Giải Toán tập 1 trang 42

Hai trang này gồm phần cuối của bài ôn tập chương (B – Tự luận, các bài 1.32 đến 1.37) và phần mở đầu Chương II – Bài 5: Dãy số. Mình giải hết phần tự luận rồi tóm tắt lý thuyết bài mới nhé.

Bài 1.32: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Đề: Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Tính các biểu thức.

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (góc phần tư thứ II) nên $\sin\alpha > 0$.

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Và $\cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt3} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$.

a)

$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cdot\frac12 = \boxed{\frac{3\sqrt2 - \sqrt3}{6}}$$

b)

$$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac12 = \boxed{-\frac{3+\sqrt6}{6}}$$

c)

$$\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac12 - \left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \boxed{\frac{\sqrt6+3}{6}}$$

d)

$$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac12 = \boxed{\frac{\sqrt6-3}{6}}$$

Bài 1.33: Chứng minh đẳng thức

a) $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha$

$$VT = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \underbrace{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}_{=1} + \underbrace{2\sin\alpha\cos\alpha}_{=\sin 2\alpha} = 1 + \sin 2\alpha = VP \;\;\square$$

b) $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha$

$$VT = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)\cdot 1 = \cos 2\alpha = VP \;\;\square$$

Bài 1.34: Tìm tập giá trị của hàm số

a) $y = 2\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$

Vì $-1 \le \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) \le 1$ nên:
$$-2 \le 2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1$$

Tập giá trị: $\boxed{[-3;\,1]}$

b) $y = \sin x + \cos x$

Biến đổi: $y = \sqrt2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$. Vì $\sin \in [-1;1]$ nên $-\sqrt2 \le y \le \sqrt2$.

Tập giá trị: $\boxed{[-\sqrt2;\,\sqrt2]}$

Bài 1.35: Giải phương trình

a) $\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$

$$3x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4} + k2\pi$$

• Với dấu $+$: $3x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k2\pi}{3}$
• Với dấu $-$: $3x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k2\pi}{3}$

$(k\in\mathbb{Z})$

b) $2\sin^2 x - 1 + \cos 3x = 0$

Dùng $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$:

$$1 - \cos 2x - 1 + \cos 3x = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = \cos 2x$$

$$3x = \pm 2x + k2\pi$$

• Dấu $+$: $x = k2\pi$
• Dấu $-$: $5x = k2\pi \Rightarrow x = \dfrac{k2\pi}{5}$

Họ nghiệm $x = k2\pi$ đã nằm trong $x = \dfrac{k2\pi}{5}$, nên nghiệm: $\boxed{x = \dfrac{k2\pi}{5},\; k\in\mathbb{Z}}$

c) $\tan\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \tan\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$

$$2x + \frac{\pi}{5} = x - \frac{\pi}{6} + k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{5} + k\pi = \boxed{-\frac{11\pi}{30} + k\pi}\;\;(k\in\mathbb{Z})$$

Bài 1.36: Bài toán huyết áp

Mô hình: $p(t) = 115 + 25\sin(160\pi t)$.

a) Chu kì của hàm số:
$$T = \frac{2\pi}{160\pi} = \frac{1}{80} \text{ (phút)}$$

b) Số nhịp tim mỗi phút chính là số chu kì trong 1 phút:
$$\frac{1}{T} = 80 \text{ nhịp/phút}$$

c) Chỉ số huyết áp:

• Huyết áp tâm thu (lớn nhất): $115 + 25 = 140$ mmHg
• Huyết áp tâm trương (nhỏ nhất): $115 - 25 = 90$ mmHg

Vậy chỉ số là 140/90. So với chỉ số bình thường 120/80, huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài 1.37: Định luật khúc xạ ánh sáng

Đề: $\dfrac{\sin i}{\sin r} = \dfrac{n_2}{n_1}$, với $i = 50^\circ$, $n_1 = 1$, $n_2 = 1{,}33$. Tính góc khúc xạ $r$.

$$\sin r = \frac{n_1}{n_2}\sin i = \frac{1}{1{,}33}\cdot\sin 50^\circ \approx \frac{0{,}766}{1{,}33} \approx 0{,}576$$

$$\Rightarrow r \approx 35^\circ$$

Tia sáng khi đi từ không khí vào nước (môi trường chiết quang hơn) thì bị lệch gần pháp tuyến hơn, nên $r < i$ là hợp lý.

---

Tóm tắt lý thuyết – Bài 5: Dãy số

Chương này giới thiệu khái niệm dãy số (hữu hạn và vô hạn) — một loại hàm số có biến số là các số nguyên dương, cùng hai dãy đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân.

Bài toán mở đầu: Số dân $P_n = 500(1+0{,}02)^n$ (nghìn người) sau $n$ năm kể từ 2020. Năm 2030 ứng với $n = 10$:
$$P_{10} = 500(1{,}02)^{10} \approx 500 \times 1{,}219 \approx 609{,}5 \text{ (nghìn người)}$$

HĐ1 – Nhận biết dãy số vô hạn: Năm số chính phương đầu là $1, 4, 9, 16, 25$, suy ra số chính phương thứ $n$ là $n^2$.

Định nghĩa dãy số vô hạn:

Chú ý: Nếu $\forall n \in \mathbb{N}^*,\, u_n = c$ (hằng số) thì $(u_n)$ là dãy số không đổi.

Đây là phần lý thuyết mở đầu nên chưa có bài tập, bạn nắm chắc các khái niệm này trước khi sang phần tiếp theo nhé.