Giải Toán tập 1 trang 44

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 44–45

🔍 Kiến thức cần nhớ

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m} với m ∈ ℕ* được gọi là một dãy số hữu hạn
Dạng khai triển: u₁, u₂, ..., uₘ
u₁ gọi là số hạng đầu, uₘ gọi là số hạng cuối

Các cách cho một dãy số

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn và có ít số hạng)
Công thức của số hạng tổng quát
Phương pháp mô tả
Phương pháp truy hồi (hệ thức truy hồi)

Hệ thức truy hồi

Là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

⚙️ Bài tập

Câu HĐ2 (Hoạt động 2)

Đề bài: Nhận biết dãy số hữu hạn
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Viết công thức số hạng uₙ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Cách 1 — Phương pháp liệt kê trực tiếp

a) Liệt kê các số chính phương nhỏ hơn 50:

Số chính phương là số có dạng k² với k ∈ ℕ.

Ta tính lần lượt:

1² = 1 < 50 ✓
2² = 4 < 50 ✓
3² = 9 < 50 ✓
4² = 16 < 50 ✓
5² = 25 < 50 ✓
6² = 36 < 50 ✓
7² = 49 < 50 ✓
8² = 64 > 50 ✗

Đáp số: Các số chính phương nhỏ hơn 50 sắp xếp từ bé đến lớn: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49

b) Công thức số hạng tổng quát:

Nhận xét: Số hạng thứ n chính là n²

Công thức: uₙ = n² với n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} hay 1 ≤ n ≤ 7, n ∈ ℕ*

Cách 2 — Phương pháp tìm giới hạn

Ta cần tìm k lớn nhất sao cho k² < 50.

Vì √50 ≈ 7,07 nên k_max = 7.

Do đó dãy số có 7 số hạng: u₁ = 1², u₂ = 2², ..., u₇ = 7²

Công thức: uₙ = n² với 1 ≤ n ≤ 7

💡 Mẹo nhớ: Số chính phương nhỏ hơn N thì số hạng cuối là [√N]² (với [x] là phần nguyên của x)

Câu Luyện tập 1

Đề bài:
a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (liệt kê rồi tìm quy luật)

a) Tìm số hạng tổng quát:

Liệt kê các số tự nhiên chia 5 dư 1:

1 ÷ 5 = 0 dư 1 → u₁ = 1
6 ÷ 5 = 1 dư 1 → u₂ = 6
11 ÷ 5 = 2 dư 1 → u₃ = 11
16 ÷ 5 = 3 dư 1 → u₄ = 16
21 ÷ 5 = 4 dư 1 → u₅ = 21
...

Nhận xét quy luật:

u₁ = 1 = 5×0 + 1 = 5×1 - 4
u₂ = 6 = 5×1 + 1 = 5×2 - 4
u₃ = 11 = 5×2 + 1 = 5×3 - 4
uₙ = 5×(n-1) + 1 = 5n - 5 + 1 = 5n - 4

Đáp số: uₙ = 5n - 4 với n ∈ ℕ*

b) Dãy số hữu hạn gồm 5 số hạng đầu:

Dãy số: 1, 6, 11, 16, 21

Số hạng đầu: u₁ = 1
Số hạng cuối: u₅ = 21

Cách 2 — Phương pháp dùng tính chất số học

a) Số chia 5 dư 1 có dạng tổng quát: 5k + 1 với k ∈ ℕ (k = 0, 1, 2, ...)

Khi k = 0 → số hạng đầu = 1
Khi k = 1 → số hạng thứ 2 = 6
...

Khi k = n - 1 → số hạng thứ n = 5(n-1) + 1 = 5n - 4

Công thức: uₙ = 5n - 4 với n ∈ ℕ*

⚠️ Lưu ý thi: Số chia cho a dư r (với 0 ≤ r < a) có công thức tổng quát dạng uₙ = a×n + c. Cần xác định c bằng cách thử với n = 1.

