Giải Toán tập 1 trang 46

Trước khi vào bài, mình lưu ý nhỏ: số trang in trên ảnh là 45 và 46, nhưng mình vẫn trình bày theo yêu cầu header của bạn nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Phần này (mục 3) nói về ba khái niệm quan trọng của dãy số:

Dãy số tăng – dãy số giảm

• Dãy $(u_n)$ là dãy số tăng nếu $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
• Dãy $(u_n)$ là dãy số giảm nếu $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
• Cách làm phổ biến: xét dấu của hiệu $u_{n+1} - u_n$.

Dãy số bị chặn

• Bị chặn trên: tồn tại $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n$.
• Bị chặn dưới: tồn tại $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n$.
• Bị chặn: vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức $m \le u_n \le M$.

---

HĐ4: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

a) Xét $(u_n)$ với $u_n = 3n - 1$.

$$u_{n+1} = 3(n+1) - 1 = 3n + 2$$

$$u_{n+1} - u_n = (3n+2) - (3n-1) = 3 > 0$$

Vậy $u_{n+1} > u_n$ → dãy tăng.

b) Xét $(v_n)$ với $v_n = \dfrac{1}{n^2}$.

$$v_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2}$$

Vì $(n+1)^2 > n^2$ nên $\dfrac{1}{(n+1)^2} < \dfrac{1}{n^2}$, tức $v_{n+1} < v_n$ → dãy giảm.

---

Ví dụ 7 (tham khảo): $u_n = -2n + 5$

Sách giải sẵn: $u_{n+1} - u_n = -2 < 0$ nên dãy giảm. Đây là mẫu để mình áp dụng cho các bài sau.

---

Luyện tập 3: Xét tính tăng, giảm của $u_n = \dfrac{1}{n+1}$

Đề: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n+1}$.

Lời giải:
$$u_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+1} = \frac{1}{n+2}$$

Vì $n + 2 > n + 1 > 0$ nên $\dfrac{1}{n+2} < \dfrac{1}{n+1}$, tức $u_{n+1} < u_n$.

Đáp án: dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

---

HĐ5: Nhận biết dãy số bị chặn

Cho $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n+1}{n}$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.

Trước hết viết lại cho gọn: $u_n = \dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$.

a) So sánh $u_n$ và $1$:

Vì $\dfrac{1}{n} > 0$ nên $u_n = 1 + \dfrac{1}{n} > 1$. Vậy $u_n > 1$.

b) So sánh $u_n$ và $2$:

Vì $n \ge 1$ nên $\dfrac{1}{n} \le 1$, do đó $u_n = 1 + \dfrac{1}{n} \le 2$. Vậy $u_n \le 2$.

Kết luận: $1 < u_n \le 2$ → dãy bị chặn.

---

Ví dụ 8 (tham khảo): $u_n = \dfrac{n-1}{n}$

Sách viết $u_n = 1 - \dfrac{1}{n}$, từ đó $0 \le u_n < 1$ nên dãy bị chặn. Đây là kỹ thuật tách phân thức rất hay dùng.

---

Luyện tập 4: Xét tính bị chặn của $u_n = 2n - 1$

Đề: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n - 1$.

Lời giải:

• Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $n \ge 1$ nên $u_n = 2n - 1 \ge 2\cdot 1 - 1 = 1$. Vậy dãy bị chặn dưới (bởi $m = 1$).
• Khi $n$ tăng vô hạn thì $u_n = 2n - 1$ tăng vô hạn, không có số $M$ nào chặn trên được. Vậy dãy không bị chặn trên.

Đáp án: dãy $(u_n)$ chỉ bị chặn dưới, không bị chặn.

---

Vận dụng: Bài toán lương của anh Thanh

Cho $s_1 = 200$, $s_n = s_{n-1} + 25$ với $n \ge 2$ (đơn vị: triệu đồng).

a) Tính lương năm thứ 5:

Vậy lương năm thứ 5 là $s_5 = 300$ triệu đồng.

b) Chứng minh $(s_n)$ là dãy tăng:

$$s_n - s_{n-1} = 25 > 0 \quad \Rightarrow \quad s_n > s_{n-1}$$

Vậy $(s_n)$ là dãy số tăng.

Ý nghĩa thực tế: lương của anh Thanh năm sau luôn cao hơn năm trước (mỗi năm tăng thêm 25 triệu đồng), phù hợp với cam kết của công ty.

