Giải Toán tập 1 trang 26

🔍 Kiến thức cần nhớ

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

• Hàm số y = sin x và y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π
• Hàm số y = tan x và y = cot x tuần hoàn với chu kì π
• Hàm số y = A·sin(ωx) và y = A·cos(ωx) (với ω > 0) có chu kì T = 2π/ω

Tính chất hàm số y = sin x

• Tập xác định: ℝ
• Tập giá trị: [-1; 1]
• Là hàm số lẻ (đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ)
• Chu kì: 2π
• Đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 + k2π; π/2 + k2π)
• Nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2 + k2π; 3π/2 + k2π), k ∈ ℤ

Tính chất hàm số y = cos x

• Tập xác định: ℝ
• Tập giá trị: [-1; 1]
• Là hàm số chẵn (đồ thị đối xứng qua trục Oy)
• Chu kì: 2π

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 3

Đề bài: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = tan 2x.

Cách 1 — Áp dụng công thức chu kì

Kiến thức áp dụng:

• Hàm số y = tan x có chu kì T = π
• Hàm số y = tan(ωx) với ω > 0 có chu kì T = π/ω

Lời giải:

Hàm số y = tan 2x có dạng y = tan(ωx) với ω = 2.

Áp dụng công thức chu kì của hàm tan:

• T = π/ω = π/2

Kết luận: Hàm số y = tan 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π/2.

Cách 2 — Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa

Lời giải:

Hàm số y = tan 2x xác định khi cos 2x ≠ 0, tức 2x ≠ π/2 + kπ, hay x ≠ π/4 + kπ/2 (k ∈ ℤ).

Với mọi x thuộc tập xác định và T = π/2, ta có:

• x + π/2 cũng thuộc tập xác định (vì nếu x ≠ π/4 + kπ/2 thì x + π/2 ≠ π/4 + (k+1)π/2)

Kiểm tra:

tan 2(x + π/2) = tan(2x + π) = tan 2x

(Do hàm tan có chu kì π nên tan(2x + π) = tan 2x)

Kết luận: Hàm số y = tan 2x tuần hoàn với chu kì T = π/2.

💡 Mẹo nhớ: Với hàm y = tan(ωx), chu kì T = π/ω (không phải 2π/ω như sin, cos)

---

Hoạt động 4 (HĐ4)

Đề bài: Cho hàm số y = sin x.

• a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
• b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số y = sin x trên đoạn [-π; π].
• c) Vẽ đồ thị hàm số.

Câu a) Xét tính chẵn, lẻ

Cách 1 — Định nghĩa hàm chẵn, lẻ

Lời giải:

Bước 1: Xét tập xác định

• Hàm số y = sin x có tập xác định D = ℝ
• Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D → Tập xác định đối xứng qua gốc O ✓

Bước 2: Tính f(-x)

• f(x) = sin x
• f(-x) = sin(-x) = -sin x = -f(x)

Bước 3: Kết luận

• Vì f(-x) = -f(x) với mọi x ∈ D nên hàm số y = sin x là hàm số lẻ.

Cách 2 — Sử dụng công thức lượng giác

Lời giải:

Từ công thức lượng giác: sin(-x) = -sin x (đây là công thức cơ bản)

Điều này có nghĩa với mọi x ∈ ℝ: f(-x) = -f(x)

→ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.

💡 Mẹo nhớ: - sin(-x) = -sin x → hàm sin là hàm lẻ - cos(-x) = cos x → hàm cos là hàm chẵn

---

Câu b) Hoàn thành bảng giá trị

Lời giải:

Bước 1: Tính giá trị sin x với x không âm (x ≥ 0)

Bước 2: Sử dụng tính chất hàm lẻ để suy ra giá trị với x âm

Vì sin(-x) = -sin x, ta có:

• sin(-π/4) = -sin(π/4) = -√2/2
• sin(-π/2) = -sin(π/2) = -1
• sin(-3π/4) = -sin(3π/4) = -√2/2
• sin(-π) = -sin(π) = 0

Bảng giá trị hoàn chỉnh:

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Chuyển sang chế độ Radian: MENU → Settings → Angle Unit → Rad - Tính sin(π/4): sin(π÷4) = 0.7071... ≈ √2/2

---

Luyện tập 4

Đề bài: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 sin x.

