Giải Toán tập 1 trang 48
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 48–49
🔍 Kiến thức cần nhớ
Bài 2.7 (trang 47) - Dãy số truy hồi trong bài toán lãi suất
Kiến thức áp dụng:
- Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
- Lãi suất kép: Tiền lãi được tính trên số tiền còn nợ
- Công thức: Tiền nợ mới = Tiền nợ cũ + Lãi - Tiền trả
Bài 6 - Cấp số cộng (trang 48)
Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Công sai: Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Hệ thức truy hồi: u_n = u_(n-1) + d với n ≥ 2
⚙️ Bài tập
Bài 2.7
Đề bài: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi A_n (n ∈ ℕ) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng.
a) Tìm lần lượt A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (A_n).
Cách 1 — Phương pháp tính trực tiếp từng tháng
Phân tích bài toán:
- Vốn vay ban đầu: 100 triệu đồng
- Mỗi tháng trả: 2 triệu đồng
- Lãi suất: 0,8% = 0,008 (tính trên số tiền còn nợ)
Quy trình mỗi tháng:
- Cuối tháng: Số tiền nợ mới = Số tiền nợ cũ × (1 + 0,008) - 2
a) Tính A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6:
A_0 = 100 (triệu đồng) — số tiền nợ ban đầu
A_1 = A_0 × 1,008 - 2 = 100 × 1,008 - 2 = 100,8 - 2 = 98,8 (triệu đồng)
A_2 = A_1 × 1,008 - 2 = 98,8 × 1,008 - 2 = 99,5904 - 2 = 97,5904 (triệu đồng)
A_3 = A_2 × 1,008 - 2 = 97,5904 × 1,008 - 2 = 98,3711232 - 2 = 96,3711232 (triệu đồng)
A_4 = A_3 × 1,008 - 2 = 96,3711232 × 1,008 - 2 = 97,1420922 - 2 = 95,1420922 (triệu đồng)
A_5 = A_4 × 1,008 - 2 = 95,1420922 × 1,008 - 2 = 95,9032289 - 2 = 93,9032289 (triệu đồng)
A_6 = A_5 × 1,008 - 2 = 93,9032289 × 1,008 - 2 = 94,6544547 - 2 = 92,6544547 (triệu đồng)
Kết quả (làm tròn đến 4 chữ số thập phân):
| n | A_n (triệu đồng) |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 1 | 98,8 |
| 2 | 97,5904 |
| 3 | 96,3711 |
| 4 | 95,1421 |
| 5 | 93,9032 |
| 6 | 92,6545 |
Vậy sau 6 tháng, chị Hương còn nợ khoảng 92,6545 triệu đồng ≈ 92,65 triệu đồng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi:
Từ cách tính ở trên, ta thấy:
- A_1 = A_0 × 1,008 - 2
- A_2 = A_1 × 1,008 - 2
- ...
Hệ thức truy hồi:
$$\boxed{A_n = 1,008 × A_{n-1} - 2}$$ với n ≥ 1
Hoặc viết dưới dạng:
A_n = 1,008 × A_(n-1) - 2 với n ≥ 1 và A_0 = 100
Cách 2 — Phương pháp phân tích công thức
Gọi:
- r = 0,008 (lãi suất)
- T = 2 (số tiền trả mỗi tháng)
- A_0 = 100 (vốn vay ban đầu)
Mỗi tháng:
- Lãi phát sinh = A_(n-1) × r
- Số tiền nợ sau khi cộng lãi = A_(n-1) + A_(n-1) × r = A_(n-1) × (1 + r)
- Số tiền còn nợ sau khi trả = A_(n-1) × (1 + r) - T
Hệ thức truy hồi tổng quát:
A_n = (1 + r) × A_(n-1) - T
Thay số: A_n = 1,008 × A_(n-1) - 2 với n ≥ 1
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Dùng chức năng TABLE để tính nhanh: 1. Nhấn MODE → chọn TABLE 2. Nhập hàm: f(x) = 1.008 × Ans - 2 3. Hoặc tính thủ công: Nhập 100 → = → sau đó nhập Ans × 1.008 - 2 → nhấn = liên tục 6 lần
⚠️ Lưu ý thi: - Đây là dạng bài toán tài chính thường gặp trong thực tế - Cần phân biệt: lãi tính trên số tiền còn nợ (không phải vốn ban đầu) - Hệ số 1,008 = 1 + 0,008 = 1 + r
HĐ1 (Hoạt động 1) - Nhận biết cấp số cộng
Đề bài: Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng u_n theo số hạng u_(n-1).
