (khác loại → sin)
Luyện tập 3
Đề bài: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
- A = cos75° × cos15°
- B = sin(5π/12) × cos(7π/12)
Câu A = cos75° × cos15°
Cách 1 — Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Áp dụng: cos a × cos b = (1/2)[cos(a - b) + cos(a + b)]
A = cos75° × cos15° = (1/2)[cos(75° - 15°) + cos(75° + 15°)]
A = (1/2)[cos60° + cos90°]
A = (1/2)[1/2 + 0] = 1/4
Cách 2 — Sử dụng góc phụ nhau
Nhận xét: 75° + 15° = 90° nên cos75° = sin15°
A = cos75° × cos15° = sin15° × cos15° = (1/2)sin30° = (1/2) × (1/2) = 1/4
💡 Mẹo nhớ: Khi tổng hai góc bằng 90°, có thể chuyển về dạng sin × cos rồi dùng công thức nhân đôi.
Câu B = sin(5π/12) × cos(7π/12)
Cách 1 — Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Áp dụng: sin a × cos b = (1/2)[sin(a - b) + sin(a + b)]
B = sin(5π/12) × cos(7π/12) = (1/2)[sin(5π/12 - 7π/12) + sin(5π/12 + 7π/12)]
B = (1/2)[sin(-2π/12) + sin(12π/12)]
B = (1/2)[sin(-π/6) + sin π]
B = (1/2)[-1/2 + 0] = -1/4
Cách 2 — Chuyển đổi góc
Ta có: 5π/12 = 75° và 7π/12 = 105°
Nhận xét: cos(7π/12) = cos105° = -cos75° = -sin15°
B = sin75° × (-sin15°) = -sin75° × sin15°
Áp dụng công thức: sin a × sin b = (1/2)[cos(a - b) - cos(a + b)]
B = -(1/2)[cos60° - cos90°] = -(1/2)[1/2 - 0] = -1/4
HĐ4. Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích
Đề bài: Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a - b, v = a + b và viết các công thức nhận được.
Lời giải
Bước 1: Từ u = a - b và v = a + b, ta suy ra:
- a = (u + v)/2
- b = (v - u)/2
Bước 2: Thay vào các công thức biến đổi tích thành tổng
Từ công thức: cos a × cos b = (1/2)[cos(a - b) + cos(a + b)]
Ta có: (1/2)[cos u + cos v] = cos((u + v)/2) × cos((v - u)/2)
⟹ cos u + cos v = 2cos((u + v)/2) × cos((u - v)/2)
Từ công thức: sin a × sin b = (1/2)[cos(a - b) - cos(a + b)]
Ta có: (1/2)[cos u - cos v] = sin((u + v)/2) × sin((v - u)/2)
⟹ cos u - cos v = -2sin((u + v)/2) × sin((u - v)/2)
Từ công thức: sin a × cos b = (1/2)[sin(a - b) + sin(a + b)]
Tương tự, ta được:
- sin u + sin v = 2sin((u + v)/2) × cos((u - v)/2)
- sin u - sin v = 2cos((u + v)/2) × sin((u - v)/2)
💡 Mẹo nhớ: - Tổng cos → tích cos × cos - Hiệu cos → tích sin × sin (có dấu âm) - Tổng/hiệu sin → tích sin × cos
Luyện tập 4
Đề bài: Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức:
B = cos(π/9) + cos(5π/9) + cos(11π/9)
Cách 1 — Ghép cặp và dùng công thức tổng thành tích
Bước 1: Nhận xét góc
Ta có: 11π/9 = 2π - 7π/9, nên cos(11π/9) = cos(7π/9)
Vậy: B = cos(π/9) + cos(5π/9) + cos(7π/9)
Bước 2: Ghép cặp cos(π/9) + cos(7π/9)
Áp dụng: cos u + cos v = 2cos((u + v)/2) × cos((u - v)/2)
cos(π/9) + cos(7π/9) = 2cos((π/9 + 7π/9)/2) × cos((π/9 - 7π/9)/2)
= 2cos(8π/18) × cos(-6π/18)
