Giải Toán tập 1 trang 54
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 54–55
Hai trang này thuộc bài Cấp số nhân, gồm ba phần lý thuyết kèm các ví dụ và bài luyện tập. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết từng phần nhé.
Tóm tắt lý thuyết
- Cấp số nhân: Dãy $(u_n)$ gồm các số khác 0 là cấp số nhân khi tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$ không đổi (gọi là công bội $q$).
- Số hạng tổng quát:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)$$
- Tổng $n$ số hạng đầu (với $q \ne 1$):
$$S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$$
Trường hợp $q = 1$: tất cả số hạng bằng $u_1$ nên $S_n = n \cdot u_1$.
Luyện tập 1
Đề: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2 \cdot 5^n$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
Lời giải:
Với mọi $n \ge 2$, xét tỉ số:
$$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{2 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^{n-1}} = 5^{\,n-(n-1)} = 5$$
Tỉ số này không đổi, nên $(u_n)$ là một cấp số nhân với công bội $q = 5$.
Số hạng đầu: $u_1 = 2 \cdot 5^1 = 10$.
Đáp số: cấp số nhân có $u_1 = 10$ và $q = 5$.
HĐ2: Công thức số hạng tổng quát
a) Tính các số hạng theo $u_1$ và $q$:
| Số hạng | Biểu thức |
|---|---|
| $u_2$ | $u_1 \cdot q$ |
| $u_3$ | $u_2 \cdot q = u_1 \cdot q^2$ |
| $u_4$ | $u_3 \cdot q = u_1 \cdot q^3$ |
| $u_5$ | $u_4 \cdot q = u_1 \cdot q^4$ |
b) Quan sát số mũ của $q$ luôn nhỏ hơn chỉ số một đơn vị, ta dự đoán:
$$u_n = u_1 \cdot q^{\,n-1} \quad (n \ge 2)$$
Ví dụ 3 (lời giải trong sách)
Đề: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số nhân: $8, -4, \dots$
Lời giải:
Cấp số nhân có $u_1 = 8$, công bội $q = \dfrac{-4}{8} = -\dfrac{1}{2}$.
Năm số hạng đầu: $8,\ -4,\ 2,\ -1,\ \dfrac{1}{2}$.
Số hạng thứ 100:
$$u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{99} = -\frac{1}{2^{96}}$$
(Vì $8 = 2^3$ và $2^3 / 2^{99} = 1/2^{96}$, dấu âm do số mũ 99 lẻ.)
Ví dụ 4 (lời giải trong sách)
Đề: Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng 1 536 và số hạng thứ 12 bằng 6 144. Tìm số hạng thứ 20.
Lời giải:
Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $q$ là công bội. Ta có hệ:
$$\begin{cases} u_{10} = u_1 \cdot q^9 = 1536 \\ u_{12} = u_1 \cdot q^{11} = 6144 \end{cases}$$
Chia vế theo vế: $q^2 = \dfrac{6144}{1536} = 4 \Rightarrow q = 2$ hoặc $q = -2$.
- Với $q = 2$: $u_1 = 3$.
- Với $q = -2$: $u_1 = -3$ (loại vì các số hạng dương).
Vậy $u_1 = 3,\ q = 2$, suy ra:
$$u_{20} = u_1 \cdot q^{19} = 3 \cdot 2^{19} = 1\,572\,864$$
Luyện tập 2
Đề: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
Lời giải:
Sau mỗi giờ, số vi khuẩn nhân với $1{,}08$ (tăng thêm 8%). Vậy số lượng vi khuẩn theo từng giờ lập thành cấp số nhân với:
- Số hạng đầu (lúc bắt đầu): $u_1 = 5000$
- Công bội: $q = 1{,}08$
Số lượng sau 5 giờ chính là số hạng ứng với 5 lần nhân:
$$u = 5000 \cdot (1{,}08)^5 \approx 5000 \cdot 1{,}4693 \approx 7346{,}6$$
Vậy sau 5 giờ có khoảng 7 347 con vi khuẩn.
HĐ3: Xây dựng công thức tính $S_n$
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = a$, công bội $q \ne 1$.
a) Biểu diễn mỗi số hạng theo $u_1$ và $q$:
$$S_n = u_1 + u_1 q + u_1 q^2 + \dots + u_1 q^{n-1} \quad (1)$$
b) Nhân hai vế với $q$:
$$q \cdot S_n = u_1 q + u_1 q^2 + \dots + u_1 q^{n-1} + u_1 q^n \quad (2)$$
c) Lấy $(1)$ trừ $(2)$, các số hạng giữa triệt tiêu:
$$S_n - q S_n = u_1 - u_1 q^n$$
$$(1 - q) S_n = u_1 (1 - q^n)$$
$$\boxed{S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}}$$
Câu hỏi: Nếu $q = 1$ thì $S_n = ?$
Trả lời: Khi $q = 1$, mọi số hạng đều bằng $u_1$, nên:
$$S_n = u_1 + u_1 + \dots + u_1 = n \cdot u_1$$
Ví dụ 5 (lời giải trong sách)
Đề: Giải bài toán ở tình huống mở đầu (lương hằng năm của chuyên gia).
Lời giải:
Lương hằng năm lập thành cấp số nhân với $u_1 = 240$ (triệu đồng), $q = 1{,}05$. Tổng lương sau 10 năm:
$$S_{10} = \frac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{240\left[1 - (1{,}05)^{10}\right]}{1 - 1{,}05} \approx 3019$$
Vậy tổng lương sau 10 năm khoảng 3 019 triệu đồng, tức là 3,019 tỉ đồng.
Ví dụ 6
Đề: Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân $2, 6, 18, \dots$ để được kết quả bằng 728?
Lời giải:
Cấp số nhân có $u_1 = 2$, công bội $q = \dfrac{6}{2} = 3$.
Áp dụng công thức tổng:
$$S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{2(1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 3^n)}{-2} = 3^n - 1$$
Cho $S_n = 728$:
$$3^n - 1 = 728 \Rightarrow 3^n = 729 = 3^6 \Rightarrow n = 6$$
Đáp số: cần lấy tổng của 6 số hạng đầu.