Giải Toán tập 1 trang 34

Hai trang này nằm trong bài "Phương trình lượng giác cơ bản". Dưới đây mình tóm tắt lý thuyết và giải chi tiết từng ví dụ, bài luyện tập.

Tóm tắt lý thuyết

Phương trình $\sin x = m$:

• Có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \le 1$.
• Khi $|m| \le 1$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ sao cho $\sin\alpha = m$. Khi đó:

$$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Trường hợp đặc biệt:

---

Ví dụ 2: Giải phương trình sin x = m

Công thức tổng quát dùng cho cả bài: $\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u = v + k2\pi \\ u = \pi - v + k2\pi \end{array}\right.$

a) $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vì $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ nên:

$$\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + k2\pi = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) $\sin x = \dfrac{1}{3}$

Vì $\dfrac{1}{3}$ không phải giá trị "đẹp", ta gọi $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ thoả mãn $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$ (tức $\alpha = \arcsin\dfrac{1}{3}$). Khi đó:

$$\sin x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

---

Ví dụ 3: Giải phương trình sin 2x = sin(60° − 3x)

Áp dụng công thức ở đơn vị độ:

$$\sin 2x = \sin(60^\circ - 3x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = 60^\circ - 3x + k360^\circ \\ 2x = 180^\circ - (60^\circ - 3x) + k360^\circ \end{array}\right.$$

Giải từng dòng:

• Dòng 1: $2x + 3x = 60^\circ + k360^\circ \Rightarrow 5x = 60^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = 12^\circ + k72^\circ$.
• Dòng 2: $2x = 120^\circ + 3x + k360^\circ \Rightarrow -x = 120^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = -120^\circ - k360^\circ$.

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 12^\circ + k72^\circ \\ x = -120^\circ - k360^\circ \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

---

Ví dụ 4: Bài toán tầm bắn của khẩu pháo

Quỹ đạo viên đạn là parabol: $y = \dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha$.

Cho $y = 0$ để tìm vị trí đạn chạm đất:

$$\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha = 0 \Rightarrow x = 0 \ \text{hoặc}\ x = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.$$

Tầm xa là $x = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$. Vì $\sin 2\alpha \le 1$ nên:

$$x = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} \le \frac{v_0^2}{g},$$

dấu bằng xảy ra khi $\sin 2\alpha = 1$.

Giải $\sin 2\alpha = 1 \Rightarrow 2\alpha = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow \alpha = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Do điều kiện $0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}$ nên $\alpha = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$.

Kết luận: Đạn bay xa nhất khi góc bắn bằng $45^\circ$.

---

Luyện tập 2

a) $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Vì $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{4}$:

$$\sin x = \sin\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

b) $\sin 3x = -\sin 5x$

Viết $-\sin 5x = \sin(-5x)$:

$$\sin 3x = \sin(-5x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x = -5x + k2\pi \\ 3x = \pi - (-5x) + k2\pi \end{array}\right.$$

• Dòng 1: $8x = k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{4}$.
• Dòng 2: $3x = \pi + 5x + k2\pi \Rightarrow -2x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (đặt $k \to -k$).

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{k\pi}{4} \\ x = -\dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

---

Mục 3: Phương trình cos x = m — Hoạt động HĐ3

Nhận biết công thức nghiệm của $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ qua đường tròn lượng giác (Hình 1.22a) và đồ thị (Hình 1.23).

a) Tìm nghiệm trong nửa khoảng $[-\pi; \pi)$

Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng $x = -\dfrac{1}{2}$ cắt đường tròn tại hai điểm $M$ và $M'$ đối xứng qua trục hoành, ứng với hai góc:

$$x = \frac{2\pi}{3} \quad \text{và}\quad x = -\frac{2\pi}{3}.$$

(Đây là cách nhớ: $\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$.)

b) Viết công thức nghiệm tổng quát

Dựa vào tính tuần hoàn chu kì $2\pi$ của hàm côsin, cộng thêm bội nguyên của $2\pi$ vào hai nghiệm trên:

$$\cos x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}),$$

hay viết gọn $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.

Minh hoạ bằng đồ thị: nghiệm chính là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y = -\dfrac{1}{2}$ với đồ thị $y = \cos x$ (Hình 1.23).

---