Giải Toán tập 1 trang 56

Hai trang này thuộc cuối Bài về Cấp số nhân và phần Bài tập cuối chương II (sách Toán 11 – Kết nối tri thức). Mình sẽ giải lần lượt từ phần Vận dụng đến hết phần trắc nghiệm.

Tóm tắt lý thuyết cần dùng

Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$, công bội $q$:

• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$
• Tổng $n$ số hạng đầu (với $q \neq 1$): $S_n = \dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

---

Vận dụng: So sánh hai phương án lương

Ba năm = 12 quý, mỗi quý có 3 tháng. Ta tính tổng lương qua 12 quý (mỗi quý lương tháng nhân 3).

Phương án 1 (cấp số cộng): lương tháng quý $k$ là $5 + 0{,}5(k-1)$ (triệu).

$$\text{Tổng} = 3\sum_{k=1}^{12}\big[5 + 0{,}5(k-1)\big] = 3\left(60 + 0{,}5\cdot 66\right) = 3 \cdot 93 = 279 \text{ triệu đồng.}$$

Phương án 2 (cấp số nhân): lương tháng quý $k$ là $5 \cdot (1{,}05)^{k-1}$.

$$\text{Tổng} = 3 \cdot 5 \cdot \frac{(1{,}05)^{12}-1}{1{,}05-1} = 15 \cdot \frac{1{,}7959 - 1}{0{,}05} \approx 238{,}76 \text{ triệu đồng.}$$

Vì $279 > 238{,}76$ nên Phương án 1 cho tổng lương sau ba năm lớn hơn.

---

Bài 2.15: Xác định công bội, $u_5$, $u_n$, $u_{100}$

a) $1, 4, 16, \dots$

• Công bội: $q = \dfrac{4}{1} = 4$
• $u_5 = 1 \cdot 4^4 = 256$
• $u_n = 4^{n-1}$
• $u_{100} = 4^{99}$

b) $2, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8}, \dots$

• Công bội: $q = \dfrac{-1/2}{2} = -\dfrac{1}{4}$
• $u_5 = 2\left(-\dfrac{1}{4}\right)^4 = \dfrac{2}{256} = \dfrac{1}{128}$
• $u_n = 2\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
• $u_{100} = 2\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{99} = -\dfrac{2}{4^{99}}$

Bài 2.16: Năm số hạng đầu và kiểm tra cấp số nhân

• b) $u_n = 5 \cdot 5^{n-1}$
• d) $u_n = 1 \cdot 5^{n-1}$

Bài 2.17: Tìm $u_{50}$

Đề: $u_6 = 96$, $u_3 = 12$.

$$\frac{u_6}{u_3} = q^3 = \frac{96}{12} = 8 \Rightarrow q = 2.$$

Từ $u_3 = u_1 q^2 = 4u_1 = 12 \Rightarrow u_1 = 3$.

$$u_{50} = u_1 q^{49} = 3 \cdot 2^{49}.$$

Bài 2.18: Cần lấy bao nhiêu số hạng?

Đề: $u_1 = 5$, $q = 2$, tổng bằng $5115$.

$$S_n = \frac{5(2^n - 1)}{2-1} = 5(2^n - 1) = 5115 \Rightarrow 2^n - 1 = 1023 \Rightarrow 2^n = 1024 = 2^{10}.$$

Vậy $n = 10$, cần lấy 10 số hạng đầu.

Bài 2.19: Giá trị máy ủi sau 5 năm

Mỗi năm giá trị còn $80\%$ năm trước → cấp số nhân $q = 0{,}8$, giá ban đầu 3 tỉ.

$$\text{Giá trị sau 5 năm} = 3 \cdot (0{,}8)^5 = 3 \cdot 0{,}32768 \approx 0{,}983 \text{ tỉ đồng } (\approx 983 \text{ triệu đồng}).$$

Bài 2.20: Ước tính dân số năm 2030

Mỗi năm dân số nhân $1{,}0091$ → cấp số nhân, sau 10 năm:

$$P = 97 \cdot (1{,}0091)^{10} \approx 97 \cdot 1{,}0948 \approx 106{,}2 \text{ triệu người.}$$

Bài 2.21: Tổng lượng thuốc sau 10 ngày

Lượng thuốc mỗi ngày là cấp số nhân: $u_1 = 50$ mg, $q = \dfrac{1}{2}$, 10 ngày.

$$S_{10} = \frac{50\left(1 - \left(\frac12\right)^{10}\right)}{1 - \frac12} = 100\left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 100 \cdot \frac{1023}{1024} \approx 99{,}9 \text{ mg.}$$

---

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II – A. TRẮC NGHIỆM

Bài 2.22: Khẳng định nào sai?

Đáp án: C.

• A đúng: dãy tăng luôn bị chặn dưới bởi $u_1$.
• B đúng: dãy giảm luôn bị chặn trên bởi $u_1$.
• C sai: một dãy bị chặn chưa chắc tăng hoặc giảm (ví dụ dãy $u_n = (-1)^n$ bị chặn nhưng không đơn điệu).
• D đúng: dãy không đổi luôn bị chặn.

Bài 2.23: Công thức tổng quát

Dãy $1, \frac12, \frac14, \frac18,\dots$ là cấp số nhân với $u_1 = 1$, $q = \frac12$.

$$u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$

Đáp án: D. (Kiểm tra: $u_1 = (1/2)^0 = 1$ ✓.)

Bài 2.24: Dãy $u_n = 3n + 6$

Xét $u_{n+1} - u_n = 3(n+1)+6 - (3n+6) = 3$ (hằng số) → cấp số cộng công sai $d = 3$.

Đáp án: A.

Bài 2.25: Dãy nào là cấp số nhân?

Đáp án: B.

• B: $u_{n+1} = 2u_n$ đúng dạng truy hồi cấp số nhân với $q = 2$.
• A: $u_{n+1} = u_n^2$ cho tỉ số thay đổi → không.
• C, D có dạng $u_{n+1} = u_n + d$ → là cấp số cộng.

Bài 2.26: Tổng 100 số hạng đầu của $u_n = 2n - 1$

Đây là cấp số cộng: $u_1 = 1$, $d = 2$.

$$S_{100} = \frac{100}{2}\big(2u_1 + 99d\big) = 50(2 + 198) = 50 \cdot 200 = 10\,000.$$

Đáp án: C.

---

Ghi chú nhỏ: ảnh bạn gửi thực tế là trang 55 và 56. Mình đã giải đầy đủ toàn bộ bài tập tự luận (2.15–2.21) và trắc nghiệm (2.22–2.26) xuất hiện trên hai trang này.