Giải Toán tập 1 trang 36

Mình thấy hai trang ảnh được đánh số 35 và 36 (không phải 36–37), nên mình dùng đúng số trang trong ảnh cho khớp nhé. Đây là phần thuộc bài "Phương trình lượng giác cơ bản".

Tóm tắt lý thuyết

Phương trình $\cos x = m$:

• Có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \le 1$.
• Khi $|m| \le 1$, tồn tại duy nhất $\alpha \in [0;\pi]$ sao cho $\cos\alpha = m$, khi đó:

$$\cos x = m \Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp đặc biệt:

• $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
• $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$
• $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$

Phương trình $\tan x = m$:

• Có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$.
• Tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ sao cho $\tan\alpha = m$, khi đó:

$$\tan x = m \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

---

Luyện tập 3: Giải phương trình $\cos$

Đề

a) $2\cos x = -\sqrt{2}$

b) $\cos 3x - \sin 5x = 0$

Giải

a) Chia hai vế cho 2:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{3\pi}{4}$$

$$\Leftrightarrow x = \pm\frac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Ta đưa $\sin 5x$ về dạng $\cos$ bằng công thức $\sin t = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)$:

$$\cos 3x = \sin 5x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right)$$

$$\Leftrightarrow 3x = \pm\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right) + k2\pi$$

Trường hợp 1:

$$3x = \frac{\pi}{2} - 5x + k2\pi \Leftrightarrow 8x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{4}$$

Trường hợp 2:

$$3x = -\frac{\pi}{2} + 5x + k2\pi \Leftrightarrow -2x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $x = \dfrac{\pi}{16} + k\dfrac{\pi}{4}$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

---

Vận dụng: Các pha của Mặt Trăng

Đề

Tỉ lệ phần Mặt Trăng được chiếu sáng: $F = \dfrac{1}{2}(1 - \cos\alpha)$ với $0^\circ \le \alpha \le 360^\circ$. Xác định góc $\alpha$ ứng với:
a) $F = 0$ (trăng mới)
b) $F = 0{,}25$ (trăng lưỡi liềm)
c) $F = 0{,}5$ (trăng bán nguyệt)
d) $F = 1$ (trăng tròn)

Giải

Từ $F = \dfrac{1}{2}(1 - \cos\alpha)$ suy ra $\cos\alpha = 1 - 2F$.

Giải thích: trăng mới khi Mặt Trời, Trái Đất, Mặt Trăng gần thẳng hàng cùng phía ($\alpha = 0^\circ$); trăng tròn khi chúng thẳng hàng nhưng Mặt Trăng ở phía đối diện ($\alpha = 180^\circ$). Rất khớp với thực tế.

---

HĐ4: Nhận biết công thức nghiệm của $\tan x = 1$

Đề

a) Đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị $y = \tan x$ tại mấy điểm trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, viết công thức nghiệm.

Giải

a) Trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$, hàm $y = \tan x$ đồng biến và nhận mọi giá trị thực, nên đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị tại đúng 1 điểm, đó là điểm có hoành độ $x = \dfrac{\pi}{4}$.

b) Hàm tang tuần hoàn với chu kì $\pi$, nên:

$$\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

---

Luyện tập 4: Giải phương trình $\tan$

Đề

a) $\sqrt{3}\tan 2x = -1$

b) $\tan 3x + \tan 5x = 0$

Giải

a) Chuyển vế:

$$\tan 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

$$\Leftrightarrow 2x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Điều kiện: $\cos 3x \ne 0$ và $\cos 5x \ne 0$. Ta có:

$$\tan 5x = -\tan 3x = \tan(-3x)$$

$$\Leftrightarrow 5x = -3x + k\pi \Leftrightarrow 8x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{8}$$

Đối chiếu điều kiện: cần loại các giá trị làm $\cos 3x = 0$ hoặc $\cos 5x = 0$. Kiểm tra thấy điều này xảy ra khi $k = 4 + 8n$ (ứng với $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$).

Vậy nghiệm là $x = \dfrac{k\pi}{8}$ với $k \in \mathbb{Z}$, $k \ne 4 + 8n$ $(n \in \mathbb{Z})$.

---

Nếu em muốn mình giải kỹ thêm Ví dụ 5, 6, 7 (phần lời giải mẫu đã in sẵn trong sách) hay làm thêm bài tập tương tự để luyện tay, cứ nói nhé.