Cách 1 — Liệt kê trực tiếp
a) Năm số hạng đầu:
Các số tự nhiên lẻ xếp theo thứ tự tăng dần: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
Năm số hạng đầu là: 1, 3, 5, 7, 9
Trong đó:
- u_1 = 1
- u_2 = 3
- u_3 = 5
- u_4 = 7
- u_5 = 9
b) Công thức truy hồi:
Quan sát:
- u_2 - u_1 = 3 - 1 = 2
- u_3 - u_2 = 5 - 3 = 2
- u_4 - u_3 = 7 - 5 = 2
- u_5 - u_4 = 9 - 7 = 2
Hiệu của hai số hạng liên tiếp luôn bằng 2.
Công thức truy hồi:
u_n = u_(n-1) + 2 với n ≥ 2
Cách 2 — Sử dụng công thức số hạng tổng quát
a) Số tự nhiên lẻ thứ n có công thức: u_n = 2n - 1
Thay n = 1, 2, 3, 4, 5:
- u_1 = 2(1) - 1 = 1
- u_2 = 2(2) - 1 = 3
- u_3 = 2(3) - 1 = 5
- u_4 = 2(4) - 1 = 7
- u_5 = 2(5) - 1 = 9
Năm số hạng đầu: 1, 3, 5, 7, 9
b) Từ u_n = 2n - 1, ta có:
- u_(n-1) = 2(n-1) - 1 = 2n - 3
Suy ra: u_n - u_(n-1) = (2n - 1) - (2n - 3) = 2
Vậy: u_n = u_(n-1) + 2 với n ≥ 2
💡 Mẹo nhớ: - Dãy số tự nhiên lẻ là một cấp số cộng với công sai d = 2 - Số hạng tổng quát: u_n = 2n - 1
Câu hỏi trong bài: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số cộng không?
Trả lời:
CÓ, dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng.
Giải thích:
- Xét hai số hạng liên tiếp bất kỳ: u_n = a và u_(n-1) = a
- Hiệu: u_n - u_(n-1) = a - a = 0
Vậy dãy số này thỏa mãn định nghĩa cấp số cộng với công sai d = 0.
Bài toán mở đầu (Nhà hát)
Đề bài: Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó.
Cách 1 — Áp dụng công thức tổng cấp số cộng
Phân tích:
- Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng: 16, 18, 20, ...
- Số hạng đầu: u_1 = 16
- Công sai: d = 2
- Số hàng: n = 25
Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:
S_n = n × (u_1 + u_n) / 2 = n × (2u_1 + (n-1)d) / 2
Tính số ghế hàng cuối (hàng 25):
u_25 = u_1 + (25 - 1) × d = 16 + 24 × 2 = 16 + 48 = 64 (ghế)
Tính tổng số ghế:
S_25 = 25 × (u_1 + u_25) / 2 = 25 × (16 + 64) / 2 = 25 × 80 / 2 = 25 × 40 = 1000 (ghế)
Cách 2 — Áp dụng công thức tổng trực tiếp
S_n = n × (2u_1 + (n-1)d) / 2
S_25 = 25 × (2 × 16 + (25-1) × 2) / 2
S_25 = 25 × (32 + 48) / 2
S_25 = 25 × 80 / 2
S_25 = 1000 (ghế)
🎯 Ghi nhớ: Cấp số cộng (u_n) với công sai d: - Hệ thức truy hồi: u_n = u_(n-1) + d (n ≥ 2) - Số hạng tổng quát: u_n = u_1 + (n-1)d - Tổng n số hạng đầu: S_n = n(u_1 + u_n)/2 = n(2u_1 + (n-1)d)/2 Bài toán lãi suất trả góp: - Hệ thức: A_n = (1 + r) × A_(n-1) - T - Với r là lãi suất, T là số tiền trả mỗi kỳ