Giải Toán tập 1 trang 50

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa cấp số cộng:

• Dãy số (uₙ) là cấp số cộng nếu hiệu hai số hạng liên tiếp uₙ - uₙ₋₁ = d (không đổi) với mọi n ≥ 2
• d được gọi là công sai của cấp số cộng

2. Công thức số hạng tổng quát:

• uₙ = u₁ + (n - 1)d

3. Công thức tổng n số hạng đầu:

• Sₙ = n/2 × [2u₁ + (n - 1)d]
• Hoặc: Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 1

Đề bài: Cho dãy số (uₙ) với uₙ = -2n + 3. Chứng minh rằng (uₙ) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Cách 1 — Phương pháp tính hiệu hai số hạng liên tiếp

Bước 1: Tính hiệu uₙ - uₙ₋₁

Ta có:

• uₙ = -2n + 3
• uₙ₋₁ = -2(n - 1) + 3 = -2n + 2 + 3 = -2n + 5

Hiệu: uₙ - uₙ₋₁ = (-2n + 3) - (-2n + 5) = -2n + 3 + 2n - 5 = -2

Bước 2: Kết luận

Vì uₙ - uₙ₋₁ = -2 = const với mọi n ≥ 2, nên (uₙ) là cấp số cộng.

Bước 3: Xác định u₁ và d

• Số hạng đầu: u₁ = -2(1) + 3 = -2 + 3 = 1
• Công sai: d = -2

Cách 2 — Phương pháp nhận dạng nhanh

Với dãy số có dạng uₙ = an + b (hàm bậc nhất theo n):

• Dãy số luôn là cấp số cộng với công sai d = a (hệ số của n)
• Số hạng đầu u₁ = a + b

Áp dụng: uₙ = -2n + 3

• Công sai: d = -2
• Số hạng đầu: u₁ = -2 + 3 = 1

💡 Mẹo nhớ: Dãy số uₙ = an + b luôn là CSC với công sai d = a

🎯 Kết quả: (uₙ) là CSC với u₁ = 1, d = -2

---

Luyện tập 2

Đề bài: Cho dãy số (uₙ) với uₙ = 4n - 3. Chứng minh rằng (uₙ) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát uₙ dưới dạng uₙ = u₁ + (n - 1)d.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Chứng minh (uₙ) là CSC

Tính hiệu hai số hạng liên tiếp:

• uₙ = 4n - 3
• uₙ₋₁ = 4(n - 1) - 3 = 4n - 4 - 3 = 4n - 7

Hiệu: uₙ - uₙ₋₁ = (4n - 3) - (4n - 7) = 4n - 3 - 4n + 7 = 4

Vì uₙ - uₙ₋₁ = 4 = const với mọi n ≥ 2, nên (uₙ) là cấp số cộng.

Bước 2: Xác định u₁ và d

• Số hạng đầu: u₁ = 4(1) - 3 = 4 - 3 = 1
• Công sai: d = 4

Bước 3: Viết số hạng tổng quát dạng uₙ = u₁ + (n - 1)d

uₙ = 1 + (n - 1) × 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3

Kiểm tra: Kết quả khớp với công thức ban đầu ✓

Cách 2 — Phương pháp nhận dạng nhanh

Với uₙ = 4n - 3 có dạng an + b:

• Hệ số a = 4 → công sai d = 4
• u₁ = a + b = 4 + (-3) = 1

Viết lại: uₙ = u₁ + (n - 1)d = 1 + (n - 1) × 4

🎯 Kết quả: - (uₙ) là CSC với u₁ = 1, d = 4 - uₙ = 1 + (n - 1) × 4

---

Vận dụng

Đề bài: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.

Cách 1 — Áp dụng công thức tổng CSC

Bước 1: Nhận dạng bài toán

Lương mỗi năm tạo thành CSC với:

• Số hạng đầu (lương năm 1): u₁ = 100 (triệu đồng)
• Công sai (mức tăng hàng năm): d = 20 (triệu đồng)
• Số năm làm việc: n = 10

Bước 2: Áp dụng công thức tổng

Tổng lương 10 năm:

S₁₀ = n/2 × [2u₁ + (n - 1)d]

S₁₀ = 10/2 × [2 × 100 + (10 - 1) × 20]

S₁₀ = 5 × [200 + 9 × 20]

S₁₀ = 5 × [200 + 180]

S₁₀ = 5 × 380 = 1900 (triệu đồng)

Cách 2 — Dùng công thức Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2

Bước 1: Tính lương năm thứ 10

u₁₀ = u₁ + (10 - 1) × d = 100 + 9 × 20 = 100 + 180 = 280 (triệu đồng)

Bước 2: Tính tổng

S₁₀ = 10 × (u₁ + u₁₀)/2 = 10 × (100 + 280)/2 = 10 × 380/2 = 10 × 190 = 1900 (triệu đồng)

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Nhập: 10 ÷ 2 × (2 × 100 + 9 × 20) = - Kết quả: 1900

⚠️ Lưu ý thi: Bài toán thực tế về CSC thường xuất hiện trong các đề thi. Cần xác định đúng u₁, d và n từ ngữ cảnh bài toán.

🎯 Kết quả: Tổng số tiền lương anh Nam nhận được sau 10 năm là 1900 triệu đồng (hay 1,9 tỷ đồng).

---

🎯 Ghi nhớ chung

💡 Mẹo nhớ: Nếu uₙ = an + b thì đó là CSC với d = a và u₁ = a + b