= 2cos(4π/9) × cos(π/3)
= 2cos(4π/9) × (1/2) = cos(4π/9)
Bước 3: Tính B
B = cos(4π/9) + cos(5π/9)
Áp dụng công thức:
B = 2cos((4π/9 + 5π/9)/2) × cos((4π/9 - 5π/9)/2)
B = 2cos(π/2) × cos(-π/18)
B = 2 × 0 × cos(π/18) = 0
Cách 2 — Sử dụng tính chất đối xứng
Bước 1: Chuyển đổi góc
- cos(5π/9) = cos(π - 4π/9) = -cos(4π/9)
- cos(11π/9) = cos(π + 2π/9) = -cos(2π/9)
Vậy: B = cos(π/9) - cos(4π/9) - cos(2π/9)
Bước 2: Sắp xếp lại
B = cos(π/9) - cos(2π/9) - cos(4π/9)
Bước 3: Nhân cả hai vế với 2sin(π/9) và dùng công thức nhân đôi
2sin(π/9) × B = 2sin(π/9)cos(π/9) - 2sin(π/9)cos(2π/9) - 2sin(π/9)cos(4π/9)
= sin(2π/9) - [sin(3π/9) - sin(π/9)] - [sin(5π/9) - sin(3π/9)]
= sin(2π/9) - sin(π/3) + sin(π/9) - sin(5π/9) + sin(π/3)
= sin(2π/9) + sin(π/9) - sin(5π/9)
Vì sin(5π/9) = sin(4π/9) và áp dụng thêm công thức, ta chứng minh được tổng bằng 0.
Vậy B = 0
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài tính tổng cos hoặc sin của các góc cách đều thường cho kết quả đẹp (0 hoặc số đơn giản).
Vận dụng 2
Đề bài: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f₁ và tần số cao f₂ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm y = sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số cosin.
Câu a) Tìm hàm số khi nhấn phím 4
Bước 1: Đọc dữ liệu từ Hình 1.13
Phím 4 nằm ở:
- Hàng có tần số thấp f₁ = 770 Hz
- Cột có tần số cao f₂ = 1209 Hz
Bước 2: Viết hàm số
y = sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t)
y = sin(2π × 770 × t) + sin(2π × 1209 × t)
Hay viết gọn:
y = sin(1540πt) + sin(2418πt)
Câu b) Biến đổi về dạng tích
Bước 1: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích
sin u + sin v = 2sin((u + v)/2) × cos((u - v)/2)
Với u = 1540πt và v = 2418πt
Bước 2: Tính các giá trị
- (u + v)/2 = (1540πt + 2418πt)/2 = 3958πt/2 = 1979πt
- (u - v)/2 = (1540πt - 2418πt)/2 = -878πt/2 = -439πt
Bước 3: Kết quả
y = 2sin(1979πt) × cos(-439πt)
Vì cos(-x) = cos(x), nên:
y = 2sin(1979πt) × cos(439πt)
💡 Mẹo nhớ: Công thức biến đổi tổng thành tích rất hữu ích trong xử lý tín hiệu và sóng âm.
⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài ứng dụng thực tế, thường xuất hiện trong phần vận dụng cao. Cần nhớ công thức và tính cẩn thận.
🎯 Ghi nhớ
- Công thức hạ bậc dùng để tính giá trị lượng giác của góc chia đôi (như π/8 từ π/4).
- Công thức biến đổi tích thành tổng biến tích hai hàm lượng giác thành tổng/hiệu.
- Công thức biến đổi tổng thành tích biến tổng/hiệu thành tích - rất hữu ích khi tính tổng nhiều số hạng.
- Quy tắc nhớ dấu:
- cos + cos → cos × cos (dương)
- cos - cos → sin × sin (âm)
- sin ± sin → sin × cos
- Khi gặp tổng cos hoặc sin của các góc đặc biệt, thử ghép cặp để đơn giản hóa.