---

BÀI TẬP

Bài 2.1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100

a) $u_n = 3n - 2$

• $u_1 = 1,\ u_2 = 4,\ u_3 = 7,\ u_4 = 10,\ u_5 = 13$
• $u_{100} = 3\cdot 100 - 2 = 298$

b) $u_n = 3\cdot 2^n$

• $u_1 = 6,\ u_2 = 12,\ u_3 = 24,\ u_4 = 48,\ u_5 = 96$
• $u_{100} = 3\cdot 2^{100}$

c) $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$

• $u_1 = 2,\quad u_2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$
• $u_3 = \left(\dfrac{4}{3}\right)^3 = \dfrac{64}{27},\quad u_4 = \left(\dfrac{5}{4}\right)^4 = \dfrac{625}{256}$
• $u_5 = \left(\dfrac{6}{5}\right)^5 = \dfrac{7776}{3125}$
• $u_{100} = \left(1 + \dfrac{1}{100}\right)^{100} = \left(\dfrac{101}{100}\right)^{100}$

Bài 2.2: Dãy cho bởi hệ thức truy hồi $u_1 = 1,\ u_n = n\cdot u_{n-1}$

a) Năm số hạng đầu:

• $u_1 = 1$
• $u_2 = 2\cdot u_1 = 2$
• $u_3 = 3\cdot u_2 = 6$
• $u_4 = 4\cdot u_3 = 24$
• $u_5 = 5\cdot u_4 = 120$

b) Dự đoán công thức tổng quát:

Quan sát: $1 = 1!,\ 2 = 2!,\ 6 = 3!,\ 24 = 4!,\ 120 = 5!$

$$\boxed{u_n = n! = 1\cdot 2\cdot 3 \cdots n}$$

Bài 2.3: Xét tính tăng, giảm

a) $u_n = 2n - 1$:

$$u_{n+1} - u_n = [2(n+1)-1] - [2n-1] = 2 > 0$$
→ dãy số tăng.

b) $u_n = -3n + 2$:

$$u_{n+1} - u_n = [-3(n+1)+2] - [-3n+2] = -3 < 0$$
→ dãy số giảm.

c) $u_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}$:

Tính vài số hạng: $u_1 = \dfrac{1}{2},\ u_2 = -\dfrac{1}{4},\ u_3 = \dfrac{1}{8}$.

Ta thấy $u_1 > u_2$ nhưng $u_2 < u_3$, dấu của các số hạng thay đổi liên tục.

→ dãy số không tăng, không giảm.

Bài 2.4: Xét tính bị chặn

a) $u_n = n - 1$:

• $u_n = n - 1 \ge 0$ → bị chặn dưới.
• $u_n \to +\infty$ → không bị chặn trên.
• Kết luận: chỉ bị chặn dưới.

b) $u_n = \dfrac{n+1}{n+2} = 1 - \dfrac{1}{n+2}$:

• Vì $\dfrac{1}{n+2} > 0$ nên $u_n < 1$ → bị chặn trên.
• Vì $n \ge 1$ nên $u_n \ge \dfrac{2}{3} > 0$ → bị chặn dưới.
• Kết luận: bị chặn (cả trên và dưới).

c) $u_n = \sin n$:

• Luôn có $-1 \le \sin n \le 1$.
• Kết luận: bị chặn (vừa chặn trên bởi 1, vừa chặn dưới bởi $-1$).

d) $u_n = (-1)^{n-1} n^2$:

• $u_1 = 1,\ u_2 = -4,\ u_3 = 9,\ u_4 = -16,\ldots$
• Các số hạng lẻ $\to +\infty$, các số hạng chẵn $\to -\infty$.
• Kết luận: không bị chặn trên, không bị chặn dưới → không bị chặn.

Bài 2.5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng

a) Các số nguyên dương chia hết cho 3: $3, 6, 9, 12, \ldots$
$$u_n = 3n$$

b) Các số nguyên dương chia 4 dư 1: $1, 5, 9, 13, \ldots$ (mỗi số cách nhau 4 đơn vị, bắt đầu từ 1)

$$u_n = 4n - 3$$

Bài 2.6: Bài toán lãi kép của ông An

Công thức: $A_n = 100\left(1 + \dfrac{0,06}{12}\right)^n = 100\,(1{,}005)^n$ (triệu đồng).

a) Số tiền sau tháng thứ nhất và thứ hai:

$$A_1 = 100\cdot (1{,}005)^1 = 100{,}5 \text{ (triệu đồng)}$$
$$A_2 = 100\cdot (1{,}005)^2 = 100\cdot 1{,}010025 = 101{,}0025 \text{ (triệu đồng)}$$

b) Số tiền sau 1 năm (tức 12 tháng):

$$A_{12} = 100\cdot (1{,}005)^{12} \approx 100\cdot 1{,}061678 \approx 106{,}17 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy sau 1 năm ông An nhận được khoảng 106,17 triệu đồng.

---

Một mẹo nhỏ để nhớ lâu: với bài tăng/giảm thì luôn xét dấu hiệu $u_{n+1} - u_n$; với bài bị chặn thì cố gắng tách phân thức về dạng "hằng số $\pm$ phần nhỏ dần" như $1 + \dfrac{1}{n}$, sẽ thấy ngay chặn trên và chặn dưới. Bạn cần mình giải kỹ thêm bài nào không?