Giải Toán tập 1 trang 32

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình tương đương

• Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
• Ký hiệu: f(x) = 0 ⇔ g(x) = 0
• Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

2. Phép biến đổi tương đương

• Cộng/trừ hai vế với cùng một số hoặc biểu thức: f(x) = g(x) ⇔ f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
• Nhân/chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc biểu thức luôn khác 0: f(x) = g(x) ⇔ f(x)·h(x) = g(x)·h(x), với h(x) ≠ 0

3. Phương trình sin x = m

• Nếu |m| > 1: phương trình vô nghiệm (vì |sin x| ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ)
• Nếu |m| ≤ 1: tồn tại duy nhất α ∈ [-π/2; π/2] thỏa mãn sin α = m
• Nghiệm: x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π (k ∈ ℤ)

---

⚙️ Bài tập

---

HĐ1. Nhận biết khái niệm hai phương trình tương đương

Đề bài: Cho hai phương trình 2x - 4 = 0 và (x - 2)(x² + 1) = 0. Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.

Cách 1 — Giải trực tiếp từng phương trình

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất

• 2x - 4 = 0
• 2x = 4
• x = 2
• Tập nghiệm: S₁ = {2}

Bước 2: Giải phương trình thứ hai

• (x - 2)(x² + 1) = 0
• Trường hợp 1: x - 2 = 0 ⇒ x = 2
• Trường hợp 2: x² + 1 = 0 ⇒ x² = -1 (vô nghiệm vì x² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ)
• Tập nghiệm: S₂ = {2}

Bước 3: So sánh

• S₁ = S₂ = {2}
• Kết luận: Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương.

Cách 2 — Phân tích nhanh

• Phương trình 2x - 4 = 0 có nghiệm duy nhất x = 2
• Phương trình (x - 2)(x² + 1) = 0:
• Nhân tử x - 2 = 0 khi x = 2
• Nhân tử x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ (luôn dương, không có nghiệm)
• Vậy cả hai phương trình đều có nghiệm duy nhất x = 2 ⇒ tương đương

💡 Mẹo nhớ: Khi gặp nhân tử dạng x² + a (với a > 0), nhân tử này luôn dương nên không đóng góp nghiệm thực.

---

Luyện tập 1

Đề bài: Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

• (x - 1)/(x + 1) = 0
• x² - 1 = 0

Cách 1 — Giải từng phương trình và so sánh tập nghiệm

Bước 1: Giải phương trình (x - 1)/(x + 1) = 0

• Điều kiện xác định: x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1
• Phân thức bằng 0 khi tử số bằng 0: x - 1 = 0 ⇒ x = 1
• Kiểm tra: x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≠ -1
• Tập nghiệm: S₁ = {1}

Bước 2: Giải phương trình x² - 1 = 0

• x² - 1 = 0
• x² = 1
• x = ±1
• Tập nghiệm: S₂ = {-1; 1}

Bước 3: So sánh

• S₁ = {1}
• S₂ = {-1; 1}
• S₁ ≠ S₂

Kết luận: Hai phương trình KHÔNG tương đương.

Cách 2 — Phân tích nhân tử và xét điều kiện

• Phương trình x² - 1 = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = -1
• Phương trình (x - 1)/(x + 1) = 0 có mẫu x + 1, nên x = -1 không thuộc tập xác định
• Phương trình (x - 1)/(x + 1) = 0 chỉ có nghiệm x = 1

⇒ Phương trình thứ nhất mất nghiệm x = -1 so với phương trình thứ hai

Kết luận: Hai phương trình KHÔNG tương đương.

⚠️ Lưu ý thi: Khi biến đổi phương trình có chứa mẫu, cần kiểm tra điều kiện xác định. Việc nhân hai vế với biểu thức có thể triệt tiêu nghiệm hoặc thêm nghiệm ngoại lai.

💡 Mẹo nhớ: - Phương trình P(x)/Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 với điều kiện Q(x) ≠ 0 - Không được bỏ qua điều kiện xác định khi so sánh tập nghiệm!

---

HĐ2. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình sin x = 1/2

Đề bài:
a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Câu a)

Cách 1 — Sử dụng đường tròn lượng giác

• Trên đường tròn lượng giác, sin x = 1/2 tương ứng với các điểm có tung độ bằng 1/2
• Trong nửa khoảng [0; 2π), có hai điểm thỏa mãn:
• Điểm M ứng với góc x = π/6 (góc ở góc phần tư thứ I)
• Điểm M' ứng với góc x = π - π/6 = 5π/6 (góc ở góc phần tư thứ II)

Kết luận: Trong [0; 2π), phương trình sin x = 1/2 có hai nghiệm: x = π/6 và x = 5π/6

Cách 2 — Sử dụng đồ thị hàm số

• Vẽ đường thẳng y = 1/2 và đồ thị y = sin x
• Giao điểm trong [0; 2π) có hoành độ là nghiệm của phương trình
• Từ đồ thị Hình 1.20: hai giao điểm có hoành độ x = π/6 và x = 5π/6

Câu b)

Cách 1 — Áp dụng công thức tổng quát

• Ta có sin(π/6) = 1/2, nên α = π/6
• Hàm số sin có chu kỳ 2π
• Công thức nghiệm tổng quát của sin x = m (với |m| ≤ 1):
• x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π (k ∈ ℤ)

Áp dụng:

• x = π/6 + k2π, k ∈ ℤ
• x = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π, k ∈ ℤ

Công thức nghiệm:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

Viết gọn: x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

Cách 2 — Viết dạng thu gọn

Công thức nghiệm có thể viết gọn hơn:

• x = (-1)^k · (π/6) + kπ, k ∈ ℤ

💡 Mẹo nhớ: Với phương trình sin x = m (|m| ≤ 1): - Tìm α sao cho sin α = m với α ∈ [-π/2; π/2] - Nghiệm: x = α + k2π hoặc x = (π - α) + k2π

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Để tìm α = arcsin(1/2): Bấm SHIFT → sin → 0.5 → = - Máy trả về 30° (ở chế độ độ) hoặc π/6 (ở chế độ radian) - Chuyển sang radian: SHIFT → MODE → chọn Rad

---

🎯 Ghi nhớ: 1. Hai phương trình tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng tập nghiệm. 2. Khi biến đổi phương trình chứa mẫu, luôn kiểm tra điều kiện xác định để tránh mất nghiệm hoặc thêm nghiệm ngoại lai. 3. Phương trình sin x = m: - Vô nghiệm nếu |m| > 1 - Nếu |m| ≤ 1: x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π (với sin α = m, α ∈ [-π/2; π/2]) 4. Góc đặc biệt cần nhớ: sin(π/6) = 1/2, sin(π/4) = √2/2, sin(π/3) = √3/2