Giải Toán tập 1 trang 28

Hai trang này tiếp nối nội dung về hàm số lượng giác. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải hết các bài tập có trên trang nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Hàm số $y = \cos x$:

• Tập xác định $\mathbb{R}$, tập giá trị $[-1; 1]$.
• Hàm số chẵn, tuần hoàn chu kì $2\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi + k2\pi;\ k2\pi)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi;\ \pi + k2\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Đồ thị là đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Hàm số $y = \tan x$:

• Tập xác định $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$, tập giá trị $\mathbb{R}$.
• Hàm số lẻ, tuần hoàn chu kì $\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

---

Bài Luyện tập 5: Tập giá trị của $y = -3\cos x$

Đề: Tìm tập giá trị của hàm số $y = -3\cos x$.

Lời giải:

Với mọi $x$, ta có $-1 \le \cos x \le 1$.

Nhân cả ba vế với $-3$ (số âm nên đổi chiều bất đẳng thức):

$$-3 \le -3\cos x \le 3$$

Do đó $-3 \le y \le 3$.

Tập giá trị của hàm số là $[-3;\ 3]$.

---

Bài Vận dụng 2: Dao động điều hòa

Đề: Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x(t) = -5\cos 4\pi t$ (cm).

a) Xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm $t = 2$ (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Lời giải:

Phương trình tổng quát có dạng $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ với $A > 0$ và $\varphi \in [-\pi; \pi]$.

a) Ta đưa phương trình về đúng dạng chuẩn. Vì $-\cos\alpha = \cos(\alpha + \pi)$ nên:

$$x(t) = -5\cos 4\pi t = 5\cos(4\pi t + \pi)$$

So với dạng tổng quát:

• Biên độ: $A = 5$ (cm).
• Tần số góc: $\omega = 4\pi$.
• Pha ban đầu: $\varphi = \pi$ (thỏa mãn $\varphi \in [-\pi; \pi]$).

b) Pha của dao động tại thời điểm $t$ là $\omega t + \varphi = 4\pi t + \pi$.

Tại $t = 2$:

$$4\pi \cdot 2 + \pi = 8\pi + \pi = 9\pi$$

Chu kì dao động:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}\ (\text{giây})$$

Số dao động toàn phần thực hiện trong 2 giây:

$$\frac{2}{T} = \frac{2}{\tfrac{1}{2}} = 4 \ (\text{dao động})$$

Vậy trong 2 giây vật thực hiện được 4 dao động toàn phần.

---

Bài HĐ6: Hàm số $y = \tan x$

Đề: Cho hàm số $y = \tan x$.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị của $y = \tan x$ trên khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.

c) Từ đồ thị ở Hình 1.16, tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$.

Lời giải:

a) Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và:

$$\tan(-x) = -\tan x$$

Vậy $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

b) Dùng các giá trị lượng giác cơ bản:

Có thể thấy các giá trị đối xứng qua $0$, đúng với tính chất hàm số lẻ ở câu a.

c) Quan sát đồ thị Hình 1.16:

• Đồ thị trải dài từ $-\infty$ đến $+\infty$ trên mỗi nhánh, nên tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$.
• Trên mỗi khoảng giữa hai đường tiệm cận đứng liên tiếp, đồ thị đi lên từ trái sang phải, tức là hàm số đồng biến. Các khoảng đó là:

$$\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Vậy tập giá trị là $\mathbb{R}$ và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$.

---