Giải Toán tập 1 trang 30
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 30–31
Hai trang này thuộc bài về hàm số lượng giác, tập trung vào hàm $y = \tan x$ và $y = \cot x$, kèm theo phần bài tập tổng hợp. Mình giải lần lượt các phần Luyện tập, Hoạt động và toàn bộ Bài tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Hàm số $y = \cot x$:
- Tập xác định: $\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$; tập giá trị: $\mathbb{R}$.
- Là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $\pi$.
- Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi;\ \pi + k\pi),\ k \in \mathbb{Z}$.
- Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Luyện tập 6
Đề: Dùng đồ thị ở Hình 1.16, tìm các giá trị $x$ trên $\left[-\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ để $y = \tan x$ nhận giá trị âm.
Lời giải: Hàm số nhận giá trị âm khi phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Xét trên đoạn đã cho:
$$y < 0 \iff x \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ 0\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2};\ \pi\right)$$
HĐ7: Hàm số $y = \cot x$
a) Xét tính chẵn, lẻ
Tập xác định $D = \mathbb{R}\setminus\{k\pi\}$ đối xứng qua gốc 0. Ta có:
$$\cot(-x) = \dfrac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \dfrac{\cos x}{-\sin x} = -\cot x$$
Vậy $y = \cot x$ là hàm số lẻ.
b) Bảng giá trị trên khoảng $(0;\pi)$
| $x$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cot x$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ |
c) Nối các điểm lại ta được đồ thị Hình 1.17.
Từ đồ thị: tập giá trị là $\mathbb{R}$; hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi;\ \pi+k\pi),\ k\in\mathbb{Z}$.
Luyện tập 7
Đề: Dùng đồ thị ở Hình 1.17, tìm các giá trị $x$ trên $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]$ để $y = \cot x$ nhận giá trị dương.
Lời giải: Hàm số dương khi đồ thị nằm trên trục hoành. Trên đoạn đã cho:
$$y > 0 \iff x \in \left(0;\ \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi;\ \dfrac{3\pi}{2}\right)$$
Bài 1.15: Tìm tập xác định
a) $y = \dfrac{1-\cos x}{\sin x}$
Điều kiện: $\sin x \neq 0 \iff x \neq k\pi$.
$$\boxed{D = \mathbb{R}\setminus\{k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\}}$$
b) $y = \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2-\cos x}}$
Điều kiện: $\dfrac{1+\cos x}{2-\cos x} \ge 0$ và $2-\cos x \neq 0$.
Vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên:
- $1 + \cos x \ge 0$ (luôn đúng).
- $2 - \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$ (luôn dương).
Do đó biểu thức dưới căn luôn không âm với mọi $x$.
$$\boxed{D = \mathbb{R}}$$
Bài 1.16: Xét tính chẵn lẻ
a) $y = \sin 2x + \tan 2x$
$$f(-x) = \sin(-2x) + \tan(-2x) = -\sin 2x - \tan 2x = -f(x)$$
Vậy hàm số lẻ.
b) $y = \cos x + \sin^2 x$
$$f(-x) = \cos(-x) + \sin^2(-x) = \cos x + \sin^2 x = f(x)$$
Vậy hàm số chẵn.
c) $y = \sin x \cos 2x$
$$f(-x) = \sin(-x)\cos(-2x) = -\sin x \cos 2x = -f(x)$$
Vậy hàm số lẻ.
d) $y = \sin x + \cos x$
$$f(-x) = -\sin x + \cos x$$
Ta thấy $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
Bài 1.17: Tìm tập giá trị
a) $y = 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1$
Vì $-1 \le \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \le 1$ nên:
$$-2 \le 2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \le 2 \implies -3 \le y \le 1$$
Tập giá trị: $\boxed{[-3;\ 1]}$
b) $y = \sqrt{1+\cos x} - 2$
Vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên $0 \le 1+\cos x \le 2$, suy ra:
$$0 \le \sqrt{1+\cos x} \le \sqrt{2} \implies -2 \le y \le \sqrt{2} - 2$$
Tập giá trị: $\boxed{[-2;\ \sqrt{2}-2]}$
Bài 1.18: Giải $\tan x = 0$
Từ đồ thị $y = \tan x$, đồ thị cắt trục hoành (tức $\tan x = 0$) tại các điểm $x = 0;\ \pm\pi;\ \pm 2\pi;\dots$
$$\boxed{x = k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}}$$
Bài 1.19: Sóng biển
Cho $h(t) = 90\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)$, trong đó $h(t)$ tính bằng cm, $t$ tính bằng giây.
a) Tìm chu kì của sóng
Hàm $y = \cos(\omega t)$ có chu kì $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. Ở đây $\omega = \dfrac{\pi}{10}$:
$$T = \dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{10}} = 20 \text{ (giây)}$$
b) Tìm chiều cao của sóng
Vì $-1 \le \cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right) \le 1$ nên $-90 \le h(t) \le 90$.
- Đỉnh sóng: $h_{\max} = 90$ cm.
- Đáy sóng: $h_{\min} = -90$ cm.
Chiều cao sóng (khoảng cách đáy đến đỉnh):
$$90 - (-90) = 180 \text{ (cm)}$$