Câu HĐ3 (Hoạt động 3)

Đề bài: Nhận biết các cách cho một dãy số

Xét dãy số (uₙ) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát uₙ của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Công thức số hạng tổng quát:

Liệt kê: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

Nhận xét:

u₁ = 5 = 5×1
u₂ = 10 = 5×2
u₃ = 15 = 5×3
uₙ = 5×n

Đáp số: uₙ = 5n với n ∈ ℕ*

b) Hệ thức truy hồi:

Số hạng đầu: u₁ = 5

Tìm mối liên hệ giữa uₙ và uₙ₋₁:

Hiệu hai số hạng liên tiếp: uₙ - uₙ₋₁ = 5n - 5(n-1) = 5n - 5n + 5 = 5

Do đó: uₙ = uₙ₋₁ + 5 với n ≥ 2

Đáp số:

Số hạng đầu: u₁ = 5
Hệ thức truy hồi: uₙ = uₙ₋₁ + 5 (với n ≥ 2)

Cách 2 — Nhận xét trực tiếp từ dãy số

Dãy số 5, 10, 15, 20, ... là dãy cấp số cộng với công sai d = 5.

a) Công thức tổng quát: uₙ = u₁ + (n-1)×d = 5 + (n-1)×5 = 5n

b) Hệ thức truy hồi của cấp số cộng: uₙ = uₙ₋₁ + d = uₙ₋₁ + 5

💡 Mẹo nhớ: Dãy số có các số hạng cách đều nhau một khoảng d thì hệ thức truy hồi luôn có dạng uₙ = uₙ₋₁ + d

Câu Luyện tập 2

Đề bài:
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (uₙ) với số hạng tổng quát uₙ = n!
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fₙ) cho bởi hệ thức truy hồi:

F₁ = 1, F₂ = 1
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 3)

Cách 1 — Tính trực tiếp

a) Dãy số với uₙ = n!

Nhắc lại: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n (giai thừa của n)

Tính từng số hạng:

u₁ = 1! = 1
u₂ = 2! = 1 × 2 = 2
u₃ = 3! = 1 × 2 × 3 = 6
u₄ = 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
u₅ = 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Đáp số: Năm số hạng đầu: 1, 2, 6, 24, 120

b) Dãy số Fibonacci:

Áp dụng hệ thức truy hồi Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂:

F₁ = 1 (cho trước)
F₂ = 1 (cho trước)
F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2
F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3
F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5

Đáp số: Năm số hạng đầu: 1, 1, 2, 3, 5

Cách 2 — Sử dụng tính chất

a) Nhận xét: uₙ = n! = n × (n-1)! = n × uₙ₋₁

Có thể dùng hệ thức truy hồi: uₙ = n × uₙ₋₁ với u₁ = 1

b) Dãy Fibonacci là dãy nổi tiếng trong toán học, mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng liền trước.

💡 Mẹo bấm máy: Để tính giai thừa trên Casio fx-580VN X: - Nhập số n → nhấn x! (trong menu MATH hoặc phím OPTN) - Ví dụ: 5! → nhập 5 → nhấn x! → = → kết quả 120

⚠️ Lưu ý thi: Dãy Fibonacci thường xuất hiện trong đề thi với yêu cầu: - Tìm các số hạng đầu - Chứng minh tính chất (ví dụ: F₁ + F₂ + ... + Fₙ = Fₙ₊₂ - 1) - Cần nhớ: F₁ = F₂ = 1, từ số hạng thứ 3 trở đi cộng hai số liền trước

🎯 Ghi nhớ: - Dãy số hữu hạn có số hạng đầu u₁ và số hạng cuối uₘ - Có 4 cách cho dãy số: liệt kê, công thức tổng quát, mô tả, truy hồi - Hệ thức truy hồi biểu diễn uₙ qua các số hạng đứng trước (uₙ₋₁, uₙ₋₂, ...) - Dãy Fibonacci: Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ là ví dụ điển hình của hệ thức truy hồi

Chế độ đọc sách →