Cách 1 — Sử dụng tính chất hàm sin

Lời giải:

Bước 1: Xác định giới hạn của sin x

• Ta biết: -1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ

Bước 2: Nhân cả hai vế với 2

• -1 ≤ sin x ≤ 1
• -2 ≤ 2 sin x ≤ 2
• -2 ≤ y ≤ 2

Bước 3: Kiểm tra đạt được cận

• y = 2 khi sin x = 1 (tức x = π/2 + k2π) ✓
• y = -2 khi sin x = -1 (tức x = -π/2 + k2π) ✓

Kết luận: Tập giá trị của hàm số y = 2 sin x là [-2; 2].

Cách 2 — Công thức tổng quát

Lời giải:

Với hàm số y = A·sin x (A > 0):

• Tập giá trị là [-A; A]

Áp dụng với A = 2:

• Tập giá trị của y = 2 sin x là [-2; 2].

⚠️ Lưu ý thi: Với hàm y = A·sin(ωx + φ) + B, tập giá trị là [B - |A|; B + |A|]

---

Vận dụng 1

Đề bài: Xét tình huống mở đầu.

• a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
• b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra xảy ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở ra?

Câu a) Giải bài toán tình huống mở đầu

Lời giải:

(Dựa trên tình huống mở đầu về vận tốc luồng khí thở có dạng v = A·sin(ωt))

Hàm số v = A·sin(ωt) mô tả vận tốc luồng khí hít vào và thở ra.

Đây là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π/ω, cho thấy quá trình hô hấp lặp lại đều đặn.

Câu b) Xác định thời điểm hít vào và thở ra

Lời giải:

Giả sử hàm vận tốc có dạng v = A·sin(ωt) với chu kì khoảng 4-5 giây (chu kì hô hấp bình thường).

Quá trình hít vào (v > 0):

• sin(ωt) > 0 xảy ra khi ωt ∈ (0 + k2π; π + k2π), k ∈ ℤ
• Trong khoảng [0; 5] giây, người đó hít vào trong khoảng thời gian đầu của mỗi chu kì

Quá trình thở ra (v < 0):

• sin(ωt) < 0 xảy ra khi ωt ∈ (π + k2π; 2π + k2π), k ∈ ℤ
• Trong khoảng [0; 5] giây, người đó thở ra trong khoảng thời gian sau của mỗi chu kì

💡 Mẹo nhớ: Đồ thị sin dương nằm phía trên trục hoành, âm nằm phía dưới.

---

Hoạt động 5 (HĐ5)

Đề bài: Cho hàm số y = cos x.

• a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
• b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số y = cos x trên đoạn [-π; π].

Câu a) Xét tính chẵn, lẻ

Cách 1 — Định nghĩa hàm chẵn, lẻ

Lời giải:

Bước 1: Xét tập xác định

• Hàm số y = cos x có tập xác định D = ℝ
• Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D → Tập xác định đối xứng qua gốc O ✓

Bước 2: Tính f(-x)

• f(x) = cos x
• f(-x) = cos(-x) = cos x = f(x)

Bước 3: Kết luận

• Vì f(-x) = f(x) với mọi x ∈ D nên hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

Cách 2 — Sử dụng công thức lượng giác

Lời giải:

Từ công thức lượng giác cơ bản: cos(-x) = cos x

Điều này có nghĩa với mọi x ∈ ℝ: f(-x) = f(x)

→ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

---

Câu b) Hoàn thành bảng giá trị

Lời giải:

Bước 1: Tính giá trị cos x với x không âm (x ≥ 0)

Bước 2: Sử dụng tính chất hàm chẵn để suy ra giá trị với x âm

Vì cos(-x) = cos x, ta có:

• cos(-π/4) = cos(π/4) = √2/2
• cos(-π/2) = cos(π/2) = 0
• cos(-3π/4) = cos(3π/4) = -√2/2
• cos(-π) = cos(π) = -1

Bảng giá trị hoàn chỉnh:

💡 Mẹo nhớ: - Hàm chẵn: đồ thị đối xứng qua trục Oy → cos(-x) = cos x - Hàm lẻ: đồ thị đối xứng qua gốc O → sin(-x) = -sin x

---

🎯 Ghi nhớ

⚠️ Lưu ý thi: - Chu kì của y = sin(ωx) và y = cos(ωx) là T = 2π/ω - Chu kì của y = tan(ωx) và y = cot(ωx) là T = π/ω - Tập giá trị của y = A·sin x + B là [B - |A|; B + |A|]