Giải Toán tập 1 trang 40

Hai trang này thuộc phần BÀI TẬP và BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I (chủ đề Lượng giác). Mình giải chi tiết toàn bộ nhé.

---

Bài 1.20: Giải phương trình lượng giác cơ bản

a) $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có $\dfrac{\sqrt 3}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}$ nên:
$$x = \frac{\pi}{3}+k2\pi \quad\text{hoặc}\quad x = \frac{2\pi}{3}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z})$$

b) $2\cos x = -\sqrt{2} \Rightarrow \cos x = -\dfrac{\sqrt 2}{2}=\cos\dfrac{3\pi}{4}$
$$x = \pm\frac{3\pi}{4}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z})$$

c) $\sqrt 3\tan\!\left(\dfrac{x}{2}+15^\circ\right)=1 \Rightarrow \tan\!\left(\dfrac{x}{2}+15^\circ\right)=\dfrac{1}{\sqrt 3}=\tan 30^\circ$

$$\frac{x}{2}+15^\circ = 30^\circ + k180^\circ \Rightarrow \frac{x}{2}=15^\circ+k180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ + k360^\circ$$

d) $\cot(2x-1)=\cot\dfrac{\pi}{5}$
$$2x-1 = \frac{\pi}{5}+k\pi \Rightarrow x = \frac{1}{2}+\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{2} \quad (k\in\mathbb{Z})$$

---

Bài 1.21: Phương trình đưa về cùng hàm

a) $\sin 2x + \cos 4x = 0 \Rightarrow \cos 4x = -\sin 2x = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+2x\right)$

• $4x = \dfrac{\pi}{2}+2x+k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4}+k\pi$
• $4x = -\dfrac{\pi}{2}-2x+k2\pi \Rightarrow 6x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{3}$

b) $\cos 3x = -\cos 7x = \cos(\pi-7x)$

• $3x = \pi-7x+k2\pi \Rightarrow 10x = \pi+k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{10}+\dfrac{k\pi}{5}$
• $3x = -(\pi-7x)+k2\pi \Rightarrow -4x = -\pi+k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$

---

Bài 1.22: Quỹ đạo đạn pháo

Cho $v_0 = 500$ m/s, $g = 9{,}8$ m/s², quỹ đạo:

$$y = \frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha$$

a) Tầm xa. Đạn chạm đất khi $y=0,\ x\neq 0$:

$$\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x + \tan\alpha = 0 \Rightarrow x = \frac{2v_0^2\cos^2\alpha\tan\alpha}{g}=\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$$

$$\boxed{L = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}=\frac{500^2\sin 2\alpha}{9{,}8}\approx 25510\sin 2\alpha \ (\text{m})}$$

b) Trúng mục tiêu cách 22 000 m:
$$\frac{250000\sin 2\alpha}{9{,}8}=22000 \Rightarrow \sin 2\alpha = \frac{22000\cdot 9{,}8}{250000}=0{,}8624$$

$$2\alpha \approx 59{,}6^\circ \ \text{hoặc}\ 120{,}4^\circ \Rightarrow \alpha \approx 29{,}8^\circ \ \text{hoặc}\ \alpha \approx 60{,}2^\circ$$

c) Độ cao lớn nhất. Độ cao cực đại của quỹ đạo là $H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$, đạt giá trị lớn nhất khi $\sin^2\alpha$ lớn nhất, tức $\sin\alpha = 1$:
$$\alpha = 90^\circ \ \left(\tfrac{\pi}{2}\right)$$
Khi đó đạn bắn thẳng đứng và đạt độ cao lớn nhất.

---

Bài 1.23: Dao động điều hòa

$x = 2\cos\!\left(5t-\dfrac{\pi}{6}\right)$, $t\in[0;6]$ (giây). Vật qua vị trí cân bằng khi $x=0$:

$$\cos\!\left(5t-\frac{\pi}{6}\right)=0 \Rightarrow 5t-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow t = \frac{2\pi}{15}+\frac{k\pi}{5}$$

Yêu cầu $0\le t\le 6$, với $t\approx 0{,}4189 + 0{,}6283k$:

Với $k=9$: $t\approx 6{,}07 > 6$ (loại). Vậy có 9 giá trị thỏa mãn.

➡️ Trong 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

---

Bài 1.24: Điểm biểu diễn trùng nhau

Hai góc trùng điểm biểu diễn khi hơn kém nhau bội của $2\pi$.

$$\gamma=\frac{25\pi}{3}=\frac{25\pi}{3}-8\pi=\frac{\pi}{3}=\beta$$

Vậy $\beta$ và $\gamma$ trùng nhau. ✅ Đáp án A

Bài 1.25: Khẳng định sai

$\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$, không phải $\cos\alpha$.

➡️ Đáp án B (sai).

Bài 1.26: Khẳng định sai

$\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ (dấu cộng), nên A viết dấu trừ là sai.

➡️ Đáp án A (sai).

Bài 1.27: Rút gọn biểu thức

$$M = \cos(a+b)\cos(a-b)-\sin(a+b)\sin(a-b)$$

Áp dụng $\cos X\cos Y - \sin X\sin Y = \cos(X+Y)$ với $X=a+b,\ Y=a-b$:
$$M = \cos\big[(a+b)+(a-b)\big]=\cos 2a = 1-2\sin^2 a$$

➡️ Đáp án C.

Bài 1.28: Khẳng định sai

Hàm $y=\cos x$ là hàm số chẵn (vì $\cos(-x)=\cos x$), không phải hàm lẻ.

➡️ Đáp án C (sai).

Bài 1.29: Hàm tuần hoàn

$y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$. Các hàm còn lại không tuần hoàn.

➡️ Đáp án C.

Bài 1.30: Số giao điểm trên $\left[-2\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$

$\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4}+k\pi$.

Xét $-2\pi\le \dfrac{\pi}{4}+k\pi \le \dfrac{5\pi}{2}$, tức $k\in\{-2;-1;0;1;2\}$ → 5 điểm.

➡️ Đáp án A.

Bài 1.31: Tập xác định của $y=\dfrac{\cos x}{\sin x - 1}$

Điều kiện: $\sin x - 1 \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$.

$$D = \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k2\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

➡️ Đáp án B.

---

Tóm gọn đáp án trắc nghiệm: 1.24 – A, 1.25 – B, 1.26 – A, 1.27 – C, 1.28 – C, 1.29 – C, 1.30 – A, 1.31 – B.

Bạn cần mình vẽ thêm minh họa đường tròn lượng giác cho Bài 1.24 hay làm rõ bước nào không?