Giải Toán tập 1 trang 52
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 52–53
Hai trang này gồm phần cuối của Bài 6 (Cấp số cộng) với mục "Góc công nghệ" và phần Bài tập, sau đó mở sang Bài 7 (Cấp số nhân). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết toàn bộ bài tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Góc công nghệ – Kí hiệu tổng Σ
Cho dãy số $(u_n)$. Tổng $n$ số hạng đầu được viết gọn:
$$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$$
Có thể dùng máy tính cầm tay (phím SHIFT → tính tổng Σ) để tính nhanh tổng khi biết công thức số hạng tổng quát.
Bài 7 – Cấp số nhân (mở đầu)
- Cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng liền trước nhân với một số không đổi $q$ (gọi là công bội).
- Hệ thức truy hồi: $u_n = u_{n-1} \cdot q$ với $n \ge 2$.
Bài 2.8: Xác định công sai, số hạng thứ 5, tổng quát, thứ 100
Công thức dùng chung: $u_n = u_1 + (n-1)d$.
a) Dãy 4, 9, 14, 19, …
- Công sai: $d = 9 - 4 = 5$, với $u_1 = 4$.
- Số hạng tổng quát: $u_n = 4 + (n-1)\cdot 5 = 5n - 1$.
- Số hạng thứ 5: $u_5 = 5\cdot 5 - 1 = 24$.
- Số hạng thứ 100: $u_{100} = 5\cdot 100 - 1 = 499$.
b) Dãy 1, −1, −3, −5, …
- Công sai: $d = -1 - 1 = -2$, với $u_1 = 1$.
- Số hạng tổng quát: $u_n = 1 + (n-1)\cdot(-2) = 3 - 2n$.
- Số hạng thứ 5: $u_5 = 3 - 2\cdot 5 = -7$.
- Số hạng thứ 100: $u_{100} = 3 - 2\cdot 100 = -197$.
Bài 2.9: Viết 5 số hạng đầu, kiểm tra cấp số cộng
Một dãy là cấp số cộng khi hiệu giữa các số hạng liên tiếp là hằng số.
a) $u_n = 3 + 5n$
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 8 | 13 | 18 | 23 | 28 |
Hiệu giữa các số hạng luôn bằng 5 ⟹ là cấp số cộng, $d = 5$.
$$u_n = u_1 + (n-1)d = 8 + (n-1)\cdot 5$$
b) $u_n = 6n - 4$
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 2 | 8 | 14 | 20 | 26 |
Hiệu luôn bằng 6 ⟹ là cấp số cộng, $d = 6$.
$$u_n = 2 + (n-1)\cdot 6$$
c) $u_1 = 2,\ u_n = u_{n-1} + n$
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 2 | 4 | 7 | 11 | 16 |
Hiệu lần lượt là 2, 3, 4, 5 (không cố định) ⟹ không phải cấp số cộng.
d) $u_1 = 2,\ u_n = u_{n-1} + 3$
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 |
Mỗi số hạng hơn số hạng trước đúng 3 ⟹ là cấp số cộng, $d = 3$.
$$u_n = 2 + (n-1)\cdot 3$$
Bài 2.10: Tìm số hạng thứ 50
Đề cho $u_5 = 18$ và $u_{12} = 32$.
Lấy hiệu hai số hạng:
$$u_{12} - u_5 = (12 - 5)d = 7d = 32 - 18 = 14 \Rightarrow d = 2$$
Tìm $u_1$ từ $u_5 = u_1 + 4d$:
$$u_1 = 18 - 4\cdot 2 = 10$$
Số hạng thứ 50:
$$u_{50} = u_1 + 49d = 10 + 49\cdot 2 = \boxed{108}$$
Bài 2.11: Cần lấy tổng bao nhiêu số hạng để được 2 700
Cho $u_1 = 5$, $d = 2$, cần $S_n = 2700$.
$$S_n = \frac{n}{2}\big[2u_1 + (n-1)d\big] = \frac{n}{2}\big[10 + 2(n-1)\big] = n(n + 4)$$
Giải phương trình:
$$n^2 + 4n - 2700 = 0 \Rightarrow n = \frac{-4 + \sqrt{16 + 10800}}{2} = \frac{-4 + 104}{2} = 50$$
Vậy phải lấy tổng của 50 số hạng đầu.
Bài 2.12: Giá xe sau 5 năm
Giá ban đầu 680 triệu, mỗi năm giảm 55 triệu (cấp số cộng giảm).
Giá sau 5 năm sử dụng:
$$680 - 5\cdot 55 = 680 - 275 = \boxed{405 \text{ triệu đồng}}$$
Bài 2.13: Số hàng ghế tối thiểu
Số ghế mỗi hàng tạo cấp số cộng: $u_1 = 15$, $d = 3$.
Tổng số ghế của $n$ hàng:
$$S_n = \frac{n}{2}\big[2\cdot 15 + (n-1)\cdot 3\big] = \frac{n}{2}(3n + 27) = \frac{3n(n+9)}{2}$$
Cần $S_n \ge 870$:
$$\frac{3n(n+9)}{2} \ge 870 \Rightarrow n(n+9) \ge 580 \Rightarrow n^2 + 9n - 580 \ge 0$$
Giải $n^2 + 9n - 580 = 0$: $n = \dfrac{-9 + \sqrt{81 + 2320}}{2} = \dfrac{-9 + 49}{2} = 20$.
Với $n = 20$: $S_{20} = \dfrac{3\cdot 20\cdot 29}{2} = 870$ (đúng bằng 870).
Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.
Bài 2.14: Ước tính dân số năm 2030
Năm 2020 dân số 1,2 triệu = 1 200 nghìn người; mỗi năm tăng 30 nghìn (cấp số cộng).
Từ 2020 đến 2030 là 10 năm:
$$1\,200 + 10\cdot 30 = 1\,500 \text{ nghìn người} = \boxed{1{,}5 \text{ triệu người}}$$
Bài 7: Cấp số nhân – Phần định nghĩa và ví dụ
HĐ1. Nhận biết cấp số nhân — Cho $u_n = 3\cdot 2^n$
a) Năm số hạng đầu:
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 6 | 12 | 24 | 48 | 96 |
b) Xét tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{3\cdot 2^n}{3\cdot 2^{n-1}} = 2$ (không đổi), nên hệ thức truy hồi là:
$$u_n = 2\,u_{n-1}$$
Câu hỏi: Dãy không đổi $a, a, a, \dots$ có là cấp số nhân không?
- Nếu $a \ne 0$: là cấp số nhân với công bội $q = 1$.
- Nếu $a = 0$: không phải cấp số nhân (vì không xác định được công bội qua phép chia cho 0).
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_1 = 5$, $q = -2$. Viết 5 số hạng đầu
$$u_1 = 5,\quad u_2 = 5\cdot(-2) = -10,\quad u_3 = (-10)\cdot(-2) = 20,$$
$$u_4 = 20\cdot(-2) = -40,\quad u_5 = (-40)\cdot(-2) = 80.$$
Ví dụ 2: Cho $u_n = \dfrac{1}{3^{n-1}}$. Chứng minh là cấp số nhân
Xét tỉ số hai số hạng liên tiếp:
$$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{1/3^{n-1}}{1/3^{n-2}} = \frac{3^{n-2}}{3^{n-1}} = \frac{1}{3}$$
Tỉ số là hằng số $\dfrac{1}{3}$ với mọi $n \ge 2$, nên dãy là cấp số nhân với:
- Số hạng đầu: $u_1 = \dfrac{1}{3^{0}} = 1$.
- Công bội: $q = \dfrac{1}{3}$.
Nếu em muốn mình giải tiếp bài toán mở đầu về tiền lương (240 triệu, tăng 5% mỗi năm) ở trang 52, cứ nhắn nhé, phần đó cần công thức tổng cấp số nhân sẽ học ngay